初中数学三角形全等的判定.docx

1、初中数学三角形全等的判定三角形全等的判定知识点总结及例题分析（一）教 学目 标1三角形全等的“边边边”的条件2了解三角形的稳定性3经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程教学重点通过观察和实验获得SSS，会运用SSS条件证明两个三角形全等教学难点寻求三角形全等的条件教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课【问题1】已知ABCDEF，找出其中相等的边与角图中相等的边是： 相等的角是： 【问题2】你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等这样作出的三角

2、形一定与已知的三角形纸片全等）这是利用了全等三角形的定义来作图那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题使学生明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等二、合作交流 解读探究【探究1】满足什么条件的两个三角形全等？1只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？2给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做三角形一内角为30，一条边为3cm三角形两内角分别为30和50三角形两条边分别为4cm、6cm教师引导学生探究：通过画图发现，满足六个条件中的一个或两个，两个三角形不一定全等【探

3、究2】下面我们来观察一个三角形的平移过程，在观察中请你体会如果两个三角形的三边对应相等，这两个三角形是否全等我们看到平移前后三角形的三条线段的长度没有改变，反过来，如果两个三边对应相等，我们将其叠合，会发现两个三角形完全重合【思考】你如何验证你的结论呢?（请每两个同学一组合作，先任意画一个三角形，然后再画一个三角形使其与前三角形的三边对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果）提醒学生注意：已知三边画三角形是一种重要的作图，在几何中用途很多，所以这种画图方法一定要掌握通过观察和实验，我们得到一个规律：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）我们在前

4、面学习三角形的时候知道：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的三角形的这个性质叫做三角形的稳定性所以日常生活中常利用三角形做支架就是利用三角形的稳定性例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等用上面的规律可以判断两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据提出问题，明确探究方向，激发探究欲望学会观察，培养学生分析、探究问题的能力使学生明确：判定两个三角形全等至少需要三个条件三、应用迁移 巩固提高【例1】如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架求证：ABD

5、ACD分析要证ABDACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等证明：【例2】如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB要用“边边边”证明ABCFDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？四、总结反思 拓展升华本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS并利用它可以证明简单的三角形全等问题五、课堂作业 P15 1 2 教学理念/反思第3课时 三角形全等的判定（2）教 学目 标1、会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。2、掌握作已知角的平分线的方法及步骤。教学重点用尺

6、规作一个角等于已知角，作已知角的平分线。教学难点规范使用尺规，规范使用作图语言，规范的按照步骤作出图形。教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课前面我们用量角器画一个角等于已知角和画一个已知角AOB的平分线OC，怎样用尺规来作一个角等于已知角和作已知角的平分线呢？由具体的问题引入，激发学生的学生兴趣二、合作交流 解读探究【问题1】作一个角等于已知角。已知如图，AOB求作：AOB，使AOB AOB教师在黑板上作图，同时写出作法： 作射线OA。 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D。 以O为圆心，以OC长为半径画弧，交OA于点C。 以C为圆心，以CD长为半径画弧

7、，交前面的弧于点D。 过点D作射线OB， AOB 就是所求作的角。只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。问：你能验证你所作的角与已知角相等吗？【问题2】作一个已知角AOB的平分线OC。分析：假如AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分AOB吗？用“SSS”公理易证OECODC，EOC=DOC，即OC平分AOB于是容易看出，要作AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D以O为圆心，任意长为半径

8、作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？已知：AOB，如图求作：射线OE，使AOE=BOE作法：(1)在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在AOB内，两弧交于点E（3）作射线OEOE就是所求的射线学生探索作图方法通过示范，使学生明白如何利用尺规作一个角等于已知角。三、应用迁移 巩固提高【例1】已知AOB，利用尺规作AOB，使AOB=2AOB【例2】如图，已知A

9、D=AE，PD=PE，能否判定DAP=PAE？请写出证明过程。【练习】课本8 练习学生动手操作，教师加以指导，在具体的操作中巩固作法。利用全等证明角相等的应用。四、总结反思 拓展升华本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角和平分已知角，要会用自己的语言来书写作法，并要了解作一角等于已知角和平分已知角在尺规作图中的简单应用。五、课堂作业 教学理念/反思第4课时 三角形全等的判定（3）教 学目 标1三角形全等的“边角边”的条件2经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程3能运用“SS”证明简单的三角形全等问题教学重点会用“边角边”证明两个三角形全等。教学难点会正确运用“

