一元二次方程经典题型汇总.docx
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一元二次方程经典题型汇总
一元二次方程经典题型汇总
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：
，它的特征是：
等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中
叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
一．填空题：
1．关于x的方程mx-3x=x-mx+2是一元二次方程,则m___________．
2．方程4x（x-1）=2（x+2）+8化成一般形式是_______________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______.
3．关于x的一元二次方程（m+3）x+4x+m-9=0有一个解为0,则m=______.
4、.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为-1,则a、b、c的关系是_____
5、当时，方程不是一元二次方程，当时，上述方程是一元二次方程。
二．选择题：
6．在下列各式中①x+3=x;②2x-3x=2x（x-1）–1;③3x-4x–5;④x=-+2
是一元二次方程的共有（）A0个B1个C2个D3个
7、下列方程中，一元二次方程是（）
（A）（B）（C）（D）
8．一元二次方程的一般形式是（）
Ax+bx+c=0Bax+c=0（a≠0）Cax+bx+c=0Dax+bx+c=0（a≠0）
9．方程6x-5=0的一次项系数是（）A6B5C-5D0
10、关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（）
A、B、C、或D、
三、.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
x（3x+2）=6（3x+2）
（3–t）+t=9
二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法:
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如
的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，
是b的平方根，当
时，
，
，当b<0时，方程没有实数根。
练习：
用直接开平方法解下列一元二次方程
1、2、3、4、
2、配方法:
配方法的理论根据是完全平方公式
，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有
。
配方法的步骤：
先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式
练习：
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+ =（x+ ）2；②、x2－5x+ =（x－ ）2；
③、x2+x+ =（x+ ）2；④、x2－9x+ =（x－ ）2
2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．3B．-3C．±3D．以上都不对6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（）
A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-1
7．把方程x+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=2
8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）A．2±B．-2±C．-2+D．2-
9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）
A．总不小于2B．总不小于7C．可为任何实数D．可能为负数
10、用配方法解方程，下列配方正确的是（）
A．B．C．D．
11．用配方法解下列方程：
（1）3x2-5x=2．
（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0（4）x2-x-4=0
12、用配方法求解下列问题
（1）求2x2-7x+2的最小值；
（2）求-3x2+5x+1的最大值。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程
的求根公式：
公式法的步骤：
就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c
练习：
用公式解法解下列方程。
1、2、3、
4、5、6、
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：
把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
练习：
用因式分解法解下列一元二次方程。
1、2、3、
4、5、6、
三、一元二次方程根的判别式
根的判别式
一元二次方程
中，
叫做一元二次方程
的根的判别式，通常用“
”来表示，即
I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
III当△<0时，一元二次方程没有实数根
练习：
一、选择题
1、一元二次方程的根的情况为（ ）
Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根
2、若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m-1C．m>lD．m<-1
3、一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正根B．有两个不相等的负根C．没有实数根D．有两个相等的实数根
4、已知函数的图象如图（7）所示，那么关于的方程的根的情况是（）
A．无实数根B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根
5、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
（A）x2＋4＝0 （B）4x2－4x＋1＝0 （C）x2＋x＋3＝0 （D）x2＋2x－1＝0
6、下列方程中有实数根的是（ ）
（A）x2＋2x＋3＝0 （B）x2＋1＝0 （C）x2＋3x＋1＝0 （D）
7、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A．m＞－1B．m＜－2C．m≥0D．m＜0
8、如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（）。
A、2B、－2C、4D、－4
二、填空题
1、方程的解为。
2、阅读材料：
设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：
，．
根据该材料填空：
已知，是方程的两实数根，则的值为______
3、关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝______；c＝______．
4、方程的解是
5、已知方程有两个相等的实数根，则
6、方程x2+2x=0的解为
9、已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的实数根，那么代数式的值为＿＿＿＿
10、已知是关于的方程的一个根，则_______．
11、若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是．
12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：
__________________。
13、已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是．
四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程
的两个实数根是
，那么
，
。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
五、一元二次方程应用题
学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.
1、增长率问题
恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率.
