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1、同济大学高等数学考试题同济大学高等数学考试题高等数学(上)期中考试试卷 1 (答卷时间为 120 分钟) 一.选择题(每小题 4 分) 1.以下条件中( )不是函数 f ( x) 在 x0 处连续的充分条件. (A) lim f ( x) , lim f ( x0 ) (B) lim f ( x) , f ( x0 ) x x0 ，0 x x0 0 x x0 (C) f ,( x0 ) 存在 (D) f ( x) 在 x0 可微 2.以下条件中( )是函数 f ( x) 在 x0 处有导数的必要且充分条件. (A) f ( x) 在 x0 处连续 (B) f ( x) 在 x0 处可微分 f

2、(x0 ， x) f (x0 x) lim f ,( x) 存在 (D)存在 (C) lim x 0 x x0 x 1 的( )间断点. 3. x , 1是函数 f ( x) , sin x (A)可去 (B)跳跃 (C)无穷 (D)振荡 4.设函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上连续并在开区间 (a, b) 内可导，如果在 ( a , b ) 内 ). f ,( x) , 0 ，那么必有( (A)在 a , b 上 f ( x) , 0 a , b 上 f ( x) 单调增加 (B)在(C)在 a , b 上 f ( x) 单调减少 (D)在 a , b 上 f ( x) 是凸的 5.

3、设函数 ). f ( x) , ( x 2 3x ， 2) sin x ，则方程 f ,( x) , 0 在 ( 0 , ) 内根的个数为( (A)0 个 (B)至多 1 个 (C) 2 个 (D) 至少 3 个 二.求下列极限(每题 5 分) ln b (1 ， ax) ax ， b sin x ( a , 0 ). ( c , 0 ). 1. lim 2. lim x 0 x sin ax cx ， d cos x 1 a sin x x 2 4. lim . 3. lim e x 1 x ( a , 0 ). x x 0 x 三.求下列函数的导数(每题 6 分) x 1. y , ln

4、tan cos x ln(tan x,求) y, . 2 2.设 F ( x) 是可导的单调函数，满足 F ,( x) , 0 ， F (0) , 0 .方程 F ( xy) , F ( x) ， F ( y) dy 确定了隐函数 y , y( x) ，求 . dx x,0 d 2 y ,x , ln 1 ， t 2 确定的函数，求 . 3.设 y , y( x) 是参数方程 , dx 2 ,; y , arctan t x , 0 ,ln(x ， e) ( a , 0 )，问 a 取何值时 f ,(0) 存在,. 4.设函数 f ( x) , , x x , 0 ;a x e 四.(8 分)

5、证明:当 x , 0 时有 e , x ，且仅当 x , e 时成立等式. 五.(8 分)假定足球门宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带 1球前进，问:他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角, 4 6 , x 六.(10 分)设函数 f ( x) 在区间 a, b 上连续，在区间 (a, b) 内有二阶导数 .如果 f (a) , f (b) 且存在 c (a, b) 使得 f (c) , f (a) ，证明在 (a, b) 内至少有一点 , ，使得 . f ,(, ) , 0七.(10 分)已知函数 y , f ( x) 为一指数函数与一幂函数之积，满足: (1

6、) lim f ( x) , 0 ， lim f ( x) , ， ; x ， x (2) y , f ( x) 在 ( ,， ) 内的图形只有一条水平切线与一个拐点. 试写出 f ( x) 的表达式. 高等数学(上)期中考试试卷 2 (答卷时间为 120 分钟) 一.填空题(每小题 4 分) x , 0 ,(1 sin 1x x )在 x , 0 连续，则 a , . 1.已知函数 f ( x) , , x , 0 ,;a 1 2. x , 0 是函数 f ( x) , 的 间断点.(可去.跳跃.无穷.振荡) 1 e x ， 1 f ( x0 3, ) f ( x0 ) , . 3.若 f

7、,( x0 ) , 1 ，则 lim , 0 2, 2 ). 4.函数 f ( x) , ( x 3x ， 2) sin x 在 ( 0 , ) 内的驻点的个数为( (A)0 个 (B)至多 1 个 (C) 2 个 (D) 至少 3 个 5.设 a , 0 ，若 lim ax 2 ， bx ， c ， dx , e ，则 a 与 d 的关系是 . x ， 二.计算题(每题 6 分) , 1 1 , , . 1.求 lim, x 0 , ln(1 ， x) x , 1 2.求 lim，cos x，x 2 x 0 x 3. y , ln tan cos x ln(tan x,求) y, . 2 2

