全国卷2文科数学试题与答案解析.docx
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全国卷2文科数学试题与答案解析
====
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
学@科网
1
．i2
3i
A．32i
B．32i
C．32i
D．32i
2
．已知集合A
1,3,5,7，B2,3,4,5
，则A
B
A．
3
B．5
C．
3,5
D．1,2,3,4,5,7
ex
ex
3
．函数
fx
x
2的图像大致为
4
．已知向量a，b
满足|a|1，ab
1，则a（2ab）
A．4
B．3
C．2
D．0
5
．从2名男同学和
3名女同学中任选
2人参加社区服务，则选中的
2人都是女同学的概率为
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
6．双曲线x2y2
a2b21（a0,b0）的离心率为3，则其渐近线方程为
A．y2x
B．y
3x
C．y
2x
D．y
3x
2
2
7．在△ABC中，cosC
5，BC
1，AC
5，则AB
2
5
A．42
B．30
C．29
D．25
.资料
======
====
8．为计算S11
1
1
1
1，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
2
3
4
99
100
开始
N0,T0
i1
是否
i100
NN
1
SNT
i
TT
1
输出S
i
1
结束
A．i
i
1
B．ii
2
C．i
i
3
D．i
i
4
9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为
A．
2
B．
3
C．
5
D．
7
2
2
2
2
10．若f（x）
cosx
sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是
A．
π
π
C．
3π
D．π
B．
4
2
4
11．已知F1
，F2是椭圆C的两个焦点，
P是C上的一点，若PF1
PF2，且PF2F1
60，则C的离心率
为
A．1
3
B．23
C．
3
1
D．31
2
2
12．已知
f（x）
是定义域为（
）的奇函数，满足f（1x）
f（1x）．若f
（1）
，2则
f
（1）f
（2）f
（f（50）
A．50
B．0
C．2
D．50
二、填空题：
本题共
4小题，每小题
5分，共
20分。
13．曲线y2lnx在点（1,0）处的切线方程为__________．
x
2y
5≥0,
的最大值为__________．
14．若
满足约束条件
2y
≥
则
x,y
x
30,
zxy
x
5≤0,
5π
1，则tanα__________．
15．已知tan（α
）
4
5
16．已知圆锥的顶点为
，母线
，
互相垂直，
与圆锥底面所成角为
，若
的面积为
，则
S
SA
SB
SA
30
△SAB
8
.资料
======
====
该圆锥的体积为__________．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。
第22、23为选考题。
考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a17，S315．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，
建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000
年至2016年的数据（时间变量
t的值依次为1,2,
17）建立模型①：
?
y
30.413.5t；根据2010年
至2016年的数据（时间变量
t的值依次为1,2,
?
7）建立模型②：
y
99
17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？
并说明理由．
19．（12分）
如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点．
.资料
======
====
（1
）证明：
PO
平面ABC；
（2
）若点M在棱BC上，且MC
2MB，求点C到平面POM的距离．
20．（12分）
设抛物线C：
y2
4x的焦点为
F，过F且斜率为k（k
0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
21．（12分）
已知函数fx
1x3ax2
x1．
3
（1）若a3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：
f（x）只有一个零点．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
xOy中，曲线C的参数方程为
2cosθ（,
为参数），直线的参数方程为
x
θ
y
4sinθ
（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2），求l的斜率．
23．[选修4－5：
不等式选讲]（10分）
设函数f（x）5|xa||x2|．
（1）当a1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
.资料
8．
x1tcosα,y2tsinα
======
====
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．A
8．B
9．C
10．C
11．D
12．C
二、填空题
13．y=2x–2
14．9
15．3
16．8π
2
三、解答题
17．解：
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由
（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$
y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
$
y=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一
条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年
.资料
======
====
$
至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变
化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1
亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更
可靠．
以上给出了
2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科
@网
19．解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23
．
连结OB．因为ABBC2
==AC
ABC
OBACOB1
AC=2．
2
，所以△
为等腰直角三角形，且
⊥，
=2
由
OP2OB2PB2知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由
（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知
=1AC=2，=
2BC
4
2，∠=45°．
所以OM=2
OC2
CM
3
=
3
ACB
5，CH=OC
MCsin
ACB=4
5．
3
OM
5
所以点C到平面POM的距离为4
5．
5
20．解：
（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）
（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．
.资料
======
====
y
k（x
1）
由
4x
得k2x2
（2k2
4）xk2
0．
y2
16k2
160，故x1
x22k2
24．
k
所以ABAF
BF（x11）（x2
1）4k2
24．
2
k
由题设知4k
48，解得k=–1（舍去），k=1．
k2
因此
的方程为
=–1．
l
yx
（2）由
（1）得
AB的中点坐标为（
3，2），所以AB的垂直平分线方程为
y2（x3），即yx5．
设所求圆的圆心坐标为（x，y），则
00
y0
x0
5，
x0
，
x0
，
2
3
11
解得
或
1）2
（x
（y0x01）16.
y0
2
y0
6.
0
2
因此所求圆的方程为
（x3）2（y2）216或（x11）2（y6）2144．
21．解：
1
3
2
（1）当a=3时，f（x）=x
3x
3
令f′（x）=0解得x=3
23或x=323．
2
3x3，f′（x）=x6x3．
当
∈（∞，
）∪（
，+∞）时，′（
）>0；
x
–323
323
f
x
当x∈（323，323）时，f′（x）<0．
故f（x）在（–∞，3
2
3），（3
2
3，+∞）单调递增，在（
3
23，32
3）单调递减．
（2）由于
2
，所以f（x）
0等价于
x3
3a
0．
x2
x
x1
0
x1
设g（x）
x3
，则g
′（x）
x2（x2
2x
3）≥，仅当
x
时g′（x）
，所以g（x）在
=x
2
x1
3a
=
（x2
x1）2
0
=0
=0
（∞，+∞）单调递增．故
（）至多有一个零点，从而
（）至多有一个零点．学·科网
–
gx
f
x
又f（3a–1）=
6a2
2a
1
6（a
1）2
1
0，f（3a+1）=
1
0，故f（x）有一个零点．
3
6
6
3
综上，f（x）只有一个零点．
.资料
======
====
22．解：
x2
y2
1．
（1）曲线C的直角坐标方程为
16
4
当cos
0时，l的直角坐标方程为
y
tanx2tan，
当cos
0时，l的直角坐标方程为
x
1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
（13cos2）t24（2cossin）t80．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20．
又由①得t
4（2cos
sin）
t
2
，故
2cossin
0
，于是直线
l
的斜率
ktan
2
．
12
13cos
23．解：
（1）当a
1时，
2x
4,x
1,
f（x）
2,
1
x2,
2x
6,x
2.
可得f（x）0的解集为{x|2x3}．
（2）f（x）1等价于|xa||x2|4．
而|xa||x2||a2|，且当x2时等号成立．故f（x）1等价于|a2|4．
由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范围是（,6][2,）．
.资料
======
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