第9章 半群和群91394.docx
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第9章半群和群91394
第9章半群和群semigroupandgroup
§9.3乘积半群和商半群
ProductsandQuotiensSemigroup
定理1.
设（S，*）和（T，*’）是两个半群，则（S×T，*”）也是半群。
（s1,t1）*”（s2,t2）=（s1*s2,t1*’t2）.
设（S，*）和（T，*’）是两个独异点，则（S×T，*”）也是独异点，恒等元是（e，e’）。
同余关系congruencerelation
设（S，*）是半群，R是S上等价关系。
R称为S上同余关系：
aRa’,bRb’（a*b）R（a’*b’）.
例1.Z上剩余关系是（Z,＋）上同余关系：
ab（mod2）2|a－b。
证明.ab（mod2）是等价关系。
ab（mod2）,2|a-b,a-b=2k.
cd（mod2）,2|c-d,c-d=2t.
（a+c）－（b+d）=（a-b）+（c-d）=2（k+t）
a+cb+d（mod2）
ab（mod2）是（Z,＋）上同余关系。
Z上剩余关系是（Z,×）上同余关系.
例2．令A＝{0,1},自由半群（A*,）上关系R：
αRβα，β含有同样多个1。
则R是（A*,）上同余关系。
例3．设f（x）=x2-x-2,令（Z，＋）上关系R：
aRbf（a）=f（b）.
R是Z上等价关系，但不是同余关系。
－1R2，f（－1）=f
（2）=0
－2R3，f（-2）=f（3）=4
-1+-2=-3,2+3=5
f（-3）=10,f（5）=18
-1+-2与2＋3不满足R。
定理2.设R是半群（S，*）上同余关系。
定义商集S/R上二元运算*：
[a]*[b]=[a*b]。
则（S/R,*）是半群。
证明.设[a]=[a’],[b]=[b’],
要证[a*b]=[a’*b’]
aRa’,bRb’,由R是同余关系
a*bRa’*b’,因此[a*b]=[a’*b’]，*是映射，二元运算。
还要证*满足结合律：
[a]*（[b]*[c]）=[a]*[b*c]
=[a*（b*c）]=[（a*b）*c]
=[a*b]*[c]=（[a]*[b]）*[c]
因此（S/R,*）是半群。
称S/R为商半群。
推论1.设R是独异点（S，*）上同余关系，则（S/R,*）是独异点。
证明.恒等元e∈S,只要证明[e]是S/R,的恒等元。
任何a∈S，
[a]*[e]=[a*e]=[a]
[e]*[a]=[e*a]=[a].
例5．（Zn,+）,（Zn，×）都是半群，独异点。
Zn＝{[0],[1],[2],……,[n-1]}
[m]+[n]=[m+n]
定理3.令R是半群（S，*）上同余关系,（S/R,*）是商半群。
f：
S→S/R,
f（a）=[a],
则f是满同态，称f为自然同态。
定理4.同态基本定理
设f:
（S，*）→（T，*’）
是两个半群间的同态映射，令R是S上二元关系：
a,b∈S，aRbf（a）=f（b）.
则
（a）R是（S，*）上同余关系。
（b）（T，*’）（S/R,*）.
HomeworkP337-338
4,10,14,16,22,24
§9.4群Group
群的定义
群（G，*）是一个代数系统，
1）二元运算*满足结合律,
2）有单位元e，a*e=e*a=a,
3）对每个a∈G，存在a’∈G，a*a’=a’*a=e,
称a’为a的逆元。
群（G，*）是一个有单位元的独异点，对每个a∈G，存在逆元a’∈G，使a*a’=a’*a=e.
群（G，*）常简记为G，
a*b常简记为ab。
可换群叫Abel群AbelianGroup
群的例
（Z，＋），
（Q，＋），（Q，×），
（R，＋），（R，×），
（Zn，＋），
（P（S）,∪），（P（S）,∩），
（Mn，＋），
（F（x）,+）,
S上全体一一对应，对于复合，
最后一个不是Abel群。
例（R，*）：
a*b=ab/2是Abel群。
*满足结合律，交换律，
2是单位元，
4/a是a的逆元。
定理1.群的逆元唯一：
设G是群，任意a∈G，a只有一个逆元，记做a-1。
证明.
设a’，a”都是a的逆，
a’=a’aa”=a”.
定理2.群有消去律：
设G是群，a,b,c∈G,则
（a）ab＝acb＝c，
（b）ba＝cab＝c。
定理3.逆律
设G是群，a,b∈G,则
（a）（a-1）-1=a,
（b）（ab）-1=b-1a-1.