2、商品定价
益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？
每件商品应定价多少？
3、储蓄问题
王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
4、趣味问题
一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
5、古诗问题
读诗词解题：
（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
6、象棋比赛
象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
7、情景对话
春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
8、等积变形
将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?
若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.
9、动态几何问题
如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
10、梯子问题
一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
11、航海问题
如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船
相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？
（精确到海里）
12、图表信息
如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n－1）×（n－1）个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.
请你认真观察思考后回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，
（2）完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
纸片的边长n
2
3
4
5
6
使用的纸片张数
（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.
①当n＝2时，求S1∶S2的值；
②是否存在使得S1＝S2的n值？
若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
13、探索存在性问题
将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
14、平分几何图形的周长与面积问题
如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？
若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？
若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.
15、利用图形探索规律
如图，每个正方形有边长为1的小正方形组成：
（1）观察图形，请填写下列表格：
正方形边长
1
3
5
7
…
n（奇数）
黑色小正方形个数
…
正方形边长
2
4
6
8
…
n（偶数）
黑色小正方形个数
…
（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1？
若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.
应用题答案
1解 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200（1－20%）（1+x）2＝，即（1+x）2＝，解这个方程，得x1＝，x2＝－（舍去）.答 这两个月的平均增长率是10%.说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m（1+x）2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m（1－x）2＝n即可求解，其中m＞n.
2解 根据题意，得（a－21）（350－10a）＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×（1+20%）＝，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答 需要进货100件，每件商品应定价25元.
说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
3解 设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000（1+x）－500]（1+＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解这个方程，得x1≈＝%，x2≈－.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－舍去.答 第一次存款的年利率约是%.
说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.
4解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为（x+m，上口宽为（x++m.则根据题意，得
（x++x++·x＝，整理，得x2+－＝0.解这个方程，得x1＝－（舍去），x2＝1.所以x++＝1++＝.答 渠道的上口宽，渠深1m.
说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
5解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.则根据题意，得x2＝10（x－3）+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答 周瑜去世的年龄为36岁.说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.
6解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与（n－1）个选手比赛一局，共计n（n－1）局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为
n（n－1）局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n（n－1）分.显然（n－1）与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n（n－1）＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.答 参加比赛的选手共有45人.
说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解
7解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.
则根据题意，得[1000－20（x－25）]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.
当x＝45时，1000－20（x－25）＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20（x－25）＝900＞700，符合题意.
答：
该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.
8解 都能.
（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝
×18×15，即x2－34x+180＝0，解这个方程，得x＝
，即x≈.
（2）设扇形半径为r，则＝
×18×15，即r2≈，所以r≈.
说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.
9解 因为∠C＝90°，所以AB＝
＝
＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝（6－x）cm，CQ＝2xcm.则根据题意，得
·（6－x）·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得
（6－x）·2x＝
×
×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.
10解 依题意，梯子的顶端距墙角
＝8（m）.
（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.
则根据勾股定理，列方程72+（6+x）2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，解这个方程，得x1≈，x2≈－（舍去），
所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约.
（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程（8－x）2+（6+1）2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.解这个方程，得x1≈，x2≈（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约.
（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程（8－x）2+（6+x）2＝102，整理，得2x2－4x＝0，
解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.
说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
11解
（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝
AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－（AB+BE）－CF＝（300－2x）海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+（300－2x）2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程，得x1＝200－
≈，x2＝200+
（不合题意，舍去）.所以，相遇时补给船大约航行了海里.
说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.
12解
（1）依题意可依次填表为：
11、10、9、8、7.
（2）S1＝n2+（12－n）[n2－（n－1）2]＝－n2+25n－12.①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝
×122，即n2－25n+84＝0，
解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.
说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.
13解
（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20－x）cm.则根据题意，得
+
＝17，解得x1＝16，x2＝4，
当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.
（2）不能.理由是：
不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm.则由题意得
+
＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移项并配方，得（y－10）2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.
说明 本题的第
（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.
14解
（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.
则可得，FG＝
×4，所以S△BEF＝
BE·FG＝－
x2+
x（7≤x≤10）.
（2）存在.由
（1）得－
x2+
x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，舍去），
所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.
（3）不存
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