高考数学大一轮复习93圆的方程学案理苏教版.docx

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高考数学大一轮复习93圆的方程学案理苏教版

学案47　圆的方程

导学目标：

1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

自主梳理

1．圆的定义

在平面内，到________的距离等于________的点的________叫做圆．

2．确定一个圆最基本的要素是________和________．

3．圆的标准方程

（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>0），其中________为圆心，____为半径．

4．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是____________________，其中圆心为________________________，半径r＝________________________.

5．确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：

（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；

（2）根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；

（3）解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．

6．点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种．

圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2，点M（x0，y0），

（1）点在圆上：

（x0－a）2＋（y0－b）2____r2；

（2）点在圆外：

（x0－a）2＋（y0－b）2____r2；

（3）点在圆内：

（x0－a）2＋（y0－b）2____r2.

自我检测

1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆时，m的取值范围为______________．

2．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程是________．

3．点P（2，－1）为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________．

4．已知点（0,0）在圆：

x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是________．

5．过圆x2＋y2＝4外一点P（4,2）作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为________．

探究点一　求圆的方程

例1

　求经过点A（－2，－4），且与直线l：

x＋3y－26＝0相切于点B（8,6）的圆的方程．

变式迁移1　根据下列条件，求圆的方程．

（1）与圆O：

x2＋y2＝4相外切于点P（－1，

），且半径为4的圆的方程；

（2）圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．

探究点二　圆的几何性质的应用

例2

　已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．

变式迁移2　如图，已知圆心坐标为（

，1）的圆M与x轴及直线y＝

x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y＝

x分别相切于C、D两点．

（1）求圆M和圆N的方程；

（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

探究点三　与圆有关的最值问题

例3

　已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

（1）求y－x的最大值和最小值；

（2）求x2＋y2的最大值和最小值．

变式迁移3　如果实数x，y满足方程（x－3）2＋（y－3）2＝6，求

的最大值与最小值．

1．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度．

2．点与圆的位置关系有三种情形：

点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系．dr时，点在圆外．

3．本节主要的数学思想方法有：

数形结合思想、方程思想．

（满分：

90分）

一、填空题（每小题6分，共48分）

1．（2011·重庆改编）在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．

2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________．

3．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是____________．

4．（2011·苏州模拟）已知点P（2,1）在圆C：

x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a，b的值分别为________和________．

5．已知两点A（－2,0），B（0,2），点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．

6．（2010·天津）已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________________．

7．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1,0）、B（3，0）两点，则圆的方程为______________．

8．设直线ax－y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－2）2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2

，则a＝________.

二、解答题（共42分）

9．（14分）根据下列条件，求圆的方程：

（1）经过A（6,5）、B（0,1）两点，并且圆心C在直线3x＋10y＋9＝0上；

（2）经过P（－2,4）、Q（3，－1）两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.

10．（14分）（2011·南京模拟）已知点（x，y）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝1上．

（1）求x＋y的最大值和最小值；

（2）求

的最大值和最小值；

（3）求

的最大值和最小值．

11．（14分）如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20米，拱高OP＝4米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01米）（

≈28.72）．

学案47　圆的方程

答案

自主梳理

1．定点　定长　集合　2.圆心　半径　3.（a，b）　r

4．D2＋E2－4F>0　

6．

（1）＝　

（2）>　（3）<

自我检测

1．m<

或m>1　2.x2＋（y－2）2＝1　3.x－y－3＝0

4．（

，－1）∪（

，

）

5．（x－2）2＋（y－1）2＝5

课堂活动区

例1

　解题导引　

（1）一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．

（2）一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．

解　方法一　设圆心为C，

所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则圆心C

.∴kCB＝

.

由kCB·kl＝－1，∴

·

＝－1.①

又有（－2）2＋（－4）2－2D－4E＋F＝0，②

又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③

解①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30.

∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.

方法二　设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为y－6＝3（x－8），即3x－y－18＝0.①

由A（－2，－4），B（8,6），得AB的中点坐标为（3,1）．

又kAB＝

＝1，

∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－（x－3），

即x＋y－4＝0.②

由①②联立后，解得

即圆心坐标为

.

∴所求圆的半径r＝

＝

.

∴所求圆的方程为

2＋

2＝

.

变式迁移1　解　

（1）设所求圆的圆心Q的坐标为（a，b），圆Q的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝42，又∵OQ＝6，

∴联立方程

，

解得a＝－3，b＝3

，

所以所求圆的方程为（x＋3）2＋（y－3

）2＝16.

（2）

如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°，而圆心（0,0）到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝

＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.

所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.

例2

　解题导引　

（1）在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．

（2）本题利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值．

解　方法一　将x＝3－2y，

代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，

得5y2－20y＋12＋m＝0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1、y2满足条件：

y1＋y2＝4，y1y2＝

.

∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.

而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.

∴x1x2＝9－6（y1＋y2）＋4y1y2.

∴9－6（y1＋y2）＋5y1y2＝0，

∴9－6×4＋5×

＝0，

∴m＝3，此时1＋36－3×4>0，圆心坐标为

，半径r＝

.

方法二　

如图所示，

设弦PQ中点为M，

∵O1M⊥PQ，

∴kO1M＝2.

又圆心坐标为

，

∴O1M的方程为y－3＝2

，

即y＝2x＋4.由方程组

解得M的坐标为（－1,2）．

则以PQ为直径的圆可设为（x＋1）2＋（y－2）2＝r2.

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．

∴（0＋1）2＋（0－2）2＝r2，即r2＝5，MQ2＝r2.

在Rt△O1MQ中，O1M2＋MQ2＝O1Q2.

∴

2＋（3－2）2＋5＝

.

∴m＝3.∴半径为

，圆心为

.

变式迁移2　解　

（1）∵M的坐标为（

，1），∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，

则圆M的方程为（x－

）2＋（y－1）2＝1.

设圆N的半径为r，

连结MA，NC，OM，

则MA⊥x轴，NC⊥x轴，

由题意知：

M，N点都在∠COD的平分线上，

∴O，M，N三点共线．

由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，

OM∶ON＝MA∶NC，即

＝

⇒r＝3，

则OC＝3

，则圆N的方程为（x－3

）2＋（y－3）2＝9.

（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，

此弦的方程是y＝

（x－

），即x－

y－

＝0，

圆心N到该直线的距离d＝

，

则弦长为2

＝

.

例3

　解题导引　与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：

（1）形如μ＝

形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

（2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

解　

（1）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时

＝

，解得b＝－2±

.

所以y－x的最大值为－2＋

，最小值为－2－

.

（2）x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为

＝2，

所以x2＋y2的最大值是（2＋

）2＝7＋4

，

x2＋y2的最小值是（2－

）2＝7－4

.

变式迁移3　解　

（1）设P（x，y），

则P点的轨迹就是已知圆C：

（x－3）2＋（y－3）2＝6.

而

的几何意义就是直线OP的斜率，

设

＝k，则直线OP的方程为y＝kx.

当直线OP与圆相切时，斜率取最值．

因为点C到直线y＝kx的距离d＝

，

所以当

＝

，

即k＝3±2

时，直线OP与圆相切．

即

的最大值为3＋2

，最小