数学建模上机练习习题及答案.docx
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数学建模上机练习习题及答案
练习1基础练习
一、矩阵及数组操作：
1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）。
A=eye（3）B=eye（15,8）C=ones（3）D=ones（15,8）E=zeros（3）F=zeros（15,8）G=（-1+（1-（-1））*rand（3））H=1+sqrt（4）*randn（5）
2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数
a=fix（0+（10-0）*rand（10））;
K=find（a>=5）;
Num=length（K）或者num=sum（sum（a>=5））
num=
53
3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。
如已给定矩阵A在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行
在命令窗口中输入A（find（sum（abs（A'））==0）,:
）=[];
删除整列内容全为0的列。
A（：
，find（sum（abs（A'））==0））=[];
二、绘图：
4．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像：
y1=2x+5；y2=x^2-3x+1，
并且用legend标注
x=0:
0.01:
10;
y1=2*x+5;
y2=x.^2-3*x+1;
plot（x,y1,x,y2,'r'）
legend（'y1','y2'）
5．画出下列函数的曲面及等高线：
z=x^2+y^2+sin（xy）．
在命令窗口输入：
[x,y]=meshgrid（0:
0.25:
4*pi）;
z=x.^2+y.^2+sin（x.*y）；
contour3（x,y,z）;
meshc（x,y,z）
三、程序设计：
6．编写程序计算（x在[-3，3]，间隔0.01）
建立M文件d.m
x=input（'请输入x的值:
'）;
ifx>=-3&x<-1
y=（-x.^2-4*x-3）/2;
elseifx>=-1&x<1
y=-x.^2+1;
elseifx>=1&x<=3
y=（-x.^2+4*x-3）/2;
else
y='error'
end
y
在命令窗口输入x的值：
7．有一列分数序列：
求前15项的和。
a=1;
b=2;
sum=0;
fork=1:
15
c=b/a;
sum=sum+c;
t=b;
b=a+b;
a=t;
end
sum
sum=
24.5701
8．用至少三种方法编写函数实现求任意整数n的阶乘。
方法一：
functionf=factor（n）
ifn<=1
f=1;
else
f=factor（n-1）*n;
end
方法二：
functionresult=fa（n）
n=input（'pleaseinputn:
'）;
result=1;
fori=1:
n
result=result*i;
end
方法三：
n=input（'pleaseinputn:
'）;
x=1:
n;
prod（x）
9．将任意大于6的偶数m写成两个素数p1、p2的和（试着写出所有的m=p1+p2的可能形式）。
解：
functiony=f（n）;
n=input（'请输入n的值:
'）;
ifmod（n,2）;
error（'n不是素数.请重新运行程序.'）
elseifn<=6;
error（'n必须大于6.请重新运行程序.'）
else
form=1:
n;
fork=m:
n;
if（isprime（m））&（isprime（k））&（m+k==n）;
disp（[num2str（n）,'=',num2str（m）,'+',num2str（k）]）;
break;
end;
end;
end;
end;
10．是否任意3的倍数m可以写成三个素数p1、p2、p3的和（试着写出所有的m=p1+p2+p3
的可能形式）？
解：
functiony=fg（n）;
n=input（'请输入n的值:
'）;
ifmod（n,3）;
error（'n不是3的倍数.请重新运行.'）
elseifn<6;
error（'n必须不小于6.'）
else
form=1:
n;
fork=m:
n;
forp=k:
n
if（isprime（m））&（isprime（k））&（isprime（p））&（m+k+p==n）;
disp（[num2str（n）,'=',num2str（m）,'+',num2str（k）,'+',num2str（p）]）;
break;
end;
end;
end;
end;
end；
四、数据处理与拟合初步：
11．通过测量得到一组数据：
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
4.842
4.362
3.754
3.368
3.169
3.038
3.034
3.016
3.012
3.005
分别采用y=c1+c2e^（-t）和y=d1+d2te^（-t）进行拟合，并画出拟合曲线进行对比。
解：
t=1:
10;
y=[4.842,4.362,3.754,3.368,3.169,3.038,3.034,3.016,3.012,3.005];
x1=exp（-t）
x1=
