专题一集合简易逻辑与不等式.docx

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专题一集合简易逻辑与不等式

第1专题集合、简易逻辑与不等式

高考预测

1.集合与简易逻辑的热点是集合的关系判断及集合的运算、充要关系的判断、复合命题真假的判断.高考在考查逻辑问题时很少正面单独考查，往往是与其他知识交汇考查.

近年考试题型为选择题，以集合相等、求交集、并集题型居多，也可能加上充要关系的判断.

2.对不等式的考查主要从几个方面进行：

（1）以选择、填空题形式考查不等式的性质、不等式的解法、基本不等式与指数函数、对数函数、三角函数的综合应

用.

⑵不等式的证明是高中数学重要的数学内容，由于它的

证明方法灵活多变，题源广泛，所以成为高考的热点之

1.高考中不等式多与三角、函数、数列、立体几何、解析几何、导数等相互结合，解决最优化或参数取值范围讨论等问题，体现不等式的工具性，往往作为压轴题目.

考题回放

1.［2009年•全国II］设集合A={x\x>3},B={x\XZ1v0}，

x—4

则ARB等于（）

（A）0.（B）（3,4）.（C）（-2,l）.（D）（4,+

【解析】AAB={xlx>3}n{xll

嗒案］B

2.［2010年・浙江］已知a、方是实数，则“a>0且方>0”是“+方>0且血>0”的（）

（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.

（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件.

【解析】严。

严>。

［b>0\ab>0.

嗒案］C

3・[2011年・天津]设0@）2的解集中的整数恰有3个，贝！

）（）

（A）—1<«<0•（B）O

【解析】原不等式变形为[（a+l）x-b]・[（a-l）x+b]<0,

・・・a+1>0且不等式解集中的整数恰有3个,

/.a-1>0,即a>l・

・•・不等式的解集为{xlx-—

（i—Xa+1

.-3<--2z即2（a-l）<^<3（a・1）.

a-1

\9b

4.［2009年・北京］设A是整数集的一个非空子集.对于

kWA,如果氐一1執且k-\-HAf那么E是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中，不含"孤立元”的集合共有个.

【解析】符合题意的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个・

［答案］6

5.［2009年江西］设函数/⑴

⑴求函数心）的单调区间；

（2）若求不等式/©）+狀1一兀）/仗）>0的解集.

11r-1

【解析】（l）f\x）=-^x+-e=-^exXXXfi/r（x）=O/ftr=l.

•••当XO时ffW<0；当01时zfr（x）>0f

Rd）的单调增区间是［1，+«））；

x—1+kx—kx2T

单调减区间是（・“o），（04）•⑵Sf（x）+k（l-x）f（x）=

（兀一1）（—Zlt+1）x

=ex>0，

得（兀-l）（kx-1）<0・

•；当OvA：

vl时,解集是｛l＜rv—｝；当花=1时,解集是0；当花＞1时,解集是｛划；＜xvl｝・

专题训练

_、选择题1

1.设。

=10场2,b=log23,c=logi贝!

I”、b、c的大小

关系是（）1

（A）a

【解析】a=log32log23=b>lr

J.a

［答案］A

2.已知a>方且a+bvO,则下列不等式成立的是（）

aaaa

（A）->1.（B）->1.（C）-<1.（D）-<1.

bbbb

【解析】由a+〃v0,得-b^jb

3.若命题p的逆命题是彳，命题p的否命题是尸，则命题?

是命题啲（）

（A）逆命题.（B）否命题.（C）逆否命题.（D）本身.

【解析】命题P为“若肌,则〃”,命题彳为“若〃,则加”,命题尸为“若非加,则非,则命题彳是命题厂的逆否命题.

0答臬知*^M={yly=A：

2-1,xGR},P={x\y=\[3^?

fx£R},则MQP等于（）

（A）{（-边，1）,e1）}.（B）b|10WR}.

（C）{r|-10W中}.（D*|OW/WM}.

【解析】集合M为函数y=x2~l的值域，•故A/=[-l,+8）,而集合P是函数丿=保？

的定义域，因此p=[—曲,曲],・・・Mrip=bl・W寸5}

[答案]C

已知集合M={xlj=lg（—x2+3x—2）},N={m\（x2—x

【解析】A

-x2+3x-2>0r解得l

AM={xll

由（*2-X+4）/w<（x2-X+4）af可得加vaf.•・冲={附1观<«}・又M是N的真子集,:

.a>2.

[答案]C

6.不等式y=x（l—3x）（0

^A^243*3）巨.©乔.（D）元.

【解析】j=x（l—3x）=|x3x（l—3x）^|3X+^3X2=吉

（1）

当且仅当3x=l—3x,x=^e|O,引时，等号成立.

