数值分析第4章.docx
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数值分析第4章
第四章数值积分与数值微分
1•确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
h
⑴hf（x）dxAif（h）Aof（O）AJ（h）;
2h
（2）2hf（x）dxAif（h）Aof（O）Af（h）；
1
⑶lf（x）dx[f
（1）2f（Xi）3f（X2）]/3;
h2
⑷。
f（x）dxh[f（O）f（h）]/2ah2[f（0）f（h）];
解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多
项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
h
（1）若
（1）hf（x）dxA1f（h）Aof（0）Af（h）
令f（x）1，则
2hA1A）A1
令f（x）x，则
0A1hAh
2
令f（x）X,则
2322
h3h2A1h2A
3
从而解得
Ao4h
3
A
3
A1^h
3
令f（x）x3，则
hh3
f（x）dxx3dx0
hh
A1f（h）A^f（0）A1f（h）0
h
故hf（x）dxA1f（h）A）f（0）Af（h）成立。
h
hf（x）dx
h425
xdxh
h5
A1f（h）
A）f（0）A1f（h）|h5
故此时，
h
hf（x）dx
Afh）A0f（0）A1f（h）
h
故hf（x）dxA1f（h）A）f（O）Af（h）
具有3次代数精度。
2h
（2）若2hf（x）dxAif（h）Aof（0）Aif（h）
令f（x）1，则
4hA1A1
令f（x）x，则0A1hAh
^h3h2Aih2Ai
3
从而解得
Ao
4h
A8h
3
A18h
3
令f（x）x3，则
2h
2h
f（x）dx
2hx3dx
2h
A1f（h）Aof（0）A1f（h）0
2h
故2hf（x）dxA1f（h）A）f（0）A,f（h）成立。
2h
2h
f（x）dx
2hx4dx
2h
64h5
165
Aif（h）Aof（0）Af（h）-h5
3
故此时，
2h
2h
f（x）dx
Aif（h）Aof（0）Aif（h）
因此，
2h
“f（x）dxAif（h）Aof（0）Aif（h）
具有3次代数精度。
i
（3）若if（x）dx[f（i）2f（xi）3f（x2）]/3令f（x）i，则
i
if（x）dx2[f（i）
2f（xi）3f（x2）]/3
令f（x）x，则
0i2x-i3x2
令f（x）X,则
22
2i2xi3x2
从而解得
x.0.2899xi0.6899
或i
x20.5266x20.i266
令f（x）x3，则
ii3
1f（x）dx/dx0
[f（i）2f（xi）3f（x2）]/30
i
故1f（x）dx[f（i）2f（xJ3f（x2）]/3不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
h2
（4）
f（h）]
若0f（x）dxh[f（0）f（h）]/2ah[f（0）
令f（x）i，则
f（x）dx
h,
h[f（0）
f（h）]/2
ah2[f（0）
f（h）]
令f（x）
x，则
h
0f（x）dx
h
xdx
0
!
h2
2
h[f（0）
f（h）]/2
2
ah[f（0）
f（h）]
!
h2
2
令f（x）
x2
，则
h
0f（x）dx
\2dx
0
1h3
3
h[f（0）f（h）]/2
2
ah[f（0）
f（h）]
132
h2ah
2
故有
1.313
hh
32
1
a
12
2ah2
令f（x）
x3
，则
h
0f（x）dx
h3
x3dx
0
h[f（0）
1h4
4
12
f（h）]/2才[f（0）
12
f（h）]
1h4
4
令f（x）
x4
，则
h415
xdxh
05
12h[f（0）f（h）]/2h[f（0）12
h
0f（x）dx
f（h）]
!
h5
2
1h5
6
故此时，
h
0f（x）dxh[f（0）f（h）]/2
12
h2[f（0）f（h）],
12
h12
f（x）dxh[f（0）f（h）]/2-h2[f（0）f（h）]
12
因此，
0
具有3次代数精度。
2•分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
1x
（1）0rdx,n8;
04x
1
1（1ex）2.
