又AD是整数,则AD=5
思路点拨:
三角形中有中线,延长中线等中线。
2.已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
2.证明:
连接BF和EF.
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△EDF(边角边).
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF.连接BE.
在△BEF中,BF=EF,∴∠EBF=∠BEF又∵∠ABC=∠AED,∴∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE
在△ABF和△AEF中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF.
∴△ABF≌△AEF∴∠1=∠2.
思路点拨:
解答本题的关键是能够想到证明AB=AE,而AB、AE在同一个△ABE中,可利用∠ABE=∠AEB来证明.同一三角形中线段等,可用等角对等边
B
A
C
D
F
2
1
E
3.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
证明:
过E点,作EG//AC,交AD延长线于G
则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2
又∵CD=DE∴△ADC≌△GDE(AAS)∴EG=AC
∵EF∥AB∴∠DFE=∠1
∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC
思路点拨:
角平分线平行线,等腰三角形来添。
4.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
证明:
延长AC到E使CE=CD,连接ED,则∠CDE=∠E
∵AB=AC+CD∴AB=AC+CE=AE
又∵∠BAD=∠EAD,AD=AD∴△BAD≌△EAD∴∠B=∠E
∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠ACB=2∠B
方法二
在AC上截取AE=AB,连接ED
∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD
又∵AE=AB,AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD(SAS)
∴∠AED=∠B,DE=DB
∵AC=AB+BD,AC=AE+CE
∴CE=DE∴∠C=∠EDC
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C
思路点拨:
线段等于线段和,理应截长或补短
5.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
证明:
过C作CF⊥AD交AD的延长线于F.在△CFA和△CEA中
∴∠CFA=∠CEA=90°又∵∠CAF=∠CAE,AC=AC
∴△CFA≌△CEA,∴AE=AF=AD+DF,CE=CF
∵∠B+∠ADC=180°,∠FDC+∠ADC=180°
∴∠B=∠FDCE
在△CEB和△CFD中,
CE=CF,∠CEB=∠CFD=90°,∠B=∠FDCE
∴△CEB≌△CFD
∴BE=DF∴AE=AD+BE
思路点拨:
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现
6.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.∵∠ABE=∠FBE,BE=BE,
∴⊿ABE≌ΔFBE(SAS),
∠EFB=∠A;
∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°;
又∵∠EFB+∠EFC=180°,
∴∠EFC=∠D;
又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE,∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.
∴BC=BF+FC=AB+CD.
思路点拨:
线段等于线段和,理应截长或补短
法二:
延长BE交CD的延长线于点F,易证BC=FC=FD+DC
又∵∠BCE=∠FCE∴BE=FE;易证⊿ABE≌ΔDFE∴AB=FD
∴BC=AB+DC
法三:
易证∠BEC=90°,取BC中点F,连接EF,则
;
∴∠FEB=∠FBE=∠ABE∴AB∥EF同理DC∥EF
又∵F为BC中点∴E为BC中点∴
∴BC=AB+DC
思路点拨:
三角形两边有中点,连接可得中位线。
梯形一腰有中点,亦可尝试中位线
法四:
过E作EF//AB交BC于点F,则∠FEB=∠ABE=∠FBE
∴EF=BF,同理EF=CF,∴BF=CF,EF=
又∵EF//AB//DC∴AE=ED∴
∴BC=AB+DC
思路点拨:
角平分线平行线,等腰三角形来添。
7.已知:
AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
∠F=∠C
证明:
连接BE
∵AB∥ED,
∴∠ABE=∠DEB
又∵∠EAB=∠BDE,BE=EB
∴△ABE≌△DEB,
∴AE=DB
又∵AF=CD,EF=BC
∴△AFE≌△DCB,
∴∠C=∠F
8.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
证明:
延长AD至H交BC于H;
∵BD=DC,∴∠DBC=∠DCB
∵∠1=∠2,∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC
∴△ABD≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD
∴AD⊥BC
思路点拨:
中线、垂线、角平分线,三线合一试试看。
9.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
求证:
∠OAB=∠OBA
证明:
∵OM平分∠POQ,
MA⊥OP,MB⊥OQ
∴MA=MB
∴∠MAB=∠MBA
∵∠OAM=∠OBM=90度
∴∠OAB=90-∠MAB,
∠OBA=90-∠MBA
∴∠OAB=∠OBA
思路点拨:
同一三角形中角相等,可用等边对等角
10已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
AF⊥CD
A
B
C
D
E
F
证明:
同2先证出AB=AE,然后连接AC、AD,再证明
△ABC≌△AED,从而AC=AD,又∵F是CD的中点,∴AF⊥CD
11.如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠1=∠2,求证:
BD=DC.
