福建专用高考数学总复习课时规范练44椭圆文新人教A版0315498.docx
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福建专用高考数学总复习课时规范练44椭圆文新人教A版0315498
课时规范练44 椭圆
基础巩固组
1.已知椭圆的焦点坐标为（-5,0）和（5,0）,椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为（ ）
A.
=1
B.
=1
C.
=1
D.
=1
2.（2017河南洛阳三模）已知集合M=
N=
M∩N=（ ）
A.⌀
B.{（3,0）,（0,2）}
C.[-2,2]
D.[-3,3]
3.已知椭圆C:
=1（a>b>0）的左、右焦点为F1,F2,离心率为
过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4
则C的方程为（ ）
A.
=1B.
+y2=1
C.
=1D.
=1
4.设椭圆C:
=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2017广东、江西、福建十校联考,文11）已知F1,F2是椭圆
=1（a>b>0）的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.与圆C1:
（x+3）2+y2=1外切,且与圆C2:
（x-3）2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为 .
7.（2017湖北八校联考）设F1,F2为椭圆
=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则
的值为 .
8.（2017广东佛山一模,文20）已知椭圆C:
=1（a>b>0）过点M（2,1）,且离心率为
.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若过原点的直线l1与椭圆C交于P,Q两点,且在直线l2:
x-y+2
=0上存在点M,使得△MPQ为等边三角形,求直线l1的方程.
〚导学号24190941〛
综合提升组
9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为
E的右焦点与抛物线C:
y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=（ ）
A.3B.6C.9D.12
10.已知O为坐标原点,F是椭圆C:
=1（a>b>0）的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知椭圆
=1的左顶点为A,左焦点为F,点P为该椭圆上任意一点;若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e=
则
的取值范围是 .
12.（2017湖北武汉二月调考,文20）已知椭圆E:
=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为
F2与椭圆上点的连线中最短线段的长为
-1.
（1）求椭圆E的标准方程;
（2）已知E上存在一点P,使得直线PF1,PF2分别交椭圆E于点A,B,若
=2
=λ
（λ>0）,求直线PB的斜率.
〚导学号24190942〛
创新应用组
13.（2017安徽马鞍山一模,文16）椭圆
=1（a>b>0）的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足
的点P,则椭圆的离心率的范围是 .
14.（2017山西太原二模,文20）如图,曲线C由左半椭圆M:
=1（a>b>0,x≤0）和圆N:
（x-2）2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成,A,B是M与N的公共点,点P,Q（均异于点A,B）分别是M,N上的动点.
（1）若|PQ|的最大值为4+
求半椭圆M的方程;
（2）若直线PQ过点A,且
=0,
求半椭圆M的离心率.
答案：
1.A 由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为
=1.
2.D 集合M=
=[-3,3],N=
=R,则M∩N=[-3,3],故选D.
3.A 由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a,所以4a=4
即a=
又由e=
得c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为
=1,故选A.
4.D 如图所示,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,
由tan30°=
得x=
c.
由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=3x,∴a=
x=
c,
∴e=
.
5.B ∵F1,F2是椭圆
=1（a>b>0）的左右两个焦点,
∴离心率0设点P（x,y）,由PF1⊥PF2,
得（x-c,y）·（x+c,y）=0,
化简得x2+y2=c2,联立方程组
整理,得x2=（2c2-a2）·
≥0,
解得e≥
又0∴
≤e<1.故选B.
6.
=1 设动圆的半径为r,圆心为P（x,y）,
则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.
所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,
即P在以C1（-3,0）,C2（3,0）为焦点,长轴长为10的椭圆上,
得点P的轨迹方程为
=1.
7.
由题意知a=3,b=
.
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.
在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,
由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=
所以|PF1|=6-|PF2|=
所以
.
8.解
（1）由题意可知,椭圆的离心率为e=
即a2=4b2.
由椭圆过点M（2,1）,代入可知
=1,解得b2=2,则a2=8.
