高中数学求数列通项公式与求和的方法总结教案练习答案.docx
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高中数学求数列通项公式与求和的方法总结教案练习答案
学生教案
数列求通项公式的方法
一、叠加法
1．适用于：
an+1=an+f（n）----------这是广义的等差数列累加法是最基
本的两个方法之一。
2．若an1an
f（n）（n2），
a2
a1
f
（1）
a3
a2
f
（2）
则
an
1an
f（n）
n
两边分别相加得
an
1
a1
k1
f（k）
例1已知数列
{
a
}
，
，求数列{a}的通项公式。
满足an1
an
2n1a1
1
n
n
解：
由an1
an
2n
1得an1
an
2n
1则
an
（an
an1）（an1
an2）
（a3
a2）（a2
a1）a1
[2（n
1）
1]
[2（n
2）
1]
（2
2
1）
（21
1）
1
2[（n
1）
（n
2）
2
1]
（n
1）
1
（n
1）n
（n1）
1
2
2
（n1）（n
1）
1
n2
所以数列{an}的通项公式为an
n2。
{an}
an
0
Sn
1（an
n）
{an}
例2.已知数列
中,
且
2
an
求数列
的通项公式.
Sn
1（an
n）
Sn
1（Sn
Sn1
Sn
n
）
解:
由已知
2
an
得
2
Sn1
化简有
Sn2Sn21
n
由类型
（1）
有
Sn2
S12
23
n
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学生教案
2
n（n
1）
2n（n
1）
又S1
a1得a1
1,所以Sn
2
又an
0,sn
2
an
2n（n
1）
2n（n
1）
2
则
练习1，已知数列an的首项为1，且an1
an2n（n
N*）写出数列an的通项
公式.
答案：
n2
n
1
anan1
1
2）
{an
}
a1
3
（n
练习2.
已知数列
满足
，
n（n1）
，求此数列的通项公
式.
an4
1
答案：
裂项求和
n
练习3.
已知数列an满足a1
1，an1an
1
，求an。
2
n2
n
解：
由条件知：
an
1an
1
1
1
1
n2
nn（n
1）
n
n1
分别令n
1,2,3,
（n
1）
，代入上式得
（n
1）
个等式累加之，即
（a2a1）（a3
a2）（a4
a3）
（an
an1）
（11）（11）（1
1）
（1
1）
2
2
3
1
3
4
n1
n
所以an
a1
1
n
a11，an
1
1
1
31
2
2
n
2
n
评注：
已知
a1
a
an1an
f（n）
，其中f（n）可以是关于n的一次函数、二次
函数、指数函数、分式函数，求通项an.
①若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
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学生教案
②若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
二、叠乘法
1.适用于：
an1
f（n）an----------
这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若
an1
a2
a3
f
（2），
an1
f（n）
an
f（n），则
f
（1），
，
a1
a2
an
两边分别相乘得，an1
n
a1
f（k）
a1
k1
例3.
已知数列an满足a1
2，an1
n
an，求an。
3
n
1
解：
由条件知
an1
n
，分别令n
1,2,3,
（n1）
，代入上式得（n1）
an
n1
个等式累乘之，即
a2
a3
a4
an
123
n1
an
1
a1
a2
a3
an1
234
n
a1
n
又
a1
2，
an
2
3
3n
练习1.已知数列{an}满足an1
2（n
1）5n
an，a1
3
，求数列{an}的通项公式。
解：
因为an
1
2（n
1）5n
an，a1
3
，所以an
0
，则an1
2（n
1）5n，故
an
a
an
an1
a3a2a
n
an
an
a2a1
1
1
2
[2（n
1
1）5n1][2（n
2
1）5n2]
[2（2
1）
52][2（1
1）
51]3
2n
1[n（n
1）
32]
5（n1）
（n
2）
2
1
3
2n1
n（n1）
3
5
2
n!
2n1
n（n
1）
所以数列{an}的通项公式为an
3
5
2
n!
.
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学生教案
练习2.设an是首项为1的正项数列，且n
1an2
1
nan2
an1an0（n=1，2，
3，⋯），则它的通项公式是an=________.
解：
已知等式可化为：
（an
1
an）（n
1）an1
nan
0
an1
n
an
0（nN*）
（n+1）
an1
nan
0,
即an
n1
an
n
1
n
2时，an1
n
an
anan1
a2
n1n2
1
1
an1an2
a1
a1
n1
2
1
=n
=n.
评注：
本题是关于an和an1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an1的更为明显的关系式，从而求出an.
练习.已知an1
nan
n1,a11,求数列{an}的通项公式.
答案：
an（n
1）!
（a1
1）
-1.