［答案］B

7.设M、N是两个集合，定义M^N={x\x^M且

MN}.^M={y\y=log2009（-x2-2x+2008）},N={y\y=,

xe[0,9]},则MN等于（）

（C）（—oo,0].

（D）（—oo,0）.

（A）[0，l]・（B）（-oo,0）U（l，3]・

【解析】y=log2009（-x2-2x+2008）=log2009[-（x+l）2+2009]e（-00f1].

由N={yly二石，兀丘[0,9]},得y=J7曰0,3],结合定义得=（-（X）,0）.

[答案]D

1=1

8.对于使一x2+2x

1,则一——的上确界为（

（D）p

（B）4.

lab

（A）|.（B）4.（C）|

■s丄严...1I21,2.5.b.2a.5.9

【解析】・石+产阮+評+〃）=尹£+万乞+2=刁

129

即一龙一方的上确界为一十

9.命®^若a、贝11“kd+l勿>亡是a\a+b\>V^充分而不必要条件；命题牛函数円|兀_11_2的定义域是（—go,—1]U[3,+oo）.贝！

|（）

（A）》或旷为假.

（B）》且旷为真.

（C）p真g假.

（D）p假g真.

【解析】Vial+\b\>\a+b\t:

.由la+b\>lf可以推得⑷+

\b\>lf即“1创+1方1>1”是a\a+b\>V9ffy必要而不充分条件•故

命题P为假•

Vlx・II-2>0,.\x>3sJ^<-1・故命题g为真・

10.已知实数°、b、c满足：

avO,a—方+c>0,则一定

有（）

（A）方2—4«c>0・

（B）^2-4«c>0.

（C）b2—4ac<0.

（D）方2—4acv0.

【解析】令Zd）=

=ax2+bx+cr•/a<0,f（-1）=a-b+

c>0函数f（r）=ax1+bx+c的图象是开口向下且在x轴上方有图象的抛物线,即函数沧）=«x2+bx+c的图象与兀轴有两个不同的交点f因lttA=b2-4ac>0•

11.若二次函数满足/（2+x）=/（2-x）,且

（C）0<«<4.

（D）dSO或必4.

/@）9（0）彳

（1），则实数。

的取值范围是（

）

（A）a>0•

（B）a<0.

【解析】a/（x）wEf（2+X）=/（2-X）,则其图象的对称轴为"2,则/（0）*（4）・

由/（0）彳

（1）知二次函数的图象开口向下,画出简图,可知/⑷9（0）的"的取值范圉是或・

12.定义运算［:

b}（x\（ax+by

d）\y）\cx+dy）

其几何意义为把平面

r-Aab

上的点（4刃在了

\c〃丿

的作用下变换成点（ax-\-by,cx+Jy）,若

曲线x2+4xj+2/=1在［：

丁作用下变换成曲线x2-2y2=lf

则"，方的值分别为（

）

（A）a=2,b=0.

（B）a=l,b=l.

它在

【解析】设（兀，刃为曲线x2+4xy+2y2=l上任意一点,

作用下变换成点（x+aj,bx-^y）9则变换后的点在

曲线x2-2j2=1±,故（x+«j）2-2（^x+j）2=1,

化简得（1—2b2）x2+（2a—4b）xy+（a2—2）y2=1,

1・2庆=1,所以《2a-4b=4,

a2-2=29

解得

4=2,b=Q.

二、填空题

13.若不等^x2—ax—b<0的解集为{兀I20的解集为.

【解析】T不等式以・ax-方vO的解集为{兀I2

・•・2,3是方廖2-ax.b=0的两个根,/.«=2+3=5,-Z»=2X3=6,b

不等式W+ax-1>0可化为-6x2+5x-1>0,

解得

32J

14.设函数心）=严2节仝"贝U使得/⑴刃的自变

I4—Jx—1，xMl，

量兀的取值范围是

【解析】当无vl时f/（x）=（x+1）2>1f解彳舱0此-2,EPx<-2或0仝vl；

当时,/（x）=4-4x-S>lz解得•故使得/仗曰的自变量兀的取值范I■是圧-2或0

［答案］京・2或（0茫10

15.设集合九=｛小剋<6中各元素之和为

【解析】26<7m+1<27,即9svl卡，所以10

［答案］

人6中各元素之和为71+78+-+127=

16.给出下列命题：

1若“p或/是假命题，则“綸且締7'是真命题;

2\x\>\y\^x2>y2；

③若实系数关于x的二次不等式ax2+bx+c0且ASO；

x+y>4,

可>4

x>2,y>2

其中真命题是（填入所有真命题的序号）.