10、SAS”判定定理，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等，那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三角形全等？我们来看下面的问题：如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，ABO和CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：AOCO，AOBCOD，BODO如果把OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OAOC，所以可以使OA与OC重合；又因为AOB COD， OBOD，所以点B与点D重合这样ABO与CDO就完全重合从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边

11、和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等二、合作交流 解读探究上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：活动1：画ABC，B=60，BC=7cm，AB=5cm,用剪刀剪下来，看一下同桌的两个同学的图形能否完全重合。引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系由活动1：让学生去猜想并归纳出“SAS”定理。边角边判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）活动2：在ABC与ABC中，若AB=ABAC=ACB=B,观察ABC与ABC是否全等。（强化类比“SAS”）由学生观察总结出“边角边”不一定能判定两三角形全等。所以“SAS”定理一定是两边及两边的夹

12、角对应相等才能判定两三个角全等。三、应用迁移 巩固提高【例1】填空：(1)如图3，已知ADBC，ADCB，要用边角边公理证明ABCCDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是ADCB(已知)，二是_；还需要一个条件_(这个条件可以证得吗？)(2)如图4，已知ABAC，ADAE，12，要用边角边公理证明ABDACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_(这个条件可以证得吗？)【例2】已知：如图5，ADBC，AD CB求证：ADCCBA问题：如果把图5中的ADC沿着CA方向平移到ADF的位置(如图5)，那么要证明ADF CEB，除了ADBC、ADCB的条件外，还需要一个什么条件(A

13、F CE或AE CF)？怎样证明呢？【例3】已知：ABAC、ADAE、12(图4)求证：ABDACE【探究】学生讨论，教师归纳可通过画图来回答这个问题，如图，图中ABD与ABC满足两边及其中一边的对角对应相等，但显然这两个三角形不全等。这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。【练习】课本10 练习四、总结反思 拓展升华1根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件2找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理五、课堂作业 P15 3 4教学理念/反思第5课时三角形全等的判

14、定（4）教 学目 标1三角形全等的条件：角边角、角角边2三角形全等条件小结3掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件4能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题教学重点已知两角一边的三角形全等探究教学难点灵活运用三角形全等条件证明教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课1复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三种：定义；SSS；SAS2在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？二、合作交流 解读探究【

15、问题1】三角形中已知两角一边有几种可能？1两角和它们的夹边2两角和其中一角的对边【问题2】三角形的两个内角分别是60和80，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）【问题3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个ABC，使A=A、B=B、AB=AB呢？先用量角器量出A与B的度数，再用直尺量出AB的边长画线段AB，使AB=AB分别以A、

16、B为顶点，AB为一边作DAB、EBA，使DAB=CAB，EBA=CBA射线AD与BE交于一点，记为C即可得到ABC将ABC与ABC重叠，发现两三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？【问题4】如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：A+B+C=D+E+F=180A=D，B=EA+B=D+EC=F在ABC和DEF中ABCDEF（ASA）两个角和其中

17、一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）三、应用迁移 巩固提高【例1】如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C求证：AD=AE分析AD和AE分别在ADC和AEB中，所以要证AD=AE，只需证明ADCAEB即可证明：在ADC和AEB中所以ADCAEB（ASA）所以AD=AE【例2】如图，海岸上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看C，D的视角CAD与从观测点B看海岛C，D的视角CBD相等，那么点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等，为什么？证明：CAD=CBD，1=2C=D。在ABC与B

18、ADCAB=ABD（已知）C=D （已证）AB=BA （公共边）ABCBAD（AAS）AC=BD即点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等【练习】课本13 练习培养学生的逻辑推理能力、独立思考能力，会用“ASA或AAS“判断三角形全等，规范地书写证明过程. 培养学生合情合理的逻辑推理能力，语言表达能力，规范地书写证明过程.培养学生的符号感，体会数学知识的严谨性.四、总结反思 拓展升华五种判定三角形全等的方法：1全等三角形的定义2判定定理：边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径五、课堂作业 P1

19、5 5 6教学理念/反思第6课时三角形全等的判定（5）综合探究教 学目 标1、理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题2、经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理教学重点运用四个判定三角形全等的方法教学难点正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法”进行表达教 学 互 动 设 计设计意图一、分层练习 回顾反思1已知ABCABC，且A=48，B=33，AB=5cm，求C的度数与AB的长【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很方便2已知：如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，1=2求证：B