dx,n0x
1xdx,n4;
06..,厂命
n
6；
解:
（1）n8,a0,b
1,h
1
8,f（x）
x
4x2
复化梯形公式为
7
f（xk）
f（b）]
0.11140
复化辛普森公式为
h
S8-[f（a）
6
f（Xk
1）
2
f（Xk）
f（b）]
0.11157
⑵n10,a
0,b
1,h
10,f（x）
（1
复化梯形公式为
T102[f（a）
f（Xk）f（b）]
1.39148
复化辛普森公式为
SI0
h9
-[f（a）4
6k0
f（xk1）
2
f（Xk）f（b）]
1.45471
（3）n
4,a1,b9,h
2,f（x）
复化梯形公式为
h3
T4-[f（a）2f（xQf（b）]
2k1
17.22774
复化辛普森公式为
S4h[f（a）4
6
f（xk
1）
2
f（Xk）f（b）]
17.32222
⑷n6,a0,b,h
6
36,f（x）C
复化梯形公式为
T6
2[f（a）
2f（xQ
f（b）]1.03562
复化辛普森公式为
f（b）]1.03577
h55
S6-[f（a）4f（xki）2f（Xk）
6k0k2k1
3。
直接验证柯特斯教材公式（2。
4）具有5交代数精度。
证明：
柯特斯公式为
f（x）dx
ba
"90"
[7f（xo）
32f（xJ12f（X2）32f（X3）7f（%）]
令f（x）1，则
bba
af（X）dX莎
詈[7f（X0）32f（X1）12f（X2）
32f（X3）
7f（X4）]
令f（x）x，则
bb
f（x）dxxdx
aa
122
2（ba）
ba
『仏）32f（X1）12f（X2）
32f（X3）
7心）]
1（b2
2（b
a2）
bf（x）dxbx2dx】（b3a3）
aa3
ba
90
[7f（Xo）32f（xJ12f（X2）
32心）
7f（X4）]
1（b3
3（b
3\
a）
令f（x）X3，则
bf（x）dxbx3dx丄（b4a4）
aa4''
ba
90
[7f（Xo）32f（xJ12f（X2）
32仏）
7f（X4）]
1（b4
a4）
令f（X）x4，则
bf（x）dxbx4dx]（b5a5）
aa5
5\
a）
^^[7f（x0）32f（xJ12f（X2）32f（x3）7f（x4）]-（b5
905
令f（x）x
，则
b
f（x）dxa
\5dx
a
6（bQa6）
6
KaA
——[7f（x。
）32f（xJ12f（X2）32f（X3）7f（Q]-（b6
906
a6）
令f（x）x6，则
hba
0f（x）dx苛［7f（x。
）32f（N）12f（X2）32f（xJ7彳仇）］
因此，该柯特斯公式具有
4。
用辛普森公式求积分
5次代数精度。
1
exdx并估计误差。
0
解：
辛普森公式为
S山
6
此时，
[f（a）
4f（-a
壬f（b）]
a0,b
1,f（x）
从而有
1
S6（1
1
4e2
1
）0.63233
误差为
R（f）
1
180
1
27
ba（ba、4
180'2k（
0
e0.00035,
（0,1）
5。
推导下列三种矩形求积公式:
f（x）dx
（b
a）f（a）
f（x）dx
（b
a）f（b）
f（x）dx
（b
a）f（七
n
2号*b）
）（b
a）2；
a）2；
24）（ba）3；
证明:
（a,b）
（1）Qf（x）f（a）f（）（xa）,
两边同时在［a,b］上积分,
（ba）f（a）
b
）（xa）dxa
b
f（x）dxa
即
b
f（x）dxa
（ba）f（a）
（2）Qf（x）
f（b）f（
f（
2
）（b
）（ba）2
x）,（a,b）
两边同时在
［a,b］上积分,
（ba）f（a）
b
）a（bx）dx
b
af（x）dx
即
b
af（x）dx
（ba）f（b）
（3）Qf（x）
f号）
2）（ba）2
f（竽）（x护
Jx专）2,
（a,b）
两连边同时在［a,b］上积分，得
f（x）dx
f（x）dx
（ba）f（乎）
（ba）f
心）
b
a（x
jdx
2
6。
若用复化梯形公式计算积分
山（b
24
1
IQexdx，问区间［0,1］应人多少等分才能使截断误差不超
a）3；
15
过2io5?
