数值计算课后答案5.docx
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数值计算课后答案5
习题五解答
1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果
1X2兀
⑴Jox（n=8），
（2）0xsinxdx（n=8）
4■'x
⑶（Vxdx（n=4），（4）j0e」dx（n=4）
1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。
1x
（1）0rdx（n=4）
、°4+x
解：
解：
将区间］0,1］4等分，5个分点上的被积函数值列表如下（取2位小数）
或者
（2）梯形法
用梯形法公式计算（取2位小数）：
（3）抛物线法
用抛物线法公式计算（取2位小数）：
2、用复化梯形公式计算积分［'-dx，由此计算ln2（注：
#dx=ln2），精度要求为10^
4x4x
818
解：
dx=ln8-1n4=lnIn2，
4x4
要求精度为10°，即误差不超过；=110*o
2
将积分区间］4,8］n等份，则步长h二口」
nn
在本题中，复化梯形公式的余项为r二-口h2「（）=一口（4）2厂（）卑「（）
1212n3n
注意到
123
f（x）,f（x）工「x,f（x）=2x，
x
所以在［4,8］区间上f“（x）空24’，
（b-a）「2一
12
3
令吐彗乞;,
12n2
（b-a）3M
—柯特斯公式）
指出：
求给定函数的数值积分套用公式即可但须注意给出的数据表不是要求积分的函数表，要求积分的函
数表为
5、用龙贝格方法计算下列积分，要求误差不超过10
12vnx
（1）.^―edx
（2）0ecosxdx
解:
（1）依次应用龙贝格积分的四个公式进行计算：
3
R=4C2n-G
Rn-
4-1
计算结果列表如下：
i
0
0.7717433:
1
0.7280699'
0.7135121
2
0.7169828:
0.7132870
0.7132720
3
0.7142002|
0.7132726
0.7132717
0.7132717
12
所以e^dx0.7132717。
81
6分别用下列方法计算积分I
=J丄dx,并比较计算结果的精度（1=1.098612……）:
1x
（1）复合梯形法（n=16）;
（2）复合抛物线法（n=8）;
（3）龙贝格方法，求至R2;
（4）三点高斯一勒让德公式。
指出：
1直接套公式计算。
2计算结果的精度比较，通过各计算解和精确解比较，求出相应的误差，再比较误差大小的方法进行。
3
三点高斯一勒让德公式为
当积分区间不是［—1,1］而是］a,b］时，为应用高斯一勒让德公式，需要作变量代换
x二口t已空，将［a,b］化为［—1,1］
22
石瑞民《数值计算》中没有给出三点高斯一勒让德公式，但给出了3、4、5点公式系数表。
h
hf（x）dxZ；of（-h）（0）2f（h）；
-_h
2h
df（x）dx=J（-h）1f（0）』（h）；
11
f（x）dx：
；［f（-1）・2f（X1）3f（X2）］；
」3
bb-a2
af（x）dx［f（a）f（b）］c（b-a）［f（a）-f（b）］
7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度：
（1）
解:
（1）求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f（x）二1,x，x2精确成立，即
解之得，0=h,>=,,2=匕，
333
hh4h
严，
所以，数值求积公式为f（x）dx」f（-h）f（0）
上33
hahaha
而xdx=—（-h）-h，
x4dx=h（_h）4-h4，
所以上述积分公式具有3次代数精度（实际上这是抛物线公式）。
求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f（x）=1,x，x2精确成立，即
解之得。
弓「一弓2弓，
333
所以，数值求积公式为2"f（x）dx：
业f（-h）-他f（0）业f（h），
』h333
2h38h38h
而*hxdx3（-h）牙（h）=0，
所以上述积分公式具有3次代数精度。
指出：
由于本题的节点实际上仅分布在半个积分区间，因此积分精度低。
（3）求积公式中有2个待定参数，需要列两个方程组成的方程组。
当f（x）=1时，有
因此需令求积公式对f（x）=x，x2精确成立，即
化简得
解之得
1—用
Xi=
5
15
所以，数值求积公式为
或对第一个积分公式，
当f（x）=x3时，
所以上述积分公式具有2次代数精度。
指出：
求出的是两个积分公式，不能认定两个节点有大小顺序规定而只取一个，实际上仅仅是两个点必须是按求出的成对。
（4）求积公式中仅含有一个待定参数c。
令f（x）=1，有
b、
ff（x）dx=b_a,
"a
b—ab—a
——[f（a）+f（b）]+c（b—a）2[f（a）—f（b）]=——[1+1]+c（b—a）2[0—0]=b—a令f（x）=x，有22