（c）a-n＝（a-1）n
定理4.方程有唯一解
设G是群，a,b∈G,则
（a）方程ax＝b在G中有唯一解。
（b）方程ya＝b在G中有唯一解。
定理4’.定理4的逆：
半群（A,*）方程ax＝b，ya＝b有唯一解，则（A,*）是群。
证明.
（1）A有单位元
（1’）A有右单位元：
取a∈A，ax＝a有解为e’，
ae’=a。
证e’是右单位元。
对任意b∈A，be’=b:
任意b∈A，xa＝b，有界c，
ca＝b，
be’=cae’=ca=b.
（1”）A有左单位元
同理xa＝a的解为e”，e”是左单位元，任b∈A，e”b=b。
左右单位元相等e”=e”e’=e’,记为e，任意b∈A，be＝eb＝b，e是单位元。
（2）任意a∈A，a有逆元：
（2’）任意a∈A，a有右逆元：
a’,aa’=e.
（2”）任意a∈A，a有左逆元：
a”,a”a=a.
a”=a’,记为a*，aa*=a*a=e.
a*是a的逆元。
a∈G，a的阶：
使ak＝e的最小的k。
如无这样的k，称a为无限阶。
a无限阶，任意n∈Z，an≠e.
|G|有限时称G为有限群。
群G的阶:
|G|.
一阶群G={e},
二阶群G＝{e,a}
e
a
e
e
a
a
a
e
三阶群G＝{e,a,b}
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
四阶群G＝{e,a,b,c}
*
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
b
c
e
b
b
c
e
a
c
c
e
a
b
例Klein四元群
G={e,a,b,c}
*
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
Klein四元群是Abel群。
例置换群，对称群SymetricGroup
A＝{1,2,3},A的所有置换对复合运算构成群：
S3={f1,f2,f3,g1,g2,g3}
称（S3,*）为对称群，Groupofsymeriesofatriangle。
S3的乘法表：
f1
f2
f3
g1
g2
g3
f1
f1
f2
f3
g1
g2
g3
f2
f2
f3
f1
g3
g1
g2
f3
f3
f1
f2
g2
g3
g1
g1
g1
g2
g3
f1
f2
f3
g2
g2
g3
g1
f3
f1
f2
g3
g3
g1
g2
f2
f3
f1
S4四元对称群，是四个元素的置换组成的对称群，共有4！
＝24个置换。
不是四边形的所有对称。
Snn元对称群，是n个元素的置换组成的对称群，有n！
个元素。
An是Sn中所有偶置换组成的n元交代群,有n！
/2个元素。
A3＝{f1,f2,f3}.
剩余类群（Zn，＋），
Zn＝{[0],[1],……,[n-1]},
简记为{0,1,……,n-1}.
a∈Zn，a-1＝n－a.
循环群cyclegroup
存在a∈G，任意x∈G，
x＝ak，k∈Z。
a的阶是n，G＝{e,a,a2,……,an-1}
ak的逆是an-k。
a无限阶，
G＝{……,a-2,a-1,e,a,a2,……}
Z是无限循环群，Zn是n阶循环群。
有限群G是循环群当且仅当存在a∈G，a的阶＝|G|.
Klein四元群不是循环群。
子群subgroup
HG，H对于G的运算*构成群。
H是G的子群当且仅当
（1）e∈H
（2）a，b∈Hab∈H
（3）a∈Ha-1∈H
H是G的子群当且仅当
a，b∈Hab-1∈H.
子群的例
设G是群，H＝{e}是子群。
G是群，a∈G，H＝{ak|k∈Z}是子群，叫做a生成的子群。
S3中，H＝{f1,f2,f3}是f2生成的子群。
交代群An是对称群Sn的子群。
命题.一个群的任意两个子群的交仍是子群。
群的同构与同态isomorphismandhomomorphismofgroups
同构f:
（G1，*）（G2，*），
f一一对应，保持运算。
|G1|=|G2|,对应元素有相同的阶。
同态f:
（G1，*）（G2，*），
f多一到上，保持运算。
例13
G是实数加法群,G’是正实数乘法群。
f:
GG’
f（x）=ex,f-1（y）=lny.
1.f处处有定义，
2.满
3．单
4．f（a+b）=eaeb,保持运算。
例14SnB，B＝{0,1}.
例15ZZn
例16．S3与Z6都是6阶群，不同构。
定理5.设f:
（G，*）（G’，*’）是同态，
则（a）f（e）=e’,
（b）f（a-1）=f（a）-1,
（c）H是G的子群f（H）是G’的子群。
HomeworkPP348－349
6，12，19，22，24，28，30，32，33
§9.5乘积群和商群
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