初中数学三角形全等的判定.docx

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初中数学三角形全等的判定

三角形全等的判定知识点总结及例题分析

（一）

教学

目标

1．三角形全等的“边边边”的条件．

2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

教学重点

通过观察和实验获得SSS，会运用SSS条件证明两个三角形全等．

教学难点

寻求三角形全等的条件．

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

【问题1】已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角．

图中相等的边是：

．

相等的角是：

．

【问题2】你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．

这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？

条件能否尽可能少呢？

现在我们就来探究这个问题．

使学生明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等．

二、合作交流解读探究

【探究1】满足什么条件的两个三角形全等？

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

分别按下列条件做一做．

①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

教师引导学生探究：

通过画图发现，满足六个条件中的一个或两个，两个三角形不一定全等．

【探究2】下面我们来观察一个三角形的平移过程，在观察中请你体会如果两个三角形的三边对应相等，这两个三角形是否全等．

我们看到平移前后三角形的三条线段的长度没有改变，反过来，如果两个三边对应相等，我们将其叠合，会发现两个三角形完全重合．

【思考】你如何验证你的结论呢?

（请每两个同学一组合作，先任意画一个三角形，然后再画一个三角形使其与前三角形的三边对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果．）

提醒学生注意：

已知三边画三角形是一种重要的作图，在几何中用途很多，所以这种画图方法一定要掌握．

通过观察和实验，我们得到一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．

我们在前面学习三角形的时候知道：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．

提出问题，明确探究方向，激发探究欲望．

学会观察，培养学生分析、探究问题的能力．

使学生明确：

判定两个三角形全等至少需要三个条件．

三、应用迁移巩固提高

【例1】如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

[分析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．

证明：

【例2】如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？

怎样才能得到这个条件？

四、总结反思拓展升华

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

五、课堂作业

P1512

教学理念/反思

第3课时三角形全等的判定

（2）

教学

目标

1、会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。

2、掌握作已知角的平分线的方法及步骤。

教学重点

用尺规作一个角等于已知角，作已知角的平分线。

教学难点

规范使用尺规，规范使用作图语言，规范的按照步骤作出图形。

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

前面我们用量角器画一个角等于已知角和画一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来作一个角等于已知角和作已知角的平分线呢？

由具体的问题引入，激发学生的学生兴趣

二、合作交流解读探究

【问题1】作一个角等于已知角。

已知如图，∠AOB

求作：

∠A’O’B’，使∠A’O’B’＝∠AOB

教师在黑板上作图，同时写出作法：

⏹作射线O’A’。

⏹以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D。

⏹以O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于点C。

⏹以C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’。

⏹过点D’作射线O’B’，∠A’O’B’就是所求作的角。

只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。

问：

你能验证你所作的角与已知角相等吗？

【问题2】作一个已知角∠AOB的平分线OC。

分析：

假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：

如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：

如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？

不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？

再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？

而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：

∠AOB，如图

求作：

射线OE，使∠AOE=∠BOE．

作法：

（1）在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．

（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．

（3）作射线OE．

OE就是所求的射线．

学生探索作图方法

通过示范，使学生明白如何利用尺规作一个角等于已知角。

三、应用迁移巩固提高

【例1】已知∠AOB，利用尺规作∠A’O’B’，使∠A’O’B’=2∠AOB

【例2】如图，已知AD=AE，PD=PE，能否判定∠DAP=∠PAE？

请写出证明过程。

【练习】课本Р8练习

学生动手操作，教师加以指导，在具体的操作中巩固作法。

利用全等证明角相等的应用。

四、总结反思拓展升华

本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角和平分已知角，要会用自己的语言来书写作法，并要了解作一角等于已知角和平分已知角在尺规作图中的简单应用。

五、课堂作业

教学理念/反思

第4课时三角形全等的判定（3）

教学

目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

教学重点

会用“边角边”证明两个三角形全等。

教学难点

会正确运用“SAS”判定定理，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等，那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三角形全等？

我们来看下面的问题：

如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

二、合作交流解读探究

上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

活动1：

画△ABC，∠B=60°，BC=7cm，AB=5cm,用剪刀剪下来，看一下同桌的两个同学的图形能否完全重合。

引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系

由活动1：

让学生去猜想并归纳出“SAS”定理。

边角边判定定理：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）

活动2：

在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇AC=A＇C＇∠B=∠B＇,观察△ABC与△A＇B＇C＇是否全等。

（强化类比“SAS”）由学生观察总结出“边角边”不一定能判定两三角形全等。

所以“SAS”定理一定是两边及两边的夹角对应相等才能判定两三个角全等。

三、应用迁移巩固提高

【例1】填空：

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是___________；还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

_________________________（这个条件可以证得吗？

）．

【例2】已知：

如图5，AD∥BC，AD＝CB．

求证：

△ADC≌△CBA．

问题：

如果把图5中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置（如图5），那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件（AF＝CE或AE＝CF）？