20、=C【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的办法有：（1）两直线平行，同位角或内错角相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）等腰三角形两底角相等（待学）根据本题的图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条件，可知AD=AE，1=2，AO是公共边，叫ADOAEO，则可得到OD=OE，AEO=ADO，EOA=DOA，而要证B=C可以进一步考查OBEOCD，而由上可知OE=OD，BOE=COD（对顶角），BEO=CDO（等角的补角相等），则可证得OBFOCD，事实上，得到AEO=AOD之后，又有BOE=COD，由外角的关系，可得出B=C，这样更进一步简化了思路【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条

21、件分析透，如上题当证明ADOAEO之后，可以得到OD=OE，AEO=ADO，EOA=DOA，这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思考组织学生练习，请一位学生上台演示先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示巡视、启发引导，关注“学困生”，请学生上台演示，然后评点小组合作交流，共同探讨，然后解答分组合作，互相交流二、应用迁移 能力提升【例1】如图2，已知BAC=DAE，ABD=ACE，BD=CE求证：AD=AE【思路点拨】欲证相等的两条线段AD、AE分别在ABD和ACE中，由于BD=CE，ABD=ACE，因此要证明ABDAC

22、E，则需证明BAD=CAE，这由已知条件BAC=DAE容易得到证明：BAC=DAE BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE 在ABD和ACE中， BD=CE，ABD=ACE，BAD=CAE， ABDACE（AAS）， AD=AE【例2】如图4，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是PRQ的平分线，你能说明其中道理吗？ 小明的思考过程如下： ABCADCQRE=PRE你能说出每一步的理由吗？引导学生思考问题分析、寻找证题思路，独立完成例题四、总结反思 拓展升华五种

23、判定三角形全等的方法：1全等三角形的定义2判定定理：边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径五、课堂作业 P16 9 10教学理念/反思第7课时三角形全等的判定（6）教 学目 标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教

24、 学 互 动 设 计设计意图一、课前热身 复习旧知1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、2、如图，RtABC中，直角边是 、 ，斜边是 。3、如图，ABBE于C，DEBE于E，（1）若A=D，AB=DE，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（2）若A=D，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）二、合作交流 解读探究【做一做】任

25、意画出一个RtABC，使C=90，再画一个RtABC，使BC=BC，AB=AB，把画好的RtABC剪下，放到RtABC上，它们全等吗？画一个RtABC，使BC=BC,AB=AB;1、 画MCN=90。2、 在射线CM上取BCBC。3、 以B为圆心，AB为半径画弧，交射线CN于点A。连接AB。【学生活动】画图分析，寻找规律如下：规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）【想一想】你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？【互动交流】直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形特殊的判定方法H

26、L。三、应用迁移 巩固提高【例1】如课本图11212，ACBC，BDAD，AC=BD，求证BC=AD【思路点拨】欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有ABD和BAC，ADO和BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，ABD和BAC具备全等的条件证明：ACBC，BDBD， C与D都是直角在RtABC和RtBAD中， RtABCRtBAD（HL） BC=AD【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明【例2】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角ABC和DEF的大小有什么关系？ 下面是三个同学的

27、思考过程，你能明白他们的意思吗？ ABCDEFABCDEFABC+DEF=90 有一条直角边和斜边对应相等，所以ABC与DEF全等这样ABC=DEF，也就是ABC+DEF=90 在RtABC和RtDEF中，BC=EF，AC=DF，因此这两个三角形是全等的，这样ABC=DEF，所以ABC与DEF是互余的【练习】课本14 练习引导学生共同参与分析例题参与教师分析，提出自己的见解这个问题涉及的推理比较复杂，可以通过全班讨论，共同解决这个问题，但不需要每个学生自己独立说明理由，只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了 四、总结反思 拓展升华我们有六种判定三角形全等的方法：1全等三角形的定义 2边边边（SSS）3边角边（SAS） 4角边角（ASA）5角角边（AAS） （仅用在直角三角形中）五、课堂作业 P16 7 8 13教学理念/反思本节课通过动手操作，在合作交流、比较中共同发现问题，培养直观发现问题的能力，在反思中发现新知，体会解决问题的方法通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求，可知判定直角三角形全等有五种方法