0.36790.13530.04980.01830.00670.00250.00090.00030.00010.0000
x2=t.*exp（-t）
x2=
0.36790.27070.14940.07330.03370.01490.00640.00270.00110.0005
y1=polyfit（x1,y,1）
y1=
5.21653.1564
y1=5.2165*exp（-t）+3.1564
y1=
5.07543.86243.41613.25193.19153.16933.16123.15813.15703.1566
y2=polyfit（x2,y,1）
y2=
5.02732.9973
y2=5.0273*t.*exp（-t）
y2=
1.84941.36070.75090.36830.16940.07480.03210.01350.00560.0023
plot（t,y,t,y1,'r--',t,y2,'gx'）
12．计算下列定积分
第一个：
建立m文件：
functionf=jifen1（x）
f=exp（-2*x）;
在命令窗口输入：
[z1,n]=quad（@jifen1,0,2）
得到结果：
z1=
0.4908
n=
25
第二个：
x=0:
0.01:
2;
z2=exp（2*x）;
trapz（x,z2）
得到结果：
ans=
26.8000
第三个：
t=-1:
0.01:
1;
z3=x.^2-3*x+0.5;
trapz（x,z3）
得到结果：
ans=
1.6667
13．微分方程组
当t=0时，x1（0）=1，x2（0）=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并画出相空间轨道图像。
t=0:
0.01:
25;
[x,y]=dsolve（'Dx=0.5-x','Dy=x-4*y','x（0）=1','y（0）=-0.5','t'）
x=
1/2+1/2*exp（-t）
y=
1/8+1/6*exp（-t）-19/24*exp（-4*t）
plot（t,x,t,y）
图像如下：
t=0:
0.01:
25;
x=1/2+1/2*exp（-t）;
y=1/8+1/6*exp（-t）-19/24*exp（-4*t）;
plot（t,x,t,y）
14．设通过测量得到时间t与变量y的数据：
t=[00.30.81.11.62.3];
y=[0.50.821.141.251.351.41];
分别采用多项式：
y=a0+a1t+a2t^2
和指数函数 y=b0+b1e^t+b2te^t
进行拟合，并计算均方误差、画出拟合效果图进行比较。
解：
t=[00.30.81.11.62.3];
y=[0.50.821.141.251.351.41];
tt=0:
0.01:
2.3;
a=polyfit（t,y,2）
yy1=polyval（a,tt）;
z1=polyval（a,t）;
wucha1=sqrt（sum（（z1-y）.^2））
B=[ones（size（t'））exp（-t）'（t.*exp（-t））'];
b=B\y'
yy2=b
（1）+b
（2）*exp（-tt）+b（3）*tt.*exp（-tt）;
z2=b
（1）+b
（2）*exp（-t）+b（3）*t.*exp（-t）;
wucha2=sqrt（sum（（z2-y）.^2））
figure
（1）;
plot（t,y,'+',tt,yy1,t,z1,'o'）
figure
（2）;
plot（t,y,'+',tt,yy2,t,z2,'o'）
15．观察函数：
y=e^x-1.5cos（2*pi*x）
在区间[-1,1]上的函数图像，完成下列两题：
（1）用函数fzero求解上述函数在[-1,1]的所有根，验证你的结果；
（2）用函数fminbnd求解上述函数在[-1,1]上的极小、极大、最小和最大值，在函数图像
上标出你求得的最小值点作出验证。
注：
可以用helpfzero命令查看fzero的调用格式，fzero典型的调用方法是：
fzero（@myfun,x0）%返回函数myfun在x0附近的根；
fminbnd典型的调用方法是：
fminbnd（@myfun,x1,x2）%返回函数myfun在区间[x1,x2]上的最小值。
（1）x=-1:
0.01:
1;
y=exp（x）-1.5*cos（2*pi*x）;
plot（x,y,'g'）
holdon
>>y0=0;
>>plot（x,y0,'k'）
z=fzero（'f',-0.8）
z=
-0.7985
>>z=fzero（'f',-0.1）
z=
-0.1531
>>z=fzero（'f',0.1）
z=
0.1154
（2）f.m
functiony=f（x）;
y=exp（x）-1.5*cos（2*pi*x）;
x=fminsearch（'f',-0.2,0.2）
x=
-0.0166
>>x=fminsearch（'f',-1,1）
x=
-1.0062
f1.m
functiony=f（x）;
y=-exp（x）+1.5*cos（2*pi*x）;
x=fminsearch（'f1',0.4,0.6）
x=
0.5288
>>x=fminsearch（'f1',-0.6,-0.4）
x=
-0.4897
x1=-1.0062;
y1=exp（x1）-1.5*cos（2*pi*x1）
y1=
-1.1333
plot（x1,y1,'*'）
练习2气象观察站调整问题
某地区内有12个气象观察站（位置如图）,现有10年各观察站的年降水量数据.为了节省开支，想要适当减少气象站.
