列方程解应用题的基本关系量讲解学习.docx
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列方程解应用题的基本关系量讲解学习
列方程解应用题的基本关系量
（1）行程问题：
速度×时间=路程顺水速度=静水速度—水流速度逆水速度=静水速度—水流速度
（2）工程问题：
工作效率×工作时间=工作量
（3）浓度问题：
溶液×浓度=溶质
（4）银行利率问题：
免税利息=本金×利率×时间
二元一次方程组解决实际问题的基本步骤
1、审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系.（审题，寻找等量关系）
2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．（设未知数，列方程组）
3、列出方程组并求解，得到答案．（解方程组）
4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．（检验,答）
列方程组解应用题的常见题型
（1）和差倍总分问题：
较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量
（2）产品配套问题：
加工总量成比例
（3）速度问题：
速度×时间=路程
（4）航速问题：
此类问题分为水中航速和风中航速两类
1．顺流（风）：
航速=静水（无风）中的速度+水（风）速
2．逆流（风）：
航速=静水（无风）中的速度--水（风）速
（5）工程问题：
工作量=工作效率×工作时间
一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题
（6）增长率问题：
原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量
（7）浓度问题：
溶液×浓度=溶质
（8）银行利率问题：
免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率
（9）利润问题：
利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%
（10）盈亏问题：
关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量
（11）数字问题：
首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
（12）几何问题：
必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
（13）年龄问题：
抓住人与人的岁数是同时增长的
一、数字问题
例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
分析：
设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：
十位上的数
个位上的数
对应的两位数
相等关系
原两位数
x
y
10x+y
10x+y=x+y+9
新两位数
y
x
10y+x
10y+x=10x+y+27
解方程组
，得
，因此，所求的两位数是14．
点评：
由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．
二、利润问题
例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？
分析：
商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程0.8x-y=10.
解方程组
，解得
，
因此，此商品定价为200元．
点评：
商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：
利润=卖出价-进价；二是：
利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．
三、配套问题
例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
分析：
要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：
每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得
，解之，得
．
故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．
点评：
产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：
（1）“二合一”问题：
如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即
；
（2）“三合一”问题：
如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：
．
四、行程问题
例4 在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则
，整理，得
，解得
，
因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．
点评：
“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：
“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；
“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．
五、货运问题
典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？
分析：
“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则
，整理，得
，解得
，
因此，甲、乙两重货物应各装150吨．
点评：
由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．
六、工程问题
例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的
；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？
要求的期限是几天？
分析：
设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得
，解得
.
点评：
工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．
七、实际问题
例7（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：
中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？
解析：
设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得
解得，
故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.
例2（2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：
销售方式
直接销售
粗加工后销售
精加工后销售
每吨获利（元）
100
250
450
现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．
（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：
销售方式
全部直接销售
全部粗加工后销售
尽量精加工，剩余部分直接销售
获利（元）
（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？
解：
（1）全部直接销售获利为：
100×140=14000（元）；全部粗加工后销售获利为：
250×140=35000（元）；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：
450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.
（2）设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.
由题意，得
解得，
故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工
三、模拟演练
1、（分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？
解：
设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为y人
题中的两个相等关系：
1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数
可列方程为：
x-9=
2、抽5人后到甲工厂的人数=可列方程为：
2、（金融分配问题）小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的邮票各买了多小？
解；设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票
题中的两个相等关系：
1、10分邮票的枚数+20分邮票的枚数=总枚数
可列方程为：
2、10分邮票的总价+=全部邮票的总价。
可列方程为：
10X+=
3、（做工分配问题）小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时间？
题中的两个相等关系：
1、做4个小狗的时间+=3时42分
可列方程为：
2、+做6个小汽车的时间=3时37分
可列方程为：
4、（行程问题）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
二人的平均速度各是多少？
解：
设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米
题中的两个相等关系：
1、同向而行：
甲的路程=乙的路程+
可列方程为：
2、相向而行：
甲的路程+=
可列方程为：
5、（倍数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加工厂1.1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？
解：
这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人
题中的两个相等关系：
1、现在城镇人口+=现在全市总人口
可列方程为：
2、明年增加后的城镇人口+=明年全市总人口
可列方程为：
（1+0.8％）x+=
6、（分配问题）某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？
