同济大学高等数学考试题.docx
《同济大学高等数学考试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学高等数学考试题.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
同济大学高等数学考试题
同济大学高等数学考试题
高等数学（上）期中考试试卷1
（答卷时间为120分钟）
一.选择题（每小题4分）
1.以下条件中（）不是函数f（x）在x0处连续的充分条件.
（A）limf（x）,limf（x0）（B）limf（x）,f（x0）xx0，0xx00xx0
（C）f,（x0）存在（D）f（x）在x0可微
2.以下条件中（）是函数f（x）在x0处有导数的必要且充分条件.（A）f（x）在x0处连续（B）f（x）在x0处可微分
f（x0，x）f（x0x）limf,（x）存在（D）存在（C）limx0xx0
x1的（）间断点.3.x,1是函数f（x）,sinx（A）可去（B）跳跃（C）无穷（D）振荡
4.设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续并在开区间（a,b）内可导，如果在（a,b）内
）.f,（x）,0，那么必有（
（A）在[a,b]上f（x）,0[a,b]上f（x）单调增加（B）在
（C）在[a,b]上f（x）单调减少（D）在[a,b]上f（x）是凸的5.设函数
）.f（x）,（x23x，2）sinx，则方程f,（x）,0在（0,）内根的个数为（（A）0个（B）至多1个（C）2个（D）至少3个
二.求下列极限（每题5分）
lnb（1，ax）ax，bsinx（a,0）.（c,0）.1.lim2.limx0xsinaxcx，dcosx
1asinxx24.lim.3.limex1x（a,0）.xx0x
三.求下列函数的导数（每题6分）
x1.y,lntancosxln（tanx,求）y,.2
2.设F（x）是可导的单调函数，满足F,（x）,0，F（0）,0.方程
F（xy）,F（x），F（y）
dy确定了隐函数y,y（x），求.dxx,0
d2y,,x,ln1，t2确定的函数，求.3.设y,y（x）是参数方程,dx2,;y,arctant
x,0,ln（x，e）（a,0），问a取何值时f,（0）存在,.4.设函数f（x）,,xx,0;axe四.（8分）证明:
当x,0时有e,x，且仅当x,e时成立等式.五.（8分）假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带
1
球前进，问:
他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角,
46
x
六.（10分）设函数f（x）在区间[a,b]上连续，在区间（a,b）内有二阶导数.如果f（a）,f（b）且存在c（a,b）使得f（c）,f（a），证明在（a,b）内至少有一点,，使得
.f,,（,）,0
七.（10分）已知函数y,f（x）为一指数函数与一幂函数之积，满足:
（1）limf（x）,0，limf（x）,，;x，x
（2）y,f（x）在（,，）内的图形只有一条水平切线与一个拐点.试写出f（x）的表达式.
高等数学（上）期中考试试卷2
（答卷时间为120分钟）
一.填空题（每小题4分）
x,0,,（1sin1xx）在x,0连续，则a,.1.已知函数f（x）,,
x,0,;a
12.x,0是函数f（x）,的间断点.（可去.跳跃.无穷.振荡）1ex，1f（x03,）f（x0）,.3.若f,（x0）,1，则lim,02,2）.4.函数f（x）,（x3x，2）sinx在（0,）内的驻点的个数为（（A）0个（B）至多1个（C）2个（D）至少3个
5.设a,0，若limax2，bx，c，dx,e，则a与d的关系是.x，
二.计算题（每题6分）
11,
.1.求lim,x0,ln（1，x）x,
1
2.求lim，cosx，x2x0
x3.y,lntancosxln（tanx,求）y,.2
2
,x,etcostd2y确定的函数，求4.设y,y（x）是参数方程,dx2,;y,tsinet
sinxcosx5.求dx.，1，sin4x
dx6.求，xx21
三.（8分）证明:
当0,x,时有sinx，tanx,2x.