证明:
∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB
又∵∠1=∠2∴∠DBC=∠DCB∴BD=DC.
12(改编)如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠ADB=∠ADC,求证:
BD=DC.
提示:
将△ADB绕点A逆时针旋转∠BAC得△AEC,连接DE,可证出∠CDE=∠CED
从而CD=CE=BD
思路点拨:
当题中出现等腰三角形时,可以考虑用旋转的方法打开思路,添加辅助线。
特别是题中有正方形、等边三角形、等腰直角三角形时,更是如此
13.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
(1)证明:
连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF;
(2)解:
上述结论仍然成立证明如下:
连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF.
本题也可以用证明两次三角形全等的方法
14.已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
(1)证明:
∵DC∥AE,且DC=AE,∴四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE,
∴△AED≌△EBC。
(2)解:
△AEC、△ACD、△ECD都与△AED面积相等。
15.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:
BD=2CE.
证明:
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE
思路点拨:
如何发现哪两个三角形全等?
可以通过旋转来发现
16、如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
证明:
∵BE∥CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
17、AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
求证:
BF=CF
证明:
在△ABD与△ACD中
AB=AC,BD=CD,AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BDF=∠FDC
在△ABF与△ACF中
AB=AC,∠BAD=∠CAD,AF=AF
△ABF≌△ACF,∴BF=CF
本题也可利用线段的垂直平分线定理来证,该证法更简洁
18、如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证:
AF=DE。
证明:
∵AB=DCAE=DFCE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE≌△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
∴△ABF≌△CDE
∴AF=DE
本题亦可用平行四边形的知识来证明
19..公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
证明:
∵AB平行CD(已知)
∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)
∵M在BC的中点(已知)
∴BM=CM(中点定义)
在△BME和△CMF中
BE=CF(已知)
∠B=∠C(已证)
BM=CM(已证)
∴△BME≌△CMF(SAS)
∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质)
∴E,M,F在同一直线上
思路点拨:
要证明E、M、F三点在同一条直线上,只需证明∠EMF=180°
20.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.
求证:
△ABE≌△CDF.
证明:
∵AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
∴AE=CF
∵BE//DF
∴∠BEA=∠DFC
又∵BE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)
21.已知:
如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,
求证:
BE=CD.
证明:
连接BC
∵AB=AC,∴∠EBC=∠DCB
∵BD⊥AC,CE⊥AB∴∠BEC=∠CDB
∵BC=CB(公共边)
∴△EBC≌△DCB
∴BE=CD
也可证△CEA≌△BDA,从而AE=AD,又AB=AC,
∴AB-AE=AC-AD,∴BE=CD
22.已知:
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE.若AB=5,
求AD的长?
解:
∵∠C=∠E=90度
∠B=∠EAD=90度-∠BAC
BC=AE
∴△ABC≌△DAE
∴AD=AB=5
23.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:
MB=MC
证明∵AB=AC,∴∠B=∠C
∵ME⊥AB,MF⊥AC∴∠MEB=∠MFC=90°
又∵ME=MF,
∴△BEM≌△CFM
∴MB=MC
24.在△ABC中,
,
,直线
经过点
,且
于
,
于
.
(1)当直线
绕点
旋转到图1的位置时,求证:
①
≌
;②
;
(2)当直线
绕点
旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
(1)
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
∵AC=BC,
∴△ADC≌△CEB.
②∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE.