8、,x , e t cos t d 2 y 确定的函数，求 4.设 y , y( x) 是参数方程 , dx 2 ,; y , t sin e t sin x cos x 5.求 dx . ， 1 ， sin 4 x dx 6.求 ， x x 2 1 三.(8 分)证明:当 0 , x , 时有 sin x ， tan x , 2 x . 2 f ( x) 有二阶导数，且 f (0) , 0 ，又满足方程 f ,( x) ， f ( x) , x ，证 四.(8 分)设函数明 f (0) 是极值，并说出它是极大值还是极小值, m n 五.(8 分)设 a 和 b 是任意两个满足 ab , 1的正

9、数，试求 a ， b 的最小值(其中常数 m n , 0 ) 六.(10 分)设函数 f ( x) 在区间 0 , 1 上可导，且 0 , f ( x) , 1，证明 , ( 0 , 1 ) ， 使得 f (, ) , , ;又若 f ,( x) , 1( x ( 0 , 1 ) )，证明这样的 , 是唯一的. 七.(10 分)(1)设 (an ) n,1 是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限 lim a n , n 1 n n n n ， a ，试用夹逼准则证明 ， ， (2)对上述数列 (a n ) n,1 ，令 xn , a1 ， a 2 ， n lim xn , lim a n

10、. n n 3高等数学(上)期末考试试卷 1 (答卷时间为 120 分钟) 一.填空题(每题 4 分) 1.函数 f ( x) 在 a , b 上有界是 f ( x) 在 a , b 上可积的 条件，函数 f ( x) 条件. 在 a , b 上连续是 f ( x) 在 a , b 上可积的 1 2.函数 y , ，它是 间断点. 的间断点为 x = 1 ， tan x 3.当 x 0 时，把以下的无穷小: x (A) a ，a ,1 0,， a; , 1(B) x sin x ; (C)1 cos 4 x ; (D) ln(1 ， x ) ， ， ， 按 x 的低阶至高阶重新排列是 .(以字

11、母表示) 1 , 2 1(n 1) , ， sin 4. lim dx = . , = ， 0 ,sin n ， sin n ， n n n 1 5.设函数 f ( x) 在闭区间 0 , 1 上连续，且 f ( x)dx , 0 ，则存在 x0 (0,1) ，使 ， 0 f ( x0 ) ， f (1 x0 ) , 0 .证法如下: x 1 令 F ( x , )f (t)dt ， x 0,1 ，则 F ( x) 在闭区间 0,1上连续，在开区间 ， f (t )dt ， ， 0 1 x ，故根据微分学中的 定理知， (0,1) 内 ，且 F (0) , ， F (1) , x0 (0,1)

12、 使得 F ,( x0 ) , f ( x0 ) ， f (1 x0 ) , 0 ，证毕. 二.计算题(每题 6 分) 1 c x 1.若 lim (1 ， x) , e 2 ，求 c 的值. x 0 y 2.设 y , y( x) 是由方程 e ， y , sin( xy) 确定的隐函数，求 y, . x 2 t 2 ，e ， 1 dt ， 0 3.求极限 lim . x 0 ln(1 ， x 6 ) ln x 4.求 dx ， x 4 2 5.求 x)dx . ， x(sin ，x cos 2 ， dx 6.求 2 ， x 4 x 2 1 x 2 1 三.(8 分)设 f ( x) , ，

13、 e t dt ，求 ， f ( x)dx 1 0 x 四(8 分)设函数 f ( x )在区间 0 , 1 上连续，且 f ( x ,) 1，证明方程 2 x f (t )dt , 1 . 0 ， 在开区间 (0,1 ) 内有且仅有一个根. 1 2 所围成的图形绕直线 y , 1旋转而成的五.(8 分)求由抛物线 y , 2 x 与直线 x , 2 立体的体积. 1 2 x 2 ，其线密度为 ， , k y ，R(k , R) 求 六.(8 分)设半圆形材料的方程为 y , 该材料的质量. 七.(12 分)在一高为 4 的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果 x 2 ， y

14、2 , 1(单位:m)，问: 椭圆方程为 4 (1)液面在 y( 1 , y , 1) 时，容器内液体的体积V 与 y 的函数关系是什么, y (2)如果容器内储满了液体后以每分钟 0.16m3 的速 度将液体从容器顶端抽出，当液面在 y , 0 时，液面 O x 下降的速度是每分钟多少 m, )，抽完全部液体 (3)如果液体的比重为 1( N m 3 需作多少功, 高等数学(上)期末考试试卷 2 (答卷时间为 120 分钟) 一.填空题(每小题 4 分) 条件;导数 f ,( x0 ) 存在是函 1.极限 lim f ( x) 存在是函数 f ( x) 在 x0 处连续的 x x0 条件.

