（2）如果（上，左）是纳什均衡，上述哪几个不等式必须满足？
答：
a>e,b>d
4、答：
（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。
北方航空公司
合作
竞争
新华航空公司
合作
500000，500000
0，900000
竞争
900000，0
60000，60000
（2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。
答：
若新华选择“竞争”，则北方也会选择“竞争”（60000>0）；若新华选择“合作”，北方仍会选择“竞争”（900000>500000）。
若北方选择“竞争”，新华也将选择“竞争”（60000>0）；若北方选择“合作”，新华仍会选择“竞争”（900000>0）。
由于“竞争”为双方的占优策略，故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略。
5、博弈的收益矩阵如下表：
乙
左
右
甲
上
a，b
c，d
下
e，f
g，h
（1）如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h之间必然满足哪些关系？
答：
从占优策略均衡的定义出发：
对甲而言，策略“上”（a,c）优于策略“下”（e,g）；
对乙而言，策略“左”（b,f）优于策略“右”（d,h）。
所以结论是：
a>e,b>d,f>h,c>g
（2）如果（上，左）是纳什均衡，则
（1）中的关系式哪些必须满足？
答：
纳什均衡只需满足：
a>e,b>d,
（3）如果（上，左）是上策均衡，那么它是否必定是纳什均衡？
为什么？
答：
占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均衡的条件。
（4）在什么情况下，纯策略纳什均衡不存在？
答：
当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。
7、求纳什均衡。
小猪
按
等
大猪
按
5，1
4，4
等
9，-1
0，0
纳什均衡为：
大猪“按”，小猪“等”，即（按，等）
6、
乙
低价
高价
甲
低价
100，800
50，50
高价
-20，-30
900，600
（1）有哪些结果是纳什均衡？
答：
（低价，低价），（高价，高价）
（2）两厂商合作的结果是什么？
答：
（高价，高价）
8、用反应函数法结合划线法，求出下列博弈的所有纯策略纳什均衡。
参与人1
参与人2
甲
乙
丙
丁
A
2,3
3,2
3,4
0,3
B
4,4
5,2
0,1
1,2
C
3,1
4,1
1,4
10,2
D
3,1
4,1
-1,2
10,1
参与人1的反应函数：
R1
（2）=B,若2选择甲
=B,若2选择乙
=A,若2选择丙
=C或D,若2选择丁
参与人2的反应函数：
R2
（1）=丙,若2选择A
=甲,若2选择B
=丙,若2选择C
=丙,若2选择D
求共集，得纯策略纳什均衡为（B，甲）与（A，丙）
9、求出下面博弈的纳什均衡（含纯策略和混合策略）。
甲
乙
L
R
U
5,0
0,8
D
2,6
4,5
解：
（1）纯策略Nash均衡：
由划线法可知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。
（2）混合策略Nash均衡
设甲选择“U”的概率为P1，则选择“D”的概率为1-P1
乙选择“L”的概率为P2，则选择“R”的概率为1-P2
对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“U”和“D”，使乙选择“L”和“R”的期望值相等
即P1*0+（1-P1）*6=P1*8+（1-P1）*5
解得P1=1/9
即（1/9,8/9）按1/9概率选“U”、8/9概率选“D”为甲的混合策略Nash均衡
对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“L”和“R”，使乙选择“U”和“D”的期望值相等
即P2*5+（1-P2）*0=P2*2+（1-P2）*4
解得P2=4/7
即（4/7,3/7）按4/7概率选“L”、3/7概率选“R”为乙的混合策略Nash均衡