怎样证明呢？

【例3】已知：

AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2（图4）．求证：

△ABD≌△ACE．

【探究】

　　学生讨论，教师归纳

　　可通过画图来回答这个问题，如图，图中ΔABD与ΔABC满足两边及其中一边的对角对应相等，但显然这两个三角形不全等。

这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

【练习】课本Р10练习

四、总结反思拓展升华

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．

五、课堂作业

P1534

教学理念/反思

第5课时三角形全等的判定（4）

教学

目标

1．三角形全等的条件：

角边角、角角边．

2．三角形全等条件小结．

3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．

4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

教学重点

已知两角一边的三角形全等探究．

教学难点

灵活运用三角形全等条件证明．

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

1．复习：

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

　　三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

　　三种：

①定义；②SSS；③SAS．

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

二、合作交流解读探究

【问题1】三角形中已知两角一边有几种可能？

1．两角和它们的夹边．

2．两角和其中一角的对边．

【问题2】三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？

将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．

提炼规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

【问题3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？

①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．

②画线段A′B′，使A′B′=AB．

③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．

④射线A′D与B′E交于一点，记为C′

即可得到△A′B′C′．

将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

思考：

在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

【问题4】

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？

能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：

∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°

∠A=∠D，∠B=∠E

∴∠A+∠B=∠D+∠E

∴∠C=∠F

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

三、应用迁移巩固提高

【例1】如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：

AD=AE．

[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．

证明：

在△ADC和△AEB中

所以△ADC≌△AEB（ASA）

所以AD=AE．

【例2】如图，海岸上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等，为什么？

证明：

∵∠CAD=∠CBD，∠1=∠2∴∠C=∠D。

在△ABC与△BAD∠CAB=∠ABD（已知）∠C=∠D（已证）AB=BA（公共边）∴△ABC≌△BAD（AAS）∴AC=BD即点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等

【练习】课本Р13练习

培养学生的逻辑推理能力、独立思考能力，会用“ASA或AAS“判断三角形全等，规范地书写证明过程.培养学生合情合理的逻辑推理能力，语言表达能力，规范地书写证明过程.培养学生的符号感，体会数学知识的严谨性.

四、总结反思拓展升华

五种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理：

边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

五、课堂作业

P1556

教学理念/反思

第6课时三角形全等的判定（5）综合探究

教学

目标

1、理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题．

2、经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理．

教学重点

运用四个判定三角形全等的方法．

教学难点

正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法”进行表达．

教学互动设计

设计意图

一、分层练习回顾反思

1．已知△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C′的度数与AB的长．

【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很方便．

2．已知：

如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．

求证：

∠B=∠C．

【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的办法有：

（1）两直线平行，同位角或内错角相等；

（2）全等三角形对应角相等；（3）等腰三角形两底角相等（待学）．

根据本题的图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条件，可知AD=AE，∠1=∠2，AO是公共边，叫△ADO≌△AEO，则可得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD，而由上可知OE=OD，∠BOE=∠COD（对顶角），∠BEO=∠CDO（等角的补角相等），则可证得△OBF≌△OCD，事实上，得到∠AEO=∠AOD之后，又有∠BOE=∠COD，由外角的关系，可得出∠B=∠C，这样更进一步简化了思路．

【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条件分析透，如上题当证明△ADO≌△AEO之后，可以得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思考．

组织学生练习，请一位学生上台演示．

先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示．

巡视、启发引导，关注“学困生”，请学生上台演示，然后评点．

小组合作交流，共同探讨，然后解答．

分组合作，互相交流．

二、应用迁移能力提升

【例1】如图2，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE．求证：

AD=AE．

【思路点拨】欲证相等的两条线段AD、AE分别在△ABD和△ACE中，由于BD=CE，∠ABD=∠ACE，因此要证明△ABD≌△ACE，则需证明∠BAD=∠CAE，这由已知条件∠BAC=∠DAE容易得到．

证明：

∵∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中，

∵BD=CE，∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（AAS），

∴AD=AE．

【例2】如图4，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，你能说明其中道理吗？

小明的思考过程如下：

→△ABC≌△ADC→∠QRE=∠PRE

你能说出每一步的理由吗？

引导学生思考问题．

分析、寻找证题思路，独立完成例题

四、总结反思拓展升华

五种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理：

边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

五、课堂作业

P16910

教学理念/反思

第7课时三角形全等的判定（6）

教学

目标

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

教学重点

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学互动设计

设计意图

一、课前热身复习旧知

1、判定两个三角形全等的方法：

、、、

2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是。

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）

二、合作交流解读探究

【做一做】任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C，′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？

画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;

1、画∠MC′N=90°。

2、在射线C′M上取B′C′BC。

3、以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。

连接A′B′。

【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：

规律：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

【想一想】你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

【互动交流】直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：

SSS、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形特殊的判定方法——HL。

三、应用迁移巩固提高

【例1】如课本图11．2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．

【思路点拨】欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC具备全等的条件．

证明：

∵AC⊥BC，BD⊥BD，

∴∠C与∠D都是直角．

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．

∴BC=AD．

【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明．

【例2】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系？

下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？

→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°．

有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC与△DEF全等．这样∠ABC=∠DEF，也就是∠ABC+∠DEF=90°．

在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，因此这两个三角形是全等的，这样∠ABC=∠DEF，所以∠ABC与∠DEF是互余的．

【练习】课本Р14练习

引导学生共同参与分析例题

参与教师分析，提出自己的见解．

这个问题涉及的推理比较复杂，可以通过全班讨论，共同解决这个问题，但不需要每个学生自己独立说明理由，只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了．

四、总结反思拓展升华

我们有六种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义2．边边边（SSS）

3．边角边（SAS）4．角边角（ASA）

5．角角边（AAS）６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）

五、课堂作业

P167813

教学理念/反思

本节课通过动手操作，在合作交流、比较中共同发现问题，培养直观发现问题的能力，在反思中发现新知，体会解决问题的方法．通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求，可知判定直角三角形全等有五种方法．