∴椭圆C的方程为
=1.
（2）当直线l1的斜率k不存在时,P,Q两点为短轴的端点,直线l2与x轴的交点（-2
0）即点M,但△MPQ不是等边三角形.
当直线l1的斜率k存在时,设P（x0,y0）,则Q（-x0,-y0）,
当k=0时,直线PQ的垂直平分线为y轴,y轴与直线l2的交点为M（0,2
）,由|PO|=2
|MO|=2
∴∠MPO=60°.
则△MPQ为等边三角形,此时直线l1的方程为y=0.
当k≠0时,设直线l1的方程为y=kx,
由
整理得（1+4k2）x2=8,
解得|x0|=
则|PO|=
则PQ的垂直平分线为y=-
x,
由
解得
则M
∴|MO|=
.
∵△MPQ为等边三角形,
则|MO|=
|PO|,
∴
解得k=0（舍去）,k=
∴直线l1的方程为y=
x.
综上可知,直线l1的方程为y=0或y=
x.
9.B ∵抛物线y2=8x的焦点坐标为（2,0）,∴E的右焦点的坐标为（2,0）.
设椭圆E的方程为
=1（a>b>0）,则c=2.
∵
∴a=4.
∴b2=a2-c2=12.
于是椭圆方程为
=1.
∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A（-2,3）,B（-2,-3）,∴|AB|=6.
10.A 由题意,不妨设直线l的方程为y=k（x+a）,k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k（a-c）,|OE|=ka.
设OE的中点为G,
由△OBG∽△FBM,
得
即
整理,得
故椭圆的离心率e=
故选A.
11.[0,12] 因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.
因为离心率e=
所以c=1,b=
.
则椭圆方程为
=1,
所以点A的坐标为（-2,0）,点F的坐标为（-1,0）.
设P（x,y）,则
=（x+2,y）·（x+1,y）=x2+3x+2+y2.
由椭圆方程得y2=3-
x2,
所以
=x2+3x-
x2+5
=
（x+6）2-4.
因为x∈[-2,2],
所以
∈[0,12].
12.解
（1）由题意e=
①
a-c=
-1,②
由①②解得a=
c=1,
∴b=
=1.
∴椭圆E的标准方程是
+y2=1.
（2）设点P（x0,y0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线lPA的方程为x=my-1.
由
消去x,得（m2+2）y2-2my-1=0,
则y0·y1=-
.
∵
∴m=
.
∴
=-
=-
=（m2+2）
=（x0+1）2+2
=（x0+1）2+2-
=3+2x0.
∴3+2x0=2,解得x0=-
∴P
.
∴kPB=
=∓
.
故直线PB的斜率为±
.
13.
∵椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足
的点P,
∴|
|·|
|cos<
>=
4c2=
-2|
|·|
|cos<
>,
|
|+|
|=2a,
可得
+2|
|·|
|=4a2,
∴4c2=4a2-2|
|·|
|-b2.
∴2|
|·|
|=3a2-3c2
≤2
当且仅当|
|=|
|时,等号成立.
可得
解得e≥
.
又0∴e∈
.
14.解
（1）A（0,1）,B（0,-1）,故b=1,|PQ|的最大值为4+
=a+2+
解得a=2.
∴半椭圆M的方程为
+y2=1（-2≤x≤0）.
（2）设直线PQ方程为y=kx+1,与圆N的方程联立可得（k2+1）x2+（2k-4）x=0,
∴xA+xQ=
.
∵xA=0,
∴Q
.
∵
=0,
=（xQ,yQ-1）,
=（xP,yP-1）,
∴xP+xQ=0,yP+yQ=2.
∴xP=
yP=
.
∵
∴
=xPxQ+（yP+1）（yQ+1）=
+2+1
=（k2+1）（16k-12）=0,
解得k=
∴P
.
代入椭圆方程可得
=1,
解得a2=
.
∴半椭圆M的离心率e=
.
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