评注：
本题解题的关键是把原来的递推关系式
an1nann
1,转化为
an11n（an1）,若令bnan
1,则问题进一步转化为bn1
nbn形式，进而应
用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于an1qanf（n）
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是
自然数集的一个函数。
1．形如an1cand,（c0,其中a1a）型
（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;
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学生教案
（3）若c1且d0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：
设an1
c（an
）,
得an1
can（c
1）
与题设an
1
can
d,比较系数得
（c1）
d,所以
c
d
（c0）
an
c
d
c（an1
d）
1
所以有：
1
c1
d
a1
d
因此数列
an
1
c
1为首项，以c为公比的等比数列，
c
构成以
an
d
（a1
d
）cn1
an
（a1
d
）cn1
d
所以
c1
c1
即：
c1
c1.
规律：
将递推关系an1
an1
c
d
c（an
d
）
cand化为
1
c1
构造成公比为c
{an
d}
从而求得通项公式
an1
1
d
cn1（a1
d）
的等比数列
c
1
c
c1
例4.已知数列
{an}中，a11,an
2an
1
1（n
2），求数列an的通项公式。
解：
an
2an
11（n2）,
an
1
2（an1
1）
又a11
2,
an
1是首项为2，公比为2的等比数列
an
12n，即an
2n
1
四．逐项相减法（逐差法
1）：
有时我们从递推关系an1cand中把n换成n-1
有an
can1d,两式相减有an1
an
c（an
an1）从而化为公比为c的等比数
列{an
1
an},进而求得通项公式.
an
1
an
cn（a2a1）,再利用类型
（1）即可求
得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
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学生教案
例5已知数列{an}中，a11,an
2an11（n2），求数列an的通项公式。
解：
an
2an11（n2）,
an1
2an
1
两式相减得an1an2（anan1）（n2），故数列an1an是首项为2，公比为2
的等比数列，再用累加法的⋯⋯
练习．已知数列{an}中，a12,an1
1
1
2an
2,求通项an。
答案：
an
（1）n1
1
2
2．形如：
an1p
an
qn
（
其中q是常数，且n
0,1）
①若p=1时，即：
an1
an
qn
，累加即可.
②若p1时，即：
an
1p
an
qn，
求通项方法有以下三种方向：
i.
两边同除以pn1
.目的是把所求数列构造成等差
数列
an1
an
1p
n
an
bn1
bn
1p
n
pn1
qn
（）
bn
（）
即：
pq
令
pn
，则
pq
然后类型1，累
加求通项.
ii.两边同除以qn1.目的是把所求数列构造成等差数列。
an
1
p
an
1
即：
qn1
q
qn
q,
bn
an
p
1
qn
则可化为
bn1
bn
5来解，
令
q
q.然后转化为类型
iii.待定系数法：
目的是把所求数列构造成等差数列
n1n
设an1qp（anp）.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.
注意：
应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。
例6已知数列{an}满足an12an43n1，a11，求数列an的通项公式。
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学生教案
解法一（待定系数法）：
设
an1
13n
2（an
3n1）
，比较系数得
1
4,22
，
则数列
an
43n1
是首项为
a4311
5
，公比为2的等比数列，
1
所以an
43n1
52n1，即an43n1
52n1
解法二（两边同除以qn
1
）：
两边同时除以3n
1
an1
2
an
4
得：
3n1
3
3n
32
，下面解法
略
解法三（两边同除以pn
1
an1
an
4
（
3
）
n
）：
两边同时除以
2n
1得：
2n1
2n
3
2
，下面解
法略
练习.
已知数列an
中，a1
5,an1
1an
（1）n1，求an。
1
1
6
3
2
2（2n
解：
在an
1
an
（
）n
1两边乘以2n1得：
2n1
an1
an）
1
3
2
2bn
3
2
（2）n
令bn
2n
an，则bn1
1,应用例7解法得：
bn
3
3
3
所以an
bn
3
（1）n
2
（1）n
2n
2
3
3．形如an1panknb（其中k,b是常数，且k0）
方法1：
逐项相减法（逐差法）
方法2：
待定系数法
通过凑配可转化为
（an
xn
y）
p（an1
x（n
1）y）;
解题基本步骤：
1、确定f（n）=kn+b
2、设等比数列bn
（an
xn
y），公比为p
3、列出关系式（an
xn
y）
p（an1
x（n
1）
y）,即bnpbn1
4、比较系数求x,y
5、解得数列（anxny）的通项公式
6、解得数列an的通项公式
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学生教案
例7
在数列
{an
}
中，
a1
1,an1
3an
2n,
求通项
a
n.（逐项相减法）
解：
，an1
3an
2n,
①
n
2时，an
3an
1
2（n
1），
两式相减得
an1
an
3（an
an
1）
2.令bn
an1
an,则bn
3bn1
2
利用类型5的方法知bn
53n1
2
即
an
1
an
53n1
1
②
再由累加法可得
an
5
3n1
n
1
亦可联立
①
②解出
2
2.
an
5
3n1
n
1
2
2.
练习.
在数列{an}中，
a1
3,2an
an1
6n
3
求通
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