10、根据两人博弈的损益矩阵回答问题：
甲
乙
左
右
上
2,3
0,0
下
0,0
4,2
（1）写出两人各自的全部策略。
答：
全部策略：
（上，左），（上，右），（下，左），（下，右）
（2）找出该博弈的全部纯策略纳什均衡。
答：
由划线法可知，该矩阵博弈全部纯策略Nash均衡为
（上，左）和（下，右）两个
（3）求出该博弈的混合策略纳什均衡。
解：
设甲选择“上”的概率为P1，则选择“下”的概率为1-P1
乙选择“左”的概率为P2，则选择“右”的概率为1-P2
对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“上”和“下”，使乙选择“左”和“右”的期望值相等
即P1*3+（1-P1）*0=P1*0+（1-P1）*2
解得P1=2/5
即（2/5,3/5）按2/5概率选“上”、3/5概率选“下”为甲的混合策略Nash均衡
对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“左”和“右”，使乙选择“上”和“下”的期望值相等
即P2*2+（1-P2）*0=P2*0+（1-P2）*4
解得P2=2/3
即（2/3,1/3）按2/3概率选“左”、1/3概率选“右”为乙的混合策略Nash均衡
11、某寡头垄断市场上有两个厂商，总成本均为自身产量的20倍，市场需求函
数为Q=200-P。
求：
（1）若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？
（2）若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量，则各自的利润情况如何？
（3）用该案例解释囚徒困境。
答：
（1）由已知条件Q=200-P，P=200-Q
TC1=20q1，TC2=20q2q1+q2=Q
可得1,2厂商的利润函数分别为：
K1=Pq1-TC1=（200-（q1+q2））q1-20q1=180q1-q12-q1q2
K2=Pq2-TC2=（200-（q1+q2））q2-20q2=180q2-q22-q1q2
令dK/dq1=0得厂商1的反应函数为180-2Q1-Q2=0，
令dK/dq2=0得厂商2的反应函数为180-Q1-2Q2=0，
联解可得q1=q2=60
K1=K2=3600
（2）由已知条件Q=200-P，P=200-Q
TC=TC1+TC2=20q1+20q2=20Q
可得1,2厂商的总利润函数为：
K=PQ-TC=（200-Q）Q-20Q=180Q-Q2
令dK/dQ=0得Q=90,q1=q2=45
K=PQ-TC=（200-Q）Q-20Q=180Q-Q2=8100
K1=K2=4050
（3）将q1=45,q2=60和q1=60,q2=45分别代入1,2厂商的利润函数
可得1,2厂商的利润为：
K1（q1=45,q2=60）=Pq1-TC1=（200-（q1+q2））q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375
K1（q1=60,q2=45）=Pq1-TC1=（200-（q1+q2））q1-20q1=180q1-q12-q1q2=4500
K2（q1=45,q2=60）=Pq2-TC2=（200-（q1+q2））q2-20q2=180q2-q22-q1q2=4500
K1（q1=60,q2=45）=Pq1-TC1=（200-（q1+q2））q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375
厂商2
合作（q2=45）
不合作（q2=60）
厂商1
合作（q1=45）
4050，4050
3375，4500
不合作（q1=60）
4500，3375
3600，3600
根据划线法，可得厂商1.2的上策是（不合作，不合作）即（3600,3600）
双方利润均低于（合作，合作）（4050,4050）显然它属于“囚徒困境”
13、（市场威慑）考虑下面一个动态博弈：
首先，在一个市场上潜在的进入者选择是否进入，然后市场上的已有企业（在位者）选择是否与新企业展开竞争。
在位者可能有两种类型，温柔型（左图）和残酷型（右图），回答下面问题。
.
