全等三角形的判定复习学案.docx
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全等三角形的判定复习学案
一、全等三角形
1、全等三角形的概念及其性质
1）全等三角形的定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2）.全等三角形性质：
（1）对应边相等
（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等
2.全等三角形的判定方法
1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）
?
ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD=AC,例1．已知：
如图，在在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG。
求证：
AG=AD.
?
CAB?
?
DBA,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：
例2.如图
Rt?
ABC中如图，在,AB=AC,例3.90?
?
A?
?
M，于，DEEAC,点D为BC上任一点，DFFAB于
?
EMF是什么形状的三角形，并证明你的结论.是BC中点，试判断
例4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延长CB至E，使EB=AD，连接AE。
求证：
AE=AC。
?
ACM?
CBN是等边三角形.直线AN、MC交于点AB如图，C为上一点，E，直线、BM、CN交5.例于点F.
（1）求证：
AN=BM。
?
CEF是等边三角形
（2）求证：
?
其他条件不变，在右图中补出符合要求的图形逆时针方向旋转90,（3）将绕点ACMC）
不要求证明）两小题结论是否仍然成立（
（1）并判断、（2
90?
?
BACABC?
Rt中，ＡＢ＝ＡＣ，如图，在例6..。
Ｏ是ＢＣ中点ABC?
.
CB到写出点
（1）OA的三个顶点、、的距离关系1/14
?
OMN的形状，并证明你的上移动，在移动中保持ACAN=BM，请判断M、N分别在AB、
（2）如果点
结论.
例7.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG。
（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？
如果存在，请你说明旋转过程；如果不存在，请
说明理由。
2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）
?
BAC的平分线，M是BC中点，FM//AD，交1.如图,AD是AB于E。
例求证：
BE=CF。
例2.如图，梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于F
?
ABE?
FCE
≌求证：
（1）
?
AB,BC=10,AB=12,求若BCAF.
（2）
?
AG于E的延长线于G,DE，且DE=DC.的延长线交如图，在矩形3.ABCD中，F是BC上的一点，AFDC例根据以上条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.
3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等（AAS）
30?
?
?
C?
90AABC?
?
ABC与的外侧作正三角形AC,分别以AB、在1.例如图，,中为边在ABE,
。
:
EF=FDFABDEACD正三角形。
与交于。
求证
2/14
?
ABC?
ADE?
?
B,AD=DE边上。
且、AC中，AB=AC，D、E分别在BC例2.如图，在?
DECADB?
.
求证：
≌
?
ABC中，延长BC到D，延长AC到E，AD与BE交于F，例3.如图，在∠ABC=45?
，试将下列假设中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题,并加以证明。
（1）AD⊥BD,
（2）AE⊥BF（3）AC=BF.
4）、三边对应相等的两个三角形全等（SSS）
例1.如图，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求证：
PD=PE.
90?
?
CABC?
求AD=BD,AE=BC,DE=DC.、AB上的点，且例2．如图，在，D中,、E分别为AC
。
DE⊥AB证：
ABC?
。
上，AB=AC,DB=DCBC上，D4.例如图，在在AM中,M在
MB=MC
求证：
（HL）5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等
AB例
中90C?
?
一条，沿过点BABC?
CBE折叠，使点直线的变的中处则∠A恰好落在AB度数等于多少？
1题2题3题
DAB?
?
ADC90B?
?
?
C?
平分。
求证：
AMDM，M是BC中点，例2.如图，平分
ABC?
BF=AC,FD=CD.，且AD于FBE的高，E为AC上一点，为例3.如图，AD交AC⊥求证：
BE
ABC?
，又的延长线于点EBDAE是AC上一点，⊥BD，交,DACB=90在4.例如图，,中∠?
1BD，求证：
BD是AE=∠ABC的平分线。
23/14
全等三角形◆课前热身?
度数是（1.已知图中的两个三角形全等，则∠）
°D.50°A.72°B.60°C.58
）5一个等腰三角形的两边长分别为2和，则它的周长为（2.
129或．9C．12D．A．7BD
，ADAB?
那么添加下列一个条件后，仍无法判定如图，已知3.ADCABC≌△△的是（）A
C
DAC∠BAC?
CB?
CD∠B．．AB?
90DCA∠B?
∠D?
BCA∠?
∠C．D．
中全等三角O，则图、DC，ACBD交于点如图，在等腰梯形4.ABCD中，AB＝DAO形共有（）CB5对对．4D．对对．A2B．3C
【参考答案】1.D
）不满足三角形三边关系，；（1、5、25522.C分析：
等腰三角形有两种情况：
（1）、2、；
（2）=12；周长5、2所以只有5、3.C4.B
◆考点聚焦知识点全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定
大纲要求了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念；1.理解全等三角形的概念和性质。
掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明2.4/14
和计算。
学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析，综合，转化3.等数学思想。
考查重点与常见题型论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题◆备考兵法”全等三角形是证明线段、角?
1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．形证明．在的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角
时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公SAS选用ASA或共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．而是在运动变化中（如平移、旋转、折?
2．本节内容的试卷一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，命题时往往把需要证明的全等叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，
三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．◆考点链接.