若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间［0,1］应分多少等分?
解：
采用复化梯形公式时，余项为
R（f）bah2f（）,（a,b）
12
1
又QIexdx
0
故f（x）ex,f（x）ex,a0,b1.
Rn（f）
即2
15
若FUf）2105，则
265
h2—105
e
当对区间［0,1］进行等分时,
故有
:
105212.85
因此，将区间213等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为
（a,b）
R（f）
ba/h\4七（4）
硕
（2）f（）,
又Qf（x）
f（x）
Rn（f）
2880h4|f^）l
若R（f）
-105，则
2
105
当对区间［0,1］进行等分时
1n_
h故有
（1440
e
1
105）4
3.71
因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。
如果f（x）0,证明用梯形公式计算积分
b
If（x）dx所得结果比准确值I大，并说
a
明其几何意义。
解：
采用梯形公式计算积分时，余项为f（）3
Rt古（ba）3,［a,b］
12
又Qf（x）0且ba
Rt0
又QRT1T
IT
即计算值比准确值大。
0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。
其几何意义为，f（x）
&用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过
10
（1）
21
xdx
..0
2
⑵
0xsin
xdx
⑶
八1
0
x2dx.
解：
（1）1
2
1x,
T
dx
0
k
T0（k）
T1（k）
T2（k）
T3（k）
0
0.7717433
1
0.7280699
0.7135121
2
0.7169828
0.7132870
0.7132720
3
0.7142002
0.7132726
0.7132717
0.7132717
因此I0.713727
2
⑵1°xsinxdx
k
T0（k）
T1（k）
0
6
3.45131310
1
8.628283107
21
-4.44692310
因此I0
（3）I\1x2dx
k
T0（k）
T1（k）
丁（k）
12
T3（k）
丁（k）
T4
丁（k）
15
0
14.2302495
1
11.1713699
10.1517434
2
10.4437969
10.2012725
10.2045744
3
10.2663672
10.2072240
10.2076207
10.2076691
4
10.2222702
10.2075712
10.2075943
10.2075939
10.2075936
5
10.2112607
10.2075909
10.2075922
10.2075922
10.2075922
10.2075922
因此I10.2075922
9。
用n2,3的高斯-勒让德公式计算积分
1e
sinxdx.
解:
exsinxdx.
Qx[1,3],令tx2，则t[1,1]
用n2的高斯一勒让德公式计算积分
I0.5555556[f（0.7745967）f（0.7745967）]0.8888889f（0）
10.9484
用n3的高斯一勒让德公式计算积分
I0.3478548[f（0.8611363）f（0.8611363）]
0.6521452[f（0.3399810）f（0.3399810）]
10.95014
10地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是
1（c）2sin2
这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离,H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则
a（2RHh）/2,c（Hh）/2.
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439（km），远地点距离H=2384（km）。
试求卫星轨道的周
长。
解：
QR6371,h439,H2384
从而有。
a（2RHh）/27782.5
c22
（_）2sin2d
a
c（Hh）/2972.5
k
T0（k）
T1（k）
T2（k）
0
1.564640
1
1.564646
1.564648
2
1.564646
1.564646
1.564646
S
I1.564646
S48708（km）
即人造卫星轨道的周长为48708km
11。
证明等式
35
nsin_24L
n3!
n5!
n
试依据nsin（—）（n3,6,12）的值，用外推算法求的近似值。
n
解
若f（n）nsin—，
n
又Qsinxx^x3—x5L
3!
5!
此函数的泰勒展式为
f（n）nsin—
n
n[n
1
3!
1
5!