进入者
在位者
进入
不进入
默许
斗争
（20，30）
（-10，0）
（0，100）
进入者
在位者
进入
不进入
默许
斗争
（-10，25）
（0，100）
（10，20）
左图：
温柔型右图：
残酷型
（1）找出给定在位者的两种类型所分别对应的纳什均衡，以及子博弈精炼纳什均衡
（1）温柔型在位者的纳什均衡为（进入,默认）
残酷型在位者的纳什均衡为（不进入,（进入，斗争））
（2）已有企业为温柔型的概率至少多少时，新企业才愿意进入？
四、论述题
1、解释“囚犯困境”，并举商业案例说明。
（1）假设条件举例：
两囚徒被指控是一宗罪案的同案犯。
他们被分别关在不同的牢房无法互通信息。
各囚徒都被要求坦白罪行。
如果两囚徒都坦白，各将被判入狱5年；如果两人都不坦白，两囚徒可以期望被从轻发落入狱2年；如果一个囚徒坦白而另一个囚徒不坦白，坦白的这个囚徒就只需入狱1年，而不坦白的囚徒将被判入狱10年。
（2）囚徒困境的策略矩阵表。
每个囚徒都有两种策略：
坦白或不坦白。
表中的数字分别代表囚徒甲和乙的得益。
囚徒乙
坦白
不坦白
囚徒甲
坦白
-5，-5
-1，-10
不坦白
-10，-1
-2，-2
（3）分析：
通过划线法可知：
在囚徒困境这个模型中，纳什均衡就是双方都“坦白”。
给定甲坦白的情况下，乙的最优策略是坦白；给定乙坦白的情况下，甲的最优策略也是坦白。
而且这里双方都坦白不仅是纳什均衡，而且是一个上策均衡，即不论对方如何选择，个人的最优选择是坦白。
其结果是双方都坦白。
（4）商业案例：
寡头垄断厂商经常发现它们自己处于一种囚徒的困境。
当寡头厂商选择产量时，如果寡头厂商们联合起来形成卡特尔，选择垄断利润最大化产量，每个厂商都可以得到更多的利润。
但卡特尔协定不是一个纳什均衡，因为给定双方遵守协议的情况下，每个厂商都想增加生产，结果是每个厂商都只得到纳什均衡产量的利润，它远小于卡特尔产量下的利润。
2、解释并讨论古诺的双寡头模型的纳什均衡。
为什么其均衡是一种囚徒困境？
见上课笔记
或计算题第11题
3、用“小偷与守卫的博弈”说明“激励（监管）悖论”。
（1）假设条件举例：
偷窃和防止偷窃是小偷和门卫之间进行博弈的一场游戏。
门卫可以不睡觉，或者睡觉。
小偷可以采取偷、不偷两种策略。
如果小偷知道门卫睡觉，他的最佳选择就是偷；如果门卫不睡觉，他最好还是不偷。
对于门卫，如果他知道小偷想偷，他的最佳选择是不睡觉，如果小偷采取不偷，自己最好去睡觉。
（2）小偷与门卫的支付矩阵表（假定小偷在门卫睡觉时一定偷成功，在门卫不睡觉时偷一定会被抓住）：
门卫
睡觉
不睡觉
小偷
偷
1，-1
-2,0
不偷
0,2
0,0
（3）分析：
通过划线法可知：
这个博弈是没有纳什均衡的。
门卫不睡觉，小偷不偷，双方都没有收益也没有损失；门卫不睡觉，小偷偷，门卫因为是本职工作得不到奖励，小偷被判刑丧失效用2单位；门卫睡觉，小偷不偷，门卫睡觉的很愉快得到效用2单位，小偷没有收益也没有损失；门卫睡觉，小偷偷，门卫因失职被处分而丧失效用1单位，小偷偷窃成功获得效用1单位。
（4）“激励（监管）悖论”说明：
现实中，我们看到，当门卫不睡觉时，偷窃分子便收敛一阵；严打的时期一过，偷窃分子又开始兴风作浪，在不能容忍小偷过分猖狂的时候，门卫不得不再次开始认真。
即偷的小偷越多，那么不睡觉的门卫将会越多，偷的小偷越少，不睡觉的门卫将越少；反过来，不睡觉的门卫越多，偷的小偷就越少，不睡觉的门卫越少，偷的小偷就越多。
如果偷窃集团倾巢出动，那么门卫的选择也是全部不睡觉，但门卫一旦全部不睡觉，小偷最好选择全部不偷，小偷一旦选择全部不偷，门卫最好全部选择睡觉。
（5）结论：
加重对小偷的处罚在长期中并不能抑制偷窃（而只能使门卫偷懒）；加重处罚失职门卫恰恰是会降低偷窃发生的概率。
这种门卫和小偷的博弈所揭示的，政策目标和政策结果之间的这种意外关系，常被称为“激励的悖论”。
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