bAc
二Lf（x）dx-[f（a）+f（b）]+c（b-a）2[f（a）-f（b）]
令f（x）=x2时公式准确成立，则
则求积公式为
将f（xHx3代入求积公式，有
所以，求积公式具有2次代数精度。
指出：
可否认为，或是否有必要认为a和b是未知待定的？
8、试构造高斯型求积公式oI,xdx：
“，of（Xo）f（%），使之对于f（x）=1,x,x2,x3均能成立。
解：
求积公式中有4个待定的未知数，故令求积公式对f（x）=1,x，x2,x3精确成立，即从前两式从解出-0,'1（用矩阵方程形式）有
对后两式有
故有
化简得
令
则上述方程组化为
解之得，
于是有
故所求的积分公式为
o、、Xdx：
0.277556f（0.289949）0.389111f（0.821162）。
指出：
1注意方程组的解法。
2X）:
:
:
为,'0,'1与X0,X1相对应（由前两个方程决定）。
3方程组中-0,'1是一次的，而且前两个方程中X0,X1也是0次、1次的，因此从前两个方程中解出'0,1（用X0,X1表示）代入后两个方程中求X0,X1就是比较容易想到的方法。
而用矩阵格式简化
计算，用变量代换简化方程则是数学的技巧。
9、利用下表求x=0.6处的一阶导数。
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
f（X）
1.5836494
1.7974426
2.0442376
2.3275054
2.6510818
指出：
1没有限定方法，就可以用任何合适的方法。
2可用中点公式，只用0.5、0.7两点函数值。
3可以构造4阶拉格朗日插值多项式
4可以用三次样条插值。
5可以用待定系数法构造数值微分公式。
补充题
（一）
2dX
1、用三种基本积分公式计算2（四等分积分区间）。
71+x分析与解答
1、解：
将区间4等分，5个分点上的函数值为（取2位小数）
X
1
1.25
1.5
y
0.50
0.39
0.31
X
1.75
2
y
0.25
0.20
（1）矩形法
用矩形法公式计算（取2位小数）
或者
（2）梯形法
用梯形法公式计算（取2位小数）
（3）抛物线法
用抛物线法公式计算（取2位小数）
补充题
（二）
1、试确定一个具有三次代数精度的公式。
2、确定求积公式的代数精度。
3、确定下列求积公式的待定系数，使其代数精度尽可能地高。
4、确定求积节点，使得求积公式
具有尽可能高的代数精度。
5、确定下面求积公式中的参数，使得其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度
分析与解答
1解：
分别取f（x）=1,x,x2,x3,使求积公式准确成立，则得下面的方程组。
解之得Ao=3/8,Ai=9/8,Az=9/8,A3=3/&
由此得求积公式为
当将f（x）=>4，代入时，上式不能精确成立，故所得公式具有3次代数精度。
2、解：
取f（x）=）k代入求积公式，得
容易验证，R（0）=R（x）=R（x2）=R（x3）=O,但是R（x4）=8/45工0,所以求积公式的代数精度为3。
（直接取f（x）=1,x,x2,x3,x4验证也可）
3、解：
求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f（x）=1,x,x精确成立，得解之得A-i=A=8h/3,A=—4h/3,
所以，数值求积公式为
而2%x宜（—h）3辿h3=0
2h33
所以上述积分公式具有3次代数精度（实际上这是抛物线公式）
4、解：
显然，解答本题需要确定三个参数h、xo、xi，那么，我们需要三个方程。
令求积公式对f（x）=1,x,x2精确成立，得
所以求积公式为
此求积公式具有3次代数精度，求积节点为3和一3。
（验证从略）。
33
指出：
第3题中h是作为已知量的，这样得出的求积公式有更广泛的应用性。
本题中,
因为右端的两个积分系数都是1,当f（x）=1时必然可以得出h=1，即使假设h已知也是一样的。
而当假设h已知，仅要求求积公式对f（x）=1,x精确成立时，因为当f（x）=1时决定了h的值，对求节点不起作用，不能实现求解点的目标，因此还是需要列第3个
方程。
5、解：
求积公式中含有两个待定参数，故需要两个方程。
111
当f（x）=1时，（x）dx=Jdx=xj=2,
因为f（-1）=f（Xj=f（X2）=1
所以[f（-1）2f（xJ3f（x2）]/3=（123）/3=2
1
故jj（x）dx=[f（—1）+2f（xj+3f（X2）]/3。
故令求积公式对于f（x）=x,x2精确成立，则有
由第一式解得Xi=（1-3x2）/2，代入第二式，得解之得
所以求积公式为
或
将f（x）=x3代入已确定的求积公式，可以验证
13
dx=[f（-1）2f（x1）3f（x2）]/3。
所以求积公式中所求的未知节点为且求积公式具有2次代数精度。
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