Q5
当n3时，nsin—2.598076n
当n6时，nsin—3
n
当n12时，nsin—3.105829
由外推法可得
n
T0（n）
3
2.598076
6
3.000000
9
3.105829
T1（n）
T2（n）
3.133975
3.141105
3.141580
故3.14158
12。
用下列方法计算积分1号，并比较结果。
（1）龙贝格方法；
（2）三点及五点高斯公式;
（3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。
解
3dy
（1）采用龙贝格方法可得
k
T0（k）
T1（k）
T畀
T3（k）
T4（k）
0
1.333333
1
1.166667
1.099259
2
1.116667
1.100000
1.099259
3
1.103211
1.098726
1.098641
1.098613
4
1.099768
1.098620
1.098613
1.098613
1.098613
故有I1.098613
（2）采用高斯公式时
3dy
此时y[1,3],
令xy乙则x[1,1],
",
f（x）
利用三点咼斯公式，则
I0.5555556[f（0.7745967）f（0.7745967）]0.8888889f（0）
1.098039
利用五点高斯公式，则
I0.2369239[f（0.9061798）f（0.9061798）]
0.4786287[f（0.5384693）f（0.5384693）]0.5688889f（0）
1.098609
（3）采用复化两点高斯公式
将区间［1,3］四等分，得
II1I2I3丨4
1.5dy2dy2.5dy3dy
1y1.5y2y2.5y
作变换y，则
4
I1
f（x）
—dx,
1x5
1
r_5,
I1f（0.5773503）
f（0.5773503）
0.4054054
x7
作变换y，则
4
I2
f（x）
1
dx,
1x7
1
x7，
I2f（0.5773503）
f（0.5773503）
0.2876712
x9
作变换y，则
4
11
132
f（x）—，
x9
I3f（0.5773503）
f（0.5773503）
0.2231405
作变换y
I4
1dx,
f（x）
1x11
1
x11
I4f（0.5773503）
因此，有
I1.098538
f（0.5773503）
0.1823204
13•用三点公式和积分公式求f（x）
1
2在x1.0,1.1，和1.2处的导数值，并估计误差。
（1x）
x
1.0
1.1
1.2
F（x）
0.2500
0.2268
0.2066
f（x）的值由下表给出:
解:
f（x）
1
（1x）2
f（X。
）
2h[4f（Gf（X2）]
1
h2
f（X1）
2h[f（X0）
f（X2）]
¥f（
f（X2）
1
[g
4f（X1）
3f（X2）]
由带余项的三点求导公式可知
）
h2
又Qf（x0）0.2500,f（x1）0.2268,f（x2）0.2066,
1
f（x。
）[3f（X0）4f（xJf（X2）]0.247
2h
1
f（Xi）[f（x0）f（x2）]0.217
2h
1
f（X2）[f（x。
）4f（xJ3f（X2）]0.187
2h
又Qf（x）12
（1x）2
24f（X）k
又Qx[1.0,1.2]
f（）0.75
故误差分别为
h2
R（X0）|亍（
R（xj|丨（
6
h2
R（X2）|（
2.5
103
1.25
103
2.5
103
利用数值积分求导,设（x）f（x）
f（Xk1）f（Xk）
Xk1
x（x）dx
xk
由梯形求积公式得
（Xk）（Xk1）]
xk1h
（x）dx-[兀2
从而有
f（Xki）f（Xk）2[（Xk）（Xk1）]
故
2
（Xo）（为）[f（Xi）f（X。
）]
h
（为）（X2）2【f（X2）f（Xi）]
h
又Qf（Xki）
Xk1
f（Xki）X（X）dX
Xki
Xki
Xki
（x）dxh[（Xki）
（Xki）]
从而有
f（Xki）f（Xki）h[（Xki）（Xki）]
i
故（Xo）（X2）-[f（X2）f（Xo）]
h
即
（Xo）
（Xi）
O.464
（Xi）
（X2）
O.4O4
（Xo）
（X2）
O.434
解方程组可得
（Xo）
0.247
（Xi）
0.2i7
（X2）
O.i87
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