测试技术课后题答案6信号分析.docx

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测试技术课后题答案6信号分析

测试技术课后题答案6信号分析

习题6

⎧Ae-at

6.1求x（t）=⎨

⎩0

（t≥0,a>0）（t

∞

的自相关积分。

解

R（τ）=

=

⎰

02

x（t）x（t+τ）dt=A

e

-aτ

2

⎰

∞

e

-at

e

-a（t+τ）

dt

A

2a

6.2求初始相角ϕ为随机变量的正弦函数x（t）=Acos（ωt+ϕ）的自相关函数，如果

x（t）=Asin（ωt+ϕ），Rx（τ）有何变化？

解

Rx（τ）=

===A1T

⎰

T

T

x（t）x（t+τ）dt=

AT

2

⎰

T

cos（ωt+ϕ）cos[ω（t+τ）+ϕ]dt

AA

2

2

⎰

2

T

cosωtcosω（t+τ）dt12

[cosωτ+cos（2ωt+ωτ）]d（ωt）

2π

⎰

2π

2

cosωτ

当x（t）=Asin（ωt+ϕ）时

Rx（τ）=

1T

⎰

2

T

x（t）x（t+τ）dt=

T

1T

⎰

T

sin（ωt+ϕ）sin[ω（t+τ）+ϕ]dt

==

ATA

⎰

2

cosωtcosω（t+τ）dt

2

cosωτ

6.3一线性系统，其传递函数为H（s）=

11+Ts

，当输入信号为x（t）=x0sin2πf0t时，

求：

（1）Sy（f）；

（2）Ry（τ）；（3）Sxy（f）；（4）Rxy（f）。

解

H（f）=

11+j2πfT

（1）

1

y（t）=H（f）x（t+t0）=

式中ϕ=-arctan（2πfT）

Ry（τ）=

1T

x0

+（2πfT）

2

sin（2πf0t+ϕ）

⎰

T

x0

+（2πfT）

2

sin（2πf0t+ϕ）⋅

x0

+（2πfT）

2

sin[2πf0（t+τ）+ϕ]dt

=

x0

2

2

2[1+（2πfT）]

cos（2πf0τ）

（2）

Rx（τ）=

=1T

⎰

2

T

x0sin（2πf0t）⋅x0sin[2πf0（t+τ）]dt

x02

cos（2πf0τ）

x04

2

Sx（f）=F[Rx（τ）]=[δ（f+f0）+δ（f-f0）]

2

2

Sy（f）=F[Ry（τ）]=

2

x0

4[1+（2πfT）]

x0

2

[δ（f+f0）+δ（f-f0）]

[δ（f+f0）+δ（f-f0）]

或Sy（f）=H（f）Sx（f）=（3）

Rxy（τ）=

1T

4[1+（2πfT）]

x0

+（2πfT）

2

2

⎰

T

x0sin（2πf0t）⋅sin[2πf0（t+τ）+ϕ]dt

=

x0

2

2

2+（2πfT）

cos（2πf0τ+ϕ）

式中ϕ=-arctan（2πfT）

（4）

Sxy（f）=H（f）Sx（f）=

11+j2πfT

⋅x04

2

[δ（f+f0）+δ（f-f0）]

=

x0

2

4（1+j2πfT）

[δ（f+f0）+δ（f-f0）]

6.5已知限带白噪声的功率谱密度为Sx（f）=⎨

⎧S0⎩0

f≤Bf>B

2

求其自相关函数Rx（τ）。

解

∞

B

Rj2πfτ

x（τ）=

⎰

-∞

Sx（f）e

df=⎰

j2πfτ

-B

S0e

df

=2SB

S00⎰cos（2πfτ）df=

πτ

sin（2πB0

τ）

=2BS

sinc（2πBτ）

2-1已知信号的自相关函数R60

2

x=（τ

）sin（50τ），求该信号的均方值ψx。

解：

ψ

2=R）=lim3000

sin（50τ）x

x（0）=lim（

60

=3000

τ→0

τ

）sin（50ττ→0

50τ

2-4求指数衰减函数x（t）=e

-at

cosω0t的频谱函数X（f），（a>0,

t≥0）。

求单边指数函数y（t）=⎧e-at

解（t≥0,a>0）⎨

的傅里叶变换及频谱

⎩0

（t

Y（ω）=

⎰

∞

-jωt

-jωt

-∞

y（t）e

dt=⎰∞

-at

-∞

e

edt=

1a+jω

因为cosωe

-jω0t

+ejω0t

0t=

2

由位移性质，有

X（ω）=

1

2[

1

1a+j（ω+ω]

0）

+

a+j（ω-ω0）

于是，有

X（f）=

11

1

2[

+

]a2

+4π2

（f+f0）

2

a2+4π2（f-f2

0）

3