华东师大版八年级上册第13章《全等三角形》综合测试无答案语文.docx

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华东师大版八年级上册第13章《全等三角形》综合测试无答案语文

第13章《全等三角形》综合测试

（一）

一、选择（每小题3分，共24分）

1．下列说法中正确的是（　　）

A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理

C.真命题的逆命题是真命题D.假命题的逆命题是假命题

分析：

A、每个命题都有逆命题是正确的；

B、每个定理不一定有逆定理，如对顶角相等没有逆定理，故选项错误；

C、真命题的逆命题不一定是真命题，如对顶角相等的逆命题不是真命题，故选项错误；

D、假命题的逆命题不一定是假命题，如相等的角是对顶角的逆命题是真命题，故选项错误．

故选A．

2．下列选项中，可以用来证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是（　　）

A.a＝2B.a＝1C.a＝0D.a＝﹣1

分析：

当a＝﹣1时，满足|a﹣1|＞1，但满足a＞2，所以a＝﹣1可作为证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例．

故选D．

3．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

分析：

要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C.

4．如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，以大于

AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点P、M，连结PA、PB、MA、MB，则下列结论一定正确的是（　　）

A.PA＝MAB.MA＝PEC.PE＝BED.PA＝PB

分析：

由题意可知：

PD是线段AB的垂直平分线，所以PA＝PB，故选D．

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，BC＝10，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E、D，则DE的长为（　　）

A.14B.16C.18D.20

分析：

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6BC＝10根据勾股定理，得AB＝8，

∵DE∥BC，

∴∠E＝∠EBC．

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠EBC，

∴∠E＝∠ABE，

∴AB＝AE．

同理可得：

AD＝AC，

∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝14．

故选A.

6．如图，已知△ABC，∠ABC＝2∠C，以B为圆心任意长为半径作弧，交BA、BC于点E、F，分别以E、F为圆心，以大于

EF的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点，则下列说法不正确的是（　　）

A.∠ADB＝∠ABCB.AB＝BD

C.AC＝AD+BDD.∠ABD＝∠BCD

分析：

由题意可得BD平分∠ABC，

A、∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝

∠ABC，

∵∠ABC＝2∠C，∠ADB＝∠C+∠DBC，

∴∠ADB＝2∠C，

∴∠ADB＝∠ABC，故A不合题意；

B、∵∠A≠∠ADB，

∴AB≠BD，故此选项符合题意；

C、∵∠DBC＝

∠ABC，∠ABC＝2∠C，

∴∠DBC＝∠C，

∴DC＝BD，

∵AC＝AD+DC，

∴AC＝AD+BD，故此选项不合题意；

D、∵∠ABD＝

∠ABC，∠ABC＝2∠C，

∴∠ABD＝∠C，故此选项不合题意；

故选：

B．

7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB＝a，CD＝m，则AC的长为（　　）

A.2mB.a﹣mC.aD.a+m

分析：

∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，

∴CD＝DE，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC＝AE，

∵∠B＝45°，DE⊥AB，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴BE＝DE＝m，

∵AE＝AB﹣BE＝a﹣m，

∴AC＝a﹣m．

故选B．

8．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

A.

B.

C.

D.不能确定

分析：

过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，

∴AP＝PF＝AF，

∵PE⊥AC，

∴AE＝EF，

∵AP＝PF，AP＝CQ，

∴PF＝CQ．

∵在△PFD和△QCD中，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD＝CD，

∵AE＝EF，

∴EF+FD＝AE+CD，

∴AE+CD＝DE＝

AC，

∵AC＝1，

∴DE＝

．

故选：

B．

二、填空（每小题3分，共24分）

9．把“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式：

　　．

分析：

根据如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论，得“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”．

故答案为在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．

10．已知命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形是旋转对称图形．”，写出它的逆命题是　　．

分析：

将原命题的题设与结论互换位置，就可以得到它的逆命题，即“如果一个四边形是旋转对称图形，那么这个四边形是平行四边形”．

故答案为：

如果一个四边形是旋转对称图形，那么这个四边形是平行四边形，真．

11．如图，AB∥CD，AB＝CD，E，F是BD上的两点，要使△ABE≌△CDF（不再添加新的线段和字母），需添加的一个条件是　　（只写一个条件即可）．

分析：

如图，AB∥CD，AB＝CD，E，F是BD上的两点，要使△ABE≌△CDF（不再添加新的线段和字母），需添加的一个条件是BE＝DF或∠A＝∠C或∠AEB＝∠CFD．

故答案为：

BE＝DF或∠A＝∠C或∠AEB＝∠CFD．

12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝　　度．

分析：

∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E

∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，

又∵∠BFD＝∠AFE（对顶角相等）

∴∠EAF＝∠DBF，

在Rt△ADC和Rt△BDF中，

∴△ADC≌△BDF（AAS），

∴BD＝AD，

即∠ABC＝∠BAD＝45°．

故答案为：

45．

13．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E、F，连结AF，BE相交于点P，若AE＝CF，则∠APB的度数为　　．