2
f（x）有二阶导数，且f（0）,0，又满足方程f,（x），f（x）,x，证四.（8分）设函数
明f（0）是极值，并说出它是极大值还是极小值,
mn五.（8分）设a和b是任意两个满足ab,1的正数，试求a，b的最小值（其中常数mn,0）`六.（10分）设函数f（x）在区间[0,1]上可导，且0,f（x）,1，证明,（0,1），
使得f（,）,,;又若f,（x）,1（x（0,1）），证明这样的,是唯一的.
七.（10分）
（1）设（an）n,1是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限liman,n
1nnnn，a，试用夹逼准则证明，，
（2）对上述数列（an）n,1，令xn,a1，a2，n
limxn,liman.nn
3
高等数学（上）期末考试试卷1
（答卷时间为120分钟）
一.填空题（每题4分）
1.函数f（x）在[a,b]上有界是f（x）在[a,b]上可积的条件，函数f（x）
条件.在[a,b]上连续是f（x）在[a,b]上可积的
12.函数y,，它是间断点.的间断点为x=1，tanx
3.当x0时，把以下的无穷小:
x（A）a，a,10,，a;,1（B）xsinx;
（C）1cos4x;（D）ln（1，x）
，，，按x的低阶至高阶重新排列是.（以字母表示）
1,21（n1）,，sin4.limdx=.,,=，0,,sinn，sinn，nnn
15.设函数f（x）在闭区间[0,1]上连续，且f（x）dx,0，则存在x0（0,1），使，0
f（x0），f（1x0）,0.证法如下:
x1令F（x,）f（t）dt，x[0,1]，则F（x）在闭区间[0,1]上连续，在开区间，f（t）dt，，01x
，故根据微分学中的定理知，（0,1）内，且F（0）,，F
（1）,
x0（0,1）使得F,（x0）,f（x0），f（1x0）,0，证毕.
二.计算题（每题6分）
1
cx1.若lim（1，x）,e2，求c的值.x0
y2.设y,y（x）是由方程e，y,sin（xy）确定的隐函数，求y,.x2t2，e，1dt，03.求极限lim.x0ln（1，x6）
lnx4.求dx，x
425.求x）dx.，x（sin，xcos2，dx6.求2，x4x21
x21三.（8分）设f（x）,，etdt，求，f（x）dx10
x四（8分）设函数f（x）在区间[0,1]上连续，且f（x,）1，证明方程2xf（t）dt,1.0，在开区间（0,1）内有且仅有一个根.
12所围成的图形绕直线y,1旋转而成的五.（8分）求由抛物线y,2x与直线x,2立体的体积.
1
2x2，其线密度为，,ky，R（k,R）求六.（8分）设半圆形材料的方程为y,
该材料的质量.
七.（12分）在一高为4的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果
x2，y2,1（单位:
m），问:
椭圆方程为4
（1）液面在y（1,y,1）时，容器内液体的体积V
与y的函数关系是什么,y
（2）如果容器内储满了液体后以每分钟0.16m3的速
度将液体从容器顶端抽出，当液面在y,0时，液面
Ox下降的速度是每分钟多少m,
），抽完全部液体（3）如果液体的比重为1（Nm3
需作多少功,
高等数学（上）期末考试试卷2
（答卷时间为120分钟）
一.填空题（每小题4分）
条件;导数f,（x0）存在是函1.极限limf（x）存在是函数f（x）在x0处连续的xx0
条件.——填入适当的字母即可:
数f（x）在x0处连续的
（B）必要（A）充分
（C）充分且必要（D）既不充分也不必要
f（2h）f（h）2.若f,（0）,1，则lim,.,h3.设f（x）,x（x1）（2x1）（3x1）（nx1），则f,,（x）在（0,1）内有个零点.0
，[1，xf（sinx）]dx,4.设f（x）是[1,1]上连续的偶函数，则.
5.平面过点（1,1,1），（2,2,2）和（1,1,2），则该平面的法向量为.
二.基本题（每小题7分）（须有计算步骤）
2xln（1，t）dt
，01.求极限lim.x01cosx
，42.求定积分xtan2xdx.0y23.设y,y（x）是方程e，etdtx1,0确定的隐函数，证明y,y（x）是单调增加y，
0
函数并求y,x,0.