解：
设幼儿园有x个小朋友，萍果有y个
题中的两个相等关系：
1、萍果总数=每人分3个+可列方程为：
2、萍果总数=可列方程为：
7、（浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？
解：
设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。
题中的两个相等关系：
1、含盐10%的盐水中盐的重量+含盐85%的盐水中盐的重量=
可列方程为：
10%x+=
2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量=
可列方程为：
x+y=
8、（金融分配问题）需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？
解：
设每千克售4.2元的糖果为x千克，每千克售3.4元的糖果为y千克
题中的两个相等关系：
1、每千克售4.2元的糖果销售总价+=
可列方程为：
2、每千克售4.2元的糖果重量+=
可列方程为：
9、（几何分配问题）如图：
用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？
解：
设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米
题中的两个相等关系：
1、小长方形的长+=大长方形可列方程为：
2、小长方形的长=
可列方程为：
10、（材料分配问题）一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？
解：
设有
题中的两个相等关系：
1、制作桌面的木材+=
可列方程为：
2、所有桌面的总数：
所有桌脚的总数=
可列方程为：
11、（和差倍问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
解：
设个位数字为x，十位数字为y。
题中的两个相等关系：
1、个位数字=-5
可列方程为：
2、新两位数=
可列方程为：
12、（分配调运）一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示，现租用该公司5辆甲种货车和6辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问这批货物有多少吨？
解：
设
题中的两个相等关系：
1、第一次：
甲货车运的货物重量+=36
可列方程为：
2、第二次：
甲货车运的货物重量+=26
可列方程为：
中考演练
一、选择题
1.（2011•宁夏，4，3分）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x，十位数字为y，所列方程组正确的是（ ）
A、
B、
C、
D
2.（2011•台湾9，4分）在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系（ ）
A、
B、
C、
D、
3.（2011台湾，30，4分）某鞋店有甲．乙两款鞋各30双，甲鞋一双200元，乙鞋一双50元．该店促销的方式：
买一双甲鞋，送一双乙鞋；只买乙鞋没有任何优惠．若打烊后得知，此两款鞋共卖得1800元，还剩甲鞋x双．乙鞋y双，则依题意可列出下列哪一个方程式？
（ ）
A．200（30－x）＋50（30－y）＝1800B．200（30－x）＋50（30－x－y）＝1800
C．200（30－x）＋50（60－x－y）＝1800D．200（30－x）＋50[30－（30－x）－y]＝1800
4.（2011台湾，31，4分）如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：
3，则AD：
AB＝？
（ ）
A．5：
3B．7：
5C．23：
14D．47：
29
5.（2011新疆乌鲁木齐，4，4）甲仓库乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．若设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，则有（ ）
A、
B、
C、
D、
6.（2011泰安，11，3分）某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲．乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种各买多少件？
该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（2011年四川省绵阳市，9，3分）灾后重建，四川从悲壮走向豪迈．灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包．请问这次采购派男女村民各多少人？
（ ）
A、男村民3人，女村民12人B、男村民5人，女村民10人
C、男村民6人，女村民9人D、男村民7人，女村民8人
8.（2011四川泸州，6，2分）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（ ）
A.10g，40gB.15g，35gC.20g，30gD.30g，20g
9.（2011•恩施州10,3分）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻
12：
00
13：
00
14：
30
碑上的数
是一个两位数，数字之和为6
十位与个位数字与12：
00时所看到的正好颠倒了
比12：
00时看到的两位数中间多了个0
则12：
00时看到的两位数是（ ）
A、24B、42C、51D、15
二、填空题
1.（2011黑龙江鸡西，18，3分）某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有种购买方案.
2.（2010重庆，16，4分）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成．乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成．丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵．
3.（2011黑龙江省黑河，9，3分）某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，
有几种购买方案．
4.（2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，12，3分）西周戎生青铜编钟是由八个大小不同的小编钟组成，其中最大编钟高度比最小编钟高度的3倍少5cm，且它们的高度相差37cm.则最大编钟的高度是cm.
5.（2011湖北潜江，12，3分）西周戎生青铜编钟是由八个大小不同的小编钟组成，其中最大编钟高度比最小编钟高度的3倍少5cm，且它们的高度相差37cm．则最大编钟的高度是 cm．
三、解答题
1.（2011四川省宜宾市，20，7分）某县为鼓励失地农民自主创业，在2010年对60位自主创业的失地农民自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：
失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：
该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？
2.（2011盐城，26，10分）利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？
每天的最大利润是多少？
3.（2011江苏扬州，24，10分）古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成。
A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天。
（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x,y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
甲：
x表示，y表示；
乙：
x表示，y表示；
（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米？
（写出完整的解答过程）
4.（2011江苏镇江常州，26，7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：
甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
t
1
2
3
y2
21
44
69
（1）求a．b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
是□否□（说明：
毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）
创业首先要有“风险意识”，要能承受住风险和失败。
还要有责任感，要对公司、员工、投资者负责。
务实精神也必不可少，必须踏实做事；5.（2011江苏镇江常州，26，7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：
甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。
盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：
如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。
t
当然，在竞争日益激烈的现代社会中，创业是件相当困难的事。
我们认为，在实行我们的创业计划之前，我们首先要了解竞争对手，吸取别人的经验教训，制订相应竞争的策略。
我相信只要我们的小店有自己独到的风格，价格优惠，服务热情周到，就一定能取得大多女孩的信任和喜爱。
1
（一）对“漂亮女生”饰品店的分析2
大学生对手工艺制作兴趣的调研3
手工艺品，它运用不同的材料，通过不同的方式，经过自己亲手动手制作。
看着自己亲自完成的作品时，感觉很不同哦。
不论是01年的丝带编织风铃，02年的管织幸运星，03年的十字绣，04年的星座手链，还是今年风靡一时的针织围巾等这些手工艺品都是陪伴女生长大的象征。
为此，这些多样化的作品制作对我们这一创业项目的今后的操作具有很大的启发作用。
y2
21
据调查统计，有近94%的人喜欢亲戚朋友送给自己一件手工艺品。
无论是送人，个人兴趣，装饰还是想学手艺，DIY手工制作都能满足你的需求。
下表反映了同学们购买手工艺制品的目的。
如图（1-4）44
营销环境信息收集索引69
（二）大学生对DIY手工艺品消费态度分析
（1）求a．b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量
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