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
25.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠BAE=∠CAF=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
即∠EAC=∠BAF,
在△ABF和△AEC中,
∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,
∴△ABF≌△AEC(SAS),
∴EC=BF;
(2)如图,根据
(1),△ABF≌△AEC,
∴∠AEC=∠ABF,
∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°,
∴∠AEC+∠ADE=90°,
∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),
∴∠ABF+∠BDM=90°,
在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,
∴EC⊥BF.
26.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
证明:
(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB∴△ABM≌△NCA
∴AM=AN
(2)
∵△ABM≌△NAC,∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°∴AM⊥AN
也可先证明△BFM≌△CFA得BF=CF,FM=FA又∵CN=AB∴AB-BF=CN-CF∴FA=FN,
∴FM=FA=FN,又∵∠AFM=∠AFN=90°∴AM=AN,∠3=∠4=45°∴AM⊥AN
27.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
证明:
在△ABF和△CDE中,AB=DE,∠A=∠D,AF=CD
∴△ABF≡△CDE(边角边),∴FB=CE
在四边形BCEF中,FB=CE,BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形,∴BC‖EF
29、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
证明:
∵AD是△ABC的中线∴BD=CD
∵DF=DE(已知),∠BDE=∠FDC∴△BDE≌△FDC∴∠EBD=∠FCD∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行)
28、已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,
.
求证:
.
证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEC=∠BFA=90°,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴∠C=∠A,∴AB∥CD.
29、如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明
30、如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:
AE=DE.
A
B
E
C
D
证明:
∵AB=DC,AC=DB,BC=BC
∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE,AB=DC∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE
A
B
C
D
E
F
图9
*31如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
证明:
作CG平分∠ACB交AD于G
∵∠ACB=90°
∴∠ACG=∠DCG=45°
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠B=∠BAC=45°
∴∠B=∠DCG=∠ACG
∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠DCF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°
∴∠CAF=∠DCF
∵AC=CB∠ACG=∠B
∴△ACG≌△CBE
∴CG=BE
∵∠DCG=∠BCD=BD
∴△CDG≌△BDE
∴∠ADC=∠BDE
32、已知:
D是AB中点,∠ACB=90°,求证:
延长CD与P,使D为CP中点。
连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP为矩形
∴AB=CP=1/2AB
33.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
A
B
C
D
证明:
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当ADBC时,E点是射线AB,DC的交点)。
则:
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE(等量加等量,或等量减等量)
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
34.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:
PC-PBP
D
A
C
B
在AC上取点E,
使AE=AB。
∵AE=AB
AP=AP
∠EAP=∠BAE,
∴△EAP≌△BAP
∴PE=PB。
PC<EC+PE
∴PC<(AC-AE)+PB
∴PC-PB<AC-AB。
35.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
证明:
在AC上取一点D,使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC–AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上,
在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
36.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
F
A
E
D
C
B
∵作AG∥BD交DE延长线于G
∴AGE全等BDE
∴AG=BD=5
∴AGF∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
37.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:
BD=2CE.
证明:
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,连接AG,则:
AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而:
∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等)
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而:
AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
38、如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
求证:
△AED≌△BFC。
证明:
∵DF=CE,
∴DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在△AED和△BFC中,
∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF
∴△AED≌△BFC(SAS)
39、(10分)如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
证明:
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
40.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
D
B
Cc
A
F
E
连接BD;
∵AB=ADBC=D
∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC;
∵BC=DCE\F是中点
∴DE=BF;
∵AB=ADDE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
41.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
证明:
在△ADC,△ABC中
∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC(两角加一边)
∵AB=AD,BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD
∴△DEC≌△BEC(两边夹一角)
∴∠DEC=∠BEC
42.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌△DEF.
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF(ASA)
43.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:
DE=DF.
A
E
B
D
C
F
证明:
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD(AAS)
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO(SAS)
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
44.如图,给出五个等量关系:
①
②
③
④
⑤
.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA
求证:
△DAB≌△CBA
证明:
∵AD=BC,∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
45、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AB=CD
∵,∠3=∠4
∴OB=OC