1u34.求反常积分du.，01u2
2
mn三.（10分）设a和b是任意两个满足a，b,1的正数，试求a,b的最大值（其中常数mn,0）`3四.（10分）一酒杯的容器部分是由曲线y,x（0,x,2，单位:
cm）绕y轴旋转3而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方2cm的嘴中，要做多少功,（饮料的密度为1g/cm）
五.（10分）教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式
xf（sinx）dx,f（sinx）dx.，02，0
如果将上式左端的积分上限换成（2k1）（kZ），则将有怎样的结果,进一步设
kT
f（x）是周期为T的连续的偶函数，，xf（x）dx将有怎样相应的表达式,0
六（10分）设动点M（x,y,z）到xOy面的距离与其到定点（1,1,1）的距离相等，M.
2的轨迹为,.若L是,和柱面2z,y的交线在xOy面上的投影曲线，求L上对应于
1,x,2的一段弧的长度.
x
f0（t）dt，0.（x）是[0,，）上的连续的单调增加函数，函数f（x）,七.（12分）设f01x
（1）如何补充定义f1（x）在x,0的值，使得补充定义后的函数（仍记为f1（x））在[0,，）
上连续,
2）证明（f1（x）,f0（x）（x,0）且f1（x）也是[0,，）上的连续的单调增加函数;
xxxf1（t）dtf2（t）dtfn1（t）dt，，，000，则对任意的（x）,（x）,（x）,，…，fn（3）若f2，f3xxx
x,0，极限limfn（x）存在.n
3
高等数学（下）期中考试试卷1
（答卷时间为120分钟）
一.填空题（每小题6分）
1.有关多元函数的各性质:
（A）连续;（B）可微分;（C）可偏导;（D）各偏导数连续，它们的关系是怎样的,若用记号“X,Y”表示由X可推得Y，则
）,（,（）（.）,,）;（
22，该点处各方向导数中的最2.函数f（x,y）,xxy，y在点（1,1）处的梯度为
大值是.
，平面曲线3.设函数F（x,y）可微，则柱面F（x,y）,0在点（x,y,z）处的法向为
F（x,y,0）在点（x,y）处的切向量为.,z,0;14.设函数f（x,y）连续，则二次积分f（x,y）dy,.，dx，sinx21f（x,y）dx;（A）（B），dy，，dy，0，arcsiny1，arcsinyf（x,y）dx;（C）（D），dy，，dy，0
二.（6分）试就方程F（x,y,z）,0可确定有连续偏导的函数y,y（z,x），正确叙述隐函数存在定理.
三.计算题（每小题8分）
1.设z,z（x,y）是由方程f（xz,yz）,0所确定的隐函数，其中f（u,v）具有连续的偏导数
ffzz且，,0，求，的值.yuvx
2.设二元函数f（u,v）有连续的偏导数，且fu（1,0）,fv（1,0）,1.又函数u,u（x,y）与
x,au，bv22（a，b,0）确定，求复合函数z,f[u（x,y）,v（x,y）]的偏导v,v（x,y）由方程组,;y,aubv
zz数，.xy（x,y）,（a,a）（x,y）,（a,a）
223.已知曲面z,1xy上的点P处的切平面平行于平面2x，2y，z,1，求点P处的切平面
方程.
x34计算二重积分:
x为边界的曲边三，，sinyd,，其中D是以直线y,x，y,2和曲线y,D
角形区域.
22225.求曲线积分（x，y）dx，（xy）dy，L为曲线y,1|1x|沿x从0增大到2的方向.，L
五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”;同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高.证明:
球半径为R高为h的球冠的面积与整
1
个球面面积之比为h:
2R.
六（10分）设线材L的形状为锥面曲线，其方程为:
x,tcost，y,tsint，z,t（0,t,2），
其线密度，（x,y,z）,z，试求L的质量.
22
点的引力.
高等数学（下）期中考试试卷2
（答卷时间为120分钟）
一.简答题（每小题8分）
x
2
t
c
o
s
t
;
xz2.方程xyzlny，e,1在点（0,1,1）的某邻域内可否确定导数连续的隐函数z,z（x,y）或
y,y（z,x）或x,x（y,z）,为什么,
3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路:
x2y2z2设椭球面a2bc
小距离.
