2.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:
(1)化边为角;
(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
例1.已知在
中,
,
,
,解三角形.
思路点拨:
先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出边
,然后用三角形内角和求出角
,最后用正弦定理求出边
.
解析:
,
∴
,
∴
,
又
,
∴
.
总结升华:
1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;
2.数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式.
举一反三:
【变式1】在
中,已知
,
,
,解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理,
;
根据正弦定理,
;
根据正弦定理,
【变式2】在
中,已知
,
,
,求
、
.
【答案】
,
根据正弦定理
,∴
.
【变式3】在
中,已知
,求
【答案】根据正弦定理
,得
.
例2.在
,求:
和
,
.
思路点拨:
先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角
,然后用三角形内角和求出角
,最后用正弦定理求出边
.
解析:
由正弦定理得:
,
∴
,
(方法一)∵
,∴
或
,
当
时,
,(舍去);
当
时,
,∴
.
(方法二)∵
,
,∴
,
∴
即
为锐角,∴
,
∴
.
总结升华:
1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题。
2.在利用正弦定理求角
时,因为
,所以要依据题意准确确定角
的范围,再求出角
.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
类型二:
余弦定理的应用:
例3.已知
中,
、
、
,求
中的最大角。
思路点拨:
首先依据大边对大角确定要求的角,然后用余弦定理求解.
解析:
∵三边中
最大,∴
其所对角
最大,
根据余弦定理:
,
∵
,∴
故
中的最大角是
.
总结升华:
1.
中,若知道三边的长度或三边的关系式,求角的大小,一般用余弦定理;
2.用余弦定理时,要注意公式中的边角位置关系.
举一反三:
【变式1】已知
中
求角
.
【答案】根据余弦定理:
,
∵
,∴
【变式2】在
中,角
所对的三边长分别为
,若
,求
的各角的大小.
【答案】设
,
,
,
根据余弦定理得:
,
∵
,∴
;
同理可得
;
∴
【变式3】在
中,若
,求角
.
【答案】∵
,∴
∵
,∴
类型三:
正、余弦定理的综合应用
例4.在
中,已知
,
,
,求
及
.
思路点拨:
画出示意图,由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边
,然后继续用余弦定理或正弦定理求角
.
解析:
⑴由余弦定理得:
=
=
=
∴
⑵求
可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
(法一:
余弦定理)
∵
,
∴
(法二:
正弦定理)
∵
又∵
,
∴
<
,即
<
<
∴
总结升华:
画出示意图,数形结合,正确选用正弦、余弦定理,可以使解答更快、更好.
举一反三:
【变式1】在
中,已知
.求
和
.
【答案】由余弦定理得:
,
∴
由正弦定理得:
,
因为
为钝角,则
为锐角,∴
.
∴
.
【变式2】在
中,已知角
所对的三边长分别为
,若
,
,
,求角
和
【答案】根据余弦定理可得:
∵
,∴
;
∴由正弦定理得:
.
其他应用题详解
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.akmB.
akm
C.
akmD.2akm
解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,在△ACB中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=2a2-2a2×
=3a2,
∴AB=
a.
答案 B
2.张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A.2
kmB.3
km
C.3
kmD.2
km
解析 如图,由条件知AB=24×
=6,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知
=
,所以BS=
sin30°=3
.
答案 B
3.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25海里/小时,轮船B的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是( )
A.35海里B.35
海里
C.35
海里D.70海里
解析 设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F,则依题意有CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120°,
EF=
=
=70.
答案 D
4.(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是( )
A.20
mB.20
m
C.20(1+
)mD.30m
解析 如图所示,由已知可知,四边形CBMD为正方形,CB=20m,所以BM=20m.又在Rt△AMD中,
DM=20m,∠ADM=30°,
∴AM=DMtan30°=
(m).
∴AB=AM+MB=
+20
=20
(m).
答案 A
5.(2013·天津卷)在△ABC中,∠ABC=
,AB=
,BC=3,则sin∠BAC=( )
A.
B.
C.
D.
解析 由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=(
)2+32-2×
×3×
=5,所以AC=
,再由正弦定理:
sin∠BAC=
·BC=
=
.
答案 C
6.(2014·滁州调研)线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始多少h后,两车的距离最小( )
A.
B.1
C.
D.2
解析 如图所示,设th后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t.因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就是求DE最小时t的值.
由余弦定理,得
DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°
=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t
=12900t2-42000t+40000.
当t=
时,DE最小.
答案 C
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
7.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为________km.
解析 如右图所示,由余弦定理可得:
AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700,
∴AC=10
(km).
答案 10
8.如下图,一艘船上午9:
30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:
00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8
nmile.此船的航速是________nmile/h.
解析 设航速为vnmile/h
在△ABS中,AB=
v,BS=8
,∠BSA=45°,
由正弦定理得:
=
,
∴v=32(nmile/h).
答案 32
9.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是________米.
解析 在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,
=
,
BC=
=10
(米).
在Rt△ABC中,tan60°=
,AB=BCtan60°
=10
(米).
答案 10
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
10.(2014·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10
米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗?
解 在△BCD中,∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=10
,由正弦定理,得BC=
=20
.
在Rt△ABC中,AB=BCsin60°=20
×
=30(米),所以升旗速度v=
=
=0.6(米/秒).
11.
如图,A、B是海面上位于东西方向相距5(3+
)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20
海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多