【解析】•・•》或/是假命题…・・p、g均为假命题,因此儡且摘”是真命题,即①是真命题;

显然②也是真命题；③错,因为a>0且A=0时,不等式

aQ+bx+cWO的解集为{xlx=-

"叮绻成立"

xy>4

三、解答题

17・已知集合S={x\x=a+b\[5,bEZ}.

（2）求证：

1一祈在集合S中没有倒数;

£},不为空集；④错,Jx>2.

*>2不成立■

当鳥叫

［答案］①②

（3）求证：

a+b躬在集合S中有倒数的条件是

2—5沪=±1.

【解析】

（1）

3+书—（3+侗（3裁）

GS,

3+书（3+书）（1+书）匠匚Q

1卡一（1卡）（1+侗一一2-&WS

故1一书在集合S中没有倒数.

（3）当/一5庆=±1时，需书=豐5$=±@_“漏WS.

19.己知全集L7=R,集={x\x2+（a-l）x-«>0},B

={xl（x+a）（x+^）>0,a^b}9M={xlx2—2x—3<0}.

（1）若皿=M,求a,方的值;

（2）若一l

【解析】A={x\（x+a）（x-1）>0}，［声=［x\（x+a）（x+

^）<0ra^b}rM={x\（x+l）（x-3）<0}•

⑴若［声=Mf则（x+a）（x+b）=（x+l）（x-3）•

.a=1,b=-35j£«=■3，方=1•

⑵若-l

]■lv■“V■b

•\A={xlx<-«oj£x>l}fB={xlx<■-〃}•

SJADB={xlx<■«°Ex>l}•

⑶若-3v“v-1f则lv-a<3f

AA={xlx-a}f={x\l

再由a2-f得l

a2-2^0,

即2+炉100,

20•如图是函数y=（-尸和丿=3兀2图象的一部分，其中

X=Xj>X2（—1

⑴给出如下两个命题:

①当兀时，（丄）x<3x2；

②当兀>兀2时，（£）X<3x2,

试判定命题①②的真假并说明理由.

（2）求证：

x2G（0,1）.

【解析】

（1）命题①是假命题，可以举反例:

-iof

（-）"<3兀2不成立；

=6x+（

命题②是真命题/构造函数广（兀）=3x2-（尸f

f（x）=6x-（

・••当x丘［0,+oo）时,/（x）>0,

.函数/仗）=3x2-（^尸在［0,+oo）上是増函数,

.当兀>兀2时rf（X）>f（X2）=0,即/仗）>0,

••（—y<3x2•

•（ro）UJh-:

・Q«@・1£麒gEaefH一凶ttloH（x）>・

議»E（ro）@凶ttioH（耳）J-:

、OA|Ha）J、OVI;（ovliu

21.已知函数f（x）=——+—（x>0）.ax

⑴判断/⑴在（0，+s）上的增减性，并证明你的结论;

（2）解关于兀的不等式/⑴>0;

（3）若/仗）+2x20在（0,+oo）上恒成立，求“的取值范围.

【解析】（1#（无）在（0，+8）上为减函数f设O

一

U无］（LX

>0z2

22（兀2—小）

则几勺）■/（兀2）=（-

•'XlX2

•V（x）S（o,+a）上为减函数•

•TAl喩ov强建■寸WT轻、菽flwfig（十+涪・・・

•梢整老zr（g+•0）炮OAIK+（X）谊（E）

-・Eov^a

■（w«n«z1802黑建gw®K・0A（K;）xgw»K・eova®

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•0vxu・（KIssXbHs

、oy+l和@、OA-I+TK

22.二次函数/（x）=px2+^x+r中实数p、q、丫满足诂

為+A°'其中心°・

⑴试判断朋爲）的正负；

（2）求证：

方程/（*）=（）在（0,1）内恒有解.

【解析】⑴畑爲讥爲+爲+川

fP［曲严和+刁=加卩［曲厂急］

_2加?

+2加■（加+1）2__mp2

~mP（/w+l）2（m+2）—（jw+1）2（jm+2）<，

・•・"（爲）是负数•

Jfl

（2）（i）当P>°时，/（应）vO,X/（0）=r.

1假设尸>0,即/（O）>O,则冷）=0在（0,荷）内有解,故在（0,1）内有解.

2假设/W0，由于/（l）=p+g+r

ffl

即/（x）=0在（齐J，1）内有解，故在（0,1）内有解.

（ii）当pvO时，/（而）>0.

1假设Y0,即/（0）<0,

则/（x）=0在（0,石石）内有解，

故在（0,1）内有解.

2假设厂$0,/

（1）=卩+?

+厂=禽？

—令yo,即沧）=0在（应，1）内有解，故在（0,1）内有解.

综上，方程沧）=0在（0，1）内恒有解•

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