3
fx（1,1）.
2u二.（8分）设函数f具有二阶连续的偏导数，u,f（xy,x，y）求.xy
三.（8分）设变量x,y,z满足方程z,f（x,y）及g（x,y,z）,0，其中f与g均具有连续的偏
dy导数，求.dx
xyz,0,在点（0，，）处的切线与法平面的方程.四.（8分）求曲线,2Dy2五.（8分）计算积分），，e
，其中D是顶点分别为（0,0）.（1,1）.（0,1）的三角形区域.dxdy
222）2，（y2）2,9上的最大值和最小值.
22
2x2，y2,1000上的点.
（1）问:
z在点M（x,y）处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率;.2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M使得上述增（
长率最大，请写出该点的坐标.
22
七.（10分）求密度为,的均匀柱体x，y,1，0,z,1，对位于点M（0,0,2）的单位质处的切平面，与平面x，y，z,0平行.
（1）写出曲面,的方程并求出点M的坐标;
2
3,1处的切线方程.1.求曲线,y,3，sin2t在点
z,1，cos3t
，2，2,1与平面Ax，By，Cz，D,0没有交点，求椭球面与平面之间的最4.设函数z,f（x,y）具有二阶连续的偏导数，y,x是f的一条等高线，若fy（1,1）,1，求
11
;xy1,0
六.（8分）求函数z,x，y在圆（x
七.（14分）设一座山的方程为z,10002xy，M（x,y）是山脚z,0即等量线八（14分）设曲面,是双曲线z4y,2（z,0的一支）绕z轴旋转而成，曲面上一点M.
22
（2）若,是,.，和柱面,，1yx围成的立体，求,的体积.
3
高等数学（下）期末考试试卷1
（答卷时间为120分钟）
一.简答题（每小题5分，要求:
简洁.明确）
221.函数z,yx在点（1,1）处沿什么方向有最大的增长率，该增长率为多少,xz2.设函数F（x,y,z,）（z，1）lny，e1，为什么方程F（x,y,z）,0在点M（1,1,0）的某
个邻域内可以确定一个可微的二元函数z,z（x,y）,
233.曲线x,t1,y,t，1,z,t在点P（0,2,1）处的切线方程是什么,
2y24.设平面区域D:
x2，,1（a,0,b,0）,积分，，（ax3，by5，c）dxdy是多少,b2aDnn5.级数的收敛域是什么,2n2，1xn,0,,ex，1,0,x,,），问级6.设函数f（x）,,的傅里叶系数为a0,an,bn（n,1,2,3,
;ex1,,x,0
2，数a0,n1an的和是多少,2
二.计算积分
21.（8分）I,sinxdx，dy，yx2y2,1（y,0）取逆时针方2.（8分）I,（x，y）dx，（yx）dy，L为上半椭圆x2，，b2aL
向.
z,y2,,（0,z,2）绕z轴旋转而成的曲面.三.（12分）设,是由曲线,
;x,0
（1）写出,的方程和,取外侧（即朝着z轴负方向的一侧）的单位法向量;
2）dzdx，（8y，1）zdxdy.
（2）对
（1）中的定向曲面,，求积分I,，,，4（1y
222四.（10分）求微分方程（1，x）y,,xy，xy的通解
x（0,x,）展成正弦级数.五.（10分）把函数f（x,）2
六.应用题
x2y2z21.（10分）求曲面，2，2,1（a,0,b,0,c,0）在第一卦限的切平面，使a2bc
该切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为最小，并写出该四面体的体积.
2.（12分）设,是由曲面z,lnx2，y2与平面z,0,z,1所围成的立体.求:
（1）,的体积V;
（2）,的表面积A.
1
高等数学（下）期末考试试卷2
（答卷时间为120分钟）
一.填空题（每小题4分）
zz1.函数z,f（x,y）的偏导数在区域D内连续是z,f（x,y）在D内可微的与xy
条件.（充分，必要，充要）
2.函数z,f（x,y）在点（x0,y0）处沿l,{cos，,cos,}的方向导数可以用公式
f,fx（x0
升级会员 