的三角形叫全等三角形、______________1．全等三角形:
____________直角三角形全等的判定除以上的方法______._______、:
_______、______、2.三角形全等的判定方法有________.
还有____________.
____，3.全等三角形的性质：
全等三角形_______
._______相等_____、对应高、______、4.全等三角形的面积_______、周长◆典例精析?
?
?
?
BA△ACB≌△BCBC?
=30°，例如图，，（2009山西太原）1则?
AA
?
ACA?
35°
．CA．20°B．30°的度数为B
．40°D?
BC
?
?
?
BAC△ACB≌△【解读】本题考查全等三角形的性质，，∠A′CB′，∴∠ACB=?
?
BCB?
?
ACA=B=30°，故选∴．B
【答案】BACABDACBDOADBCEAB的中点.年河南）（例22009如图所示，∠＝∠,＝，点是、的交点，点是试判
5/14
OEAB的位置关系,断并给出证明和.
【分析】首
先进行判OE⊥断：
AB，由已知OABABDOBABAC再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论。
，得∠条件不难证明△＝∠≌△解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识。
ABOE．答案：
⊥ABDBAC和△中，证明：
在△BDAC，=?
?
ABDBAC?
，=∠∠?
?
BAAB．=ABDBAC∴△．≌△
OABOBA,＝∠∴∠OBOA＝∴．ABOEAEBE⊥,∴又∵．＝ABOE）
（注：
若开始未给出判断“”，但证明过程正确，不扣分⊥的是边BC，四边形ABCD是正方形，点E例3（2009年山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：
如图190AEF?
?
DCG?
．F，求证：
EF交正方形外角AE=EF中点．的平行线CF于点，且
证，易ME，则AM=EC点：
取AB的中M，连接题正示，经过思考小明展了一种确的解思路ECFAME≌△△EF?
AE．，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：
外）的任意一，C是边BC上（除B的中点”改为“点，如果把“点
（1）小颖提出：
如图2E是边BCE小颖的观点正确吗？
如果正确，写出证明过”仍然成立，你认为点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF
程；如果不正确，请说明理由；点外）的任意一点，其他条件不变，结论的延长线上（除BCC是，点）小华提出：
如图（23EAE=EF“”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．6/14
F
D
D
A
A
D
A
F
F
BB
CEECB
GG
ECG
2
图1
图3
图
【分析】构造全等三角形解题）正确．解：
（1EC?
AMMEABM上取一点，连接，使证明：
在．
13545?
?
AME?
?
?
BME?
BE?
?
BM°°．，．CF是外角平分线，
45?
?
DCF?
°，135?
?
ECF?
°．ECF?
?
?
?
AME．90?
?
90AEB?
?
CEFAEB?
?
?
BAE?
°°，，
CEF?
?
BAE?
?
．BCF?
△AME≌△（ASA）．EF?
AE?
．2）正确．（NF
D
A
B
ECG
NBA的延长线上取一点证明：
在．NE?
ANCE使，连接．BEBN?
?
．45?
PCE?
?
?
N?
°．7/14
ABCD四边形是正方形，
BEAD?
∥．BEA?
DAE?
?
?
．CEF?
NAE?
?
?
．ECFANE≌△△?
ASA）．（EFAE?
?
．◆迎考精炼一、选择题年江苏省）如图，给出下列四组条件：
1.（2009
DF?
?
EF，ACAB?
DE，BC；①EF?
E，BC?
DE，?
B?
?
AB；②FC?
?
，E，BC?
EF?
?
B?
?
；③EB?
?
，AC?
DF，?
AB?
DE．④DEF△ABC≌△的条件共有（其中，能使）4组D．组B．2组C．3A．1组
O?
AOB以下的平分线方法如：
2.（2009年黑龙江牡丹江）尺规作图作A
CCOAOBDD为，再分别以点于、为圆心，任意长为半径画弧交、、C
P
1，OPPCD由圆心，以大于，作射线长为半径画弧，两弧交于点作法得
2O
B
DOPOC≌△△的根据是（）
SSS
．AASD．SASBA．．ASACBCAD，＝BD，则有（）AC（3.2009年广西钦州）如图，＝C
AB
CD垂直平分B．AAB垂直平分CD
．BAACB
．DCD平分∠与．CABCD互相垂直平分D°，，∠CDA=90ABC=∠AB=BCABCD）（20094.年甘肃定西如图，四边形中，
BE⊥BE=8的面积为ABCDE于点AD，且四边形，则（）8/14
3222D．BA．2．3
C．
二、填空题CAB△ABC≌△C?
°，?
40B?
?
A?
110°1.（2009年广东清远）如图，若．，且，则=1111AA
1
B
CBC1
1
D
C
ABCD
BDE上是菱形如图，点的对角线2.（2009年湖南邵阳）E
CEAE、．请找出图中一对全等三角形为的任意一点，连结B
A
___________．
ADAB?
，化已知）如图，3.（2009年湖南怀ADE△ABC△DAC?
BAE?
?