分析：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝CA，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（SAS），

∴∠ABE＝∠ACF，

∴∠BPF＝∠ABE+∠BAP＝∠ACF+∠BAP＝∠BAC＝60°，

∴∠APB＝120°．故答案为：

120°．

14．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于

EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD＝120°，则∠MAB的度数为　　．

分析：

∵AB∥CD，

∴∠ACD+∠CAB＝180°，

又∵∠ACD＝120°，

∴∠CAB＝60°，

由作法知，AM是∠CAB的平分线，

∴∠MAB＝

∠CAB＝30°．

故答案为：

30°．

15．如图，△ABC的面积为4cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于P，则△PBC的面积

为　　cm2．

分析：

如图，延长AP交BC于D，

∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，

∴AP＝PD，

∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP，

∴△PBC的面积＝S△DBP+S△DCP＝

S△ABC＝

×4＝2cm2．

故答案为：

2．

16．如图，已知：

∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　．

分析：

如图，连结CD，BD，

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，

∴AE＝AF，

∵DG是BC的垂直平分线，

∴CD＝BD，

在Rt△CDF和Rt△BDE中，

∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），

∴BE＝CF，

∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，

∵AB＝6，AC＝3，

∴BE＝1.5．

故答案为：

1.5．

三、解答（6个小题，共52分）

17．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．

（1）求证：

AB=CD．

（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．

分析：

（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；

（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．

证明：

（1）∵AB∥CD，

∴∠B=∠C，

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AB=CD；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴AB=CD，BE=CF，

∵AB=CF，∠B=30°，

∴AB=BE，

∴△ABE是等腰三角形，

∴∠D=．

18．如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．

分析：

根据等腰三角形的性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角，故

（1）把75°的角分成25°的角和50°的角，则25°和25°的底角组成一个等腰三角形，另外一个三角形是两底角为50°的等腰三角形；

（2）把120°的角分成80°和40°的角，则40°与40°的底角组成一个等腰三角形，另外一个三角形有两个角都是80°．

解：

如图1：

直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；

如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．

19．如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE＝EF＝FC的道理．

分析：

先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和线段之间的等量关系：

∠OBC＝∠OCB＝30°，OE＝BE，OF＝FC；再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出∠OEF＝60°，∠OFE＝60°．从而判定△OEF是等边三角形即OE＝OF＝EF，通过线段的等量代换求证即可．

解：

连结OE，OF则在等边三角形ABC中．

∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，

∴∠OBC＝∠OCB＝30°，OE＝BE，OF＝FC．

∴∠OEF＝60°，∠OFE＝60°．

∴OE＝OF＝EF．

∴BE＝EF＝FC．

20．如图，已知∠AOB＝40°，P为OB上的一点，在∠AOB内，求作一个以OP为底边，底角为20°的等腰三角形OCP（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）．

分析：

根据角平分线的性质作出∠AOB的平分线，进而作出OP的垂直平分线，得出即可；

解：

如图所示：

作线段OP的中垂线EF和∠AOB的平分线，交点就是点C；

21．

（1）问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：

①∠AEB的度数为　　；②线段AD，BE之间的数量关系为　　．

（2）拓展探究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

分析：

（1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；

（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，进而可以求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题．

解：

（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，

∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，

理由：

如图2，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵点A、D、E在同一直线上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM，

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

22．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．

（1）求证：

BE＝CF；

（2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连结MC，交AD于点N，连结ME．

求证：

①ME⊥BC；②DE＝DN．

分析：

（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝45°，再求出∠ACF＝45°，从而得到∠B＝∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE＝∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE＝BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝HE，然后求出HE＝HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；

②求出∠CAE＝∠CEA＝67.5°，根据等角对等边可得AC＝CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM＝∠ECM＝22.5°，从而求出∠DAE＝∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解：

（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵FC⊥BC，

∴∠BCF＝90°，

∴∠ACF＝90°﹣45°＝45°，

∴∠B＝∠ACF，

∵∠BAC＝90°，FA⊥AE，

∴∠BAE+∠CAE＝90°，

∠CAF+∠CAE＝90°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE＝CF；

（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，

∴HE＝BH，∠BEH＝45°，

∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，

∴DE＝HE，

∴DE＝BH＝HE，

∵BM＝2DE，

∴HE＝HM，

∴△HEM是等腰直角三角形，

∴∠MEH＝45°，

∴∠BEM＝45°+45°＝90°，

∴ME⊥BC；

②由题意得，∠CAE＝45°+

×45°＝67.5°，

∴∠CEA＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，

∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°，

∴AC＝CE，

在Rt△ACM和Rt△ECM中

∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），

∴∠ACM＝∠ECM＝

×45°＝22.5°，

又∵∠DAE＝

×45°＝22.5°，

∴∠DAE＝∠ECM，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD＝CD＝

BC，

在△ADE和△CDN中，

∴△ADE≌△CDN（ASA），

∴DE＝DN．