问题：
减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？
试结合方差分析和回归分析方法确定最终保留的观察站。
提示：
解：
程序代码：
a=[272.6,324.5,158.6,412.5,292.8,258.4,334.1,303.2,292.9,243.2,159.7,331.2;251.6,287.3,349.5,297.4,227.8,453.6,321.5,451.0,446.2,307.5,421.1,455.1;192.7,433.2,289.9,366.3,466.2,239.1,357.4,219.7,245.7,411.1,357.0,353.2;246.2,232.4,243.7,372.5,460.4,158.9,298.7,314.5,256.6,327.0,296.5,423.0;291.7,311.0,502.4,254.0,245.6,324.8,401.0,266.5,251.3,289.9,255.4,362.1;466.5,158.9,223.5,425.1,251.4,321.0,315.4,317.4,246.2,277.5,304.2,410.7;258.6,327.4,432.1,403.9,256.6,282.9,389.7,413.2,466.5,199.3,282.1,387.6;453.4,365.5,357.6,258.1,278.8,467.2,355.2,228.5,453.6,315.6,456.3,407.2;158.5,271.0,410.2,344.2,250.0,360.7,376.4,179.4,159.2,342.4,331.2,377.7;324.8,406.5,235.7,288.8,192.6,284.9,290.5,343.7,283.4,281.2,243.7,411.1]；
y=std（a,0,1）
输出结果：
y=
Columns1through6
100.266080.9270108.244463.974794.103494.2002
Columns7through12
38.047985.0735106.409257.247286.513636.8299
练习3中国总人口的灰色动态预测
运用灰色系统理论及其建模原理，预测2020年和2050年中国人口。
灰色预测法原理可参考：
灰色预测法.ppt
注：
以上所有作业均要求编写M文件，目的在于熟悉常用建模方法的使用和相关的Matlab语言。
练习4优化问题练习
1、线性规划
规划问题不等式约束默认是
，所有不等式约束都要变成
的形式。
函数原型：
X=linprog（f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS）
f：
目标函数的系数列向量
A：
不等式约束条件的系数矩阵
b：
不等式约束条件的
Aeq：
等式约束条件的系数矩阵
beq：
等式约束条件的
lb：
未知数的下界
ub：
未知数的上界
x0：
初值
option：
选项
例：
求解如下规划问题
2、二次规划
函数原型：
X=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS）
将目标函数写成如下形式：
例：
求解如下规划问题
3、0-1规划
函数原型：
X=bintprog（f,A,b,Aeq,beq,X0,OPTIONS）
例：
求解如下规划问题
4、有约束的最值问题
函数原型：
X=fimincon（FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS）
fun：
目标函数
nonlcon：
非线性约束条件函数
例1：
例2：
目标函数:
约束条件：
升级会员 