，可补充的条件是（写出一个即可）．≌，要使A
C
E
D
B
≌△A=∠D，∠B=ABFC，要使△∠、、20094.（年福建龙岩）如图，点BE、FC在同一直线上．已知∠
DCE，需要补充的一个条件是（写出一个即可）．D
A
C
BF
E
全等的三角ABCABCAC，作与△只有一条公共边，且与△AB=BCAB（5.2009年四川遂宁）已知△C中，≠
.形，这样的三角形一共能作出个三、解答题AB=CB,AD=CD.中，已知：
如图，在四边形（2009年四川宜宾）ABCD1.
A.∠C=求证：
∠
9/14
AGDE⊥DEBF∥，E，ABCD2.（2009年四川南充）如图，是正方形，点G是BC上的任意一点，于AD
交AG于F．EFAF?
BF?
E
．求证：
F
C
B
G
，则△FDE，∠E在同一条直线上，且AD=BEA=∠，3.（2009年浙江丽水）已知命题：
如图，点AD，B，判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一DEF.ABC≌△.
并加以证明个适当条件使它成为真命题,CDBEAF
OCOBAB、DCACOFEBD的中，年上海市4.（2009）已知线段为与为相交于点，联结的中点，EF点，联结（如图所示）．D
A
O
F
E
CB
OFE?
OEF?
?
AB=DC，求证：
D
（1）添加条件∠A=∠，．DC?
OFE?
?
AB?
OEFD?
?
A?
”记为③，添加条件2（）分别将“”记为①，“”记为②，“是2命题，命题，添加条件②、③，以①为结论构成命题12．命题1是①、③，以②为结论构成命题命题（选择“真”或“假”填入空格）．
交DAEAB平分?
AEAD?
，AB?
AC,AD?
BC于点D，如图，5.2009（年吉林省）10/14
F于点DE全等三角形，并选取其中一对加以证明．，请你写出图中三对．．EA郜F
C
B
D
5题）（第
ADADACDBCABCAB的延长线上取一，是中，，在=的中点，连结如图，在△6.（2009年湖南省娄底市）
CEEBE
，，连结点.ACEABE
≌△
（1）求证：
△AEADABEC是与）当（2满足什么数量关系时，四边形
.菱形？
并说明理由
【参考答案】
一、选择题
1.C2.D3.A4.C
二、填空题
△ABD≌△CDB△ADE≌△CDE△ABE≌△CBE0
或2.（或）1.30AC?
AE?
C?
?
E?
B?
?
D）3.或（或填4.AB=DC（填AF=DE或BF=CE或BE=CF也对）
5.7
三、解答题
1.连接BD.在△ABD和△CBD中，
∵AB=CB,AD=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD.∴∠C=∠A.
11/14
ABCD2.证明：
是正方形，
°90?
BAD?
?
AD?
AB，．AG⊥DE，
°90AED?
?
?
DEG?
?
．°90DAE?
?
?
ADE?
?
．°?
90?
?
DAE?
BAD?
BAF?
又，
BAF?
?
?
?
ADE．DEBF∥，
AED?
?
?
?
DEG?
?
AFB．AED?
?
AFB?
?
?
BAF?
?
ADE?
?
?
AB?
AD?
DAE△ABF△，在中，与（AAS）≌△DAE?
△ABF．AE?
?
BF．EF?
AF?
AE，
EF?
BF?
AF?
．.3.解：
是假命题以下任一方法均可：
AC=DF.①添加条件：
AD=BE,
证明：
∵AB=DE.，即∴AD+BD=BE+BD,中ABC和△DEF在△，AB=DEFDE，∠∠A=，AC=DFDEF（SAS）.ABC∴△≌△E.
CBA=②添加条件：
∠∠12/14
AD=BE,
证明：
∵AB=DE.即∴AD+BD=BE+BD,中，ABC和△DEF在△，A=∠FDE∠
AB=DE，E，CBA=∠∠DEF（ASA）.ABC≌△∴△F.C=∠③添加条件：
∠证明：
∵AD=BE,
AB=DE.AD+BD=BE+BD,即∴DEF中，在△ABC和△
∠A=∠FDE，
∠C=∠F，
AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
?
OEF?
?
OFE）∵4.（1∴OE=OF
OBOCFE的中点，的中点，∵为为∴OB=OC
又∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，
△AOB≌△DOC
∴AB=DC
（2）真，假
△ADB≌△ADC△ABD≌△ABEAFD≌△AFE△BFD≌△BFE△、5.解、、1：
（）、ACDABE≌△△（写出其中的三对即可）ADC△≌ADB为例证明．
（2）以.°90ADC?
?
?
BCAD?
ADB?
?
证明：
ADCADB△△在RtRt和中，13/14
AB?
AC,AD?
AD,
?
△ADB△ADC.
Rt≌RtABAC
）证明：
∵=16.（DBC
的中点为点BAECAE
=∠∴∠AEAE
=ABEACESAS）∴△（≌△1AEDEABECAEADADDE是菱形=2（或==或）当
（2）时，四边形
2
理由如下：
AEADADDE
=2∵=，∴DBCBDCD
=为又点中点，∴ABEC为平行四形边∴四边形ABAC
∵=ABEC为菱形∴四边形
14/14
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