15、填入适当的字母即可: 数 f ( x) 在 x0 处连续的 (B)必要 (A)充分 (C)充分且必要 (D)既不充分也不必要 f ( 2h) f ( h) 2.若 f ,(0) , 1，则 lim , . ,h 3.设 f ( x) , x( x 1)(2 x 1)(3x 1) (nx 1) ，则 f ,( x) 在 ( 0 , 1 ) 内有 个零点. 0 ， 1 ， xf (sin x)d x , 4.设 f ( x )是 1 , 1 上连续的偶函数，则 . 5.平面过点 ( 1 , 1 , 1 ) ， ( 2 , 2 , 2 ) 和 ( 1 , 1 , 2 ) ，则该平面的法向量为 . 二

16、.基本题(每小题 7 分)(须有计算步骤) 2 x ln(1 ， t)dt ， 0 1.求极限 lim . x 0 1 cos x ， 4 2.求定积分 x tan 2 xdx . 0 y 2 3.设 y , y( x) 是方程 e ， e t dt x 1 , 0 确定的隐函数，证明 y , y( x) 是单调增加 y ， 0 函数并求 y, x,0 . 1 u 3 4.求反常积分 du . ， 0 1 u 2 2m n 三.(10 分)设 a 和 b 是任意两个满足 a ， b , 1 的正数，试求 a , b 的最大值(其中 常数 m n , 0 ) 3 四.(10 分)一酒杯的容器部分

17、是由曲线 y , x ( 0 , x , 2 ，单位:cm)绕 y 轴旋转 3 而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方 2cm 的嘴中，要做多少功,(饮料的密度为 1g/cm ) 五.(10 分)教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式 xf (sin x)dx , f (sin x)dx . ， 0 2 ，0 如果将上式左端的积分上限换成 (2k 1) ( k Z )，则将有怎样的结果,进一步设 kT f ( x) 是周期为 T 的连续的偶函数， ， xf (x)dx 将有怎样相应的表达式, 0 六(10 分)设动点 M ( x , y , z) 到 xOy 面的距离与其到定点 (1 , 1 ,

18、1 ) 的距离相等，M . 2 的轨迹为 , .若 L 是 , 和柱面 2 z , y 的交线在 xOy 面上的投影曲线，求 L 上对应于 1 , x , 2 的一段弧的长度. x f 0 (t )dt ， 0 . ( x) 是 0 , ， ) 上的连续的单调增加函数，函数 f ( x) , 七.(12 分)设 f 0 1 x (1)如何补充定义 f1 ( x) 在 x , 0 的值，使得补充定义后的函数(仍记为 f1 ( x) )在 0 , ， ) 上连续, 2)证明( f1 ( x) , f 0 ( x) ( x , 0 )且 f1 ( x) 也是 0 , ， ) 上的连续的单调增加函数;

19、 x x x f1 (t )dt f 2 (t)dt f n 1 (t )dt ， ， ， 0 0 0 ，则对任意的 ( x) , ( x) , ( x) , ， f n (3)若 f 2 ， f 3 x x x x , 0 ，极限 lim fn ( x) 存在. n 3高等数学(下)期中考试试卷 1 (答卷时间为 120 分钟) 一.填空题(每小题 6 分) 1.有关多元函数的各性质:(A)连续;(B)可微分;(C)可偏导;(D)各偏导数连续，它们的 关系是怎样的,若用记号“ X , Y ”表示由 X 可推得 Y ，则 ) ,( , ( )( . ) , , ) ;( 2 2 ，该点处各方向

20、导数中的最 2.函数 f ( x, y) , x xy ， y 在点 ( 1 , 1 ) 处的梯度为 大值是 . ，平面曲线 3.设函数 F ( x, y) 可微，则柱面 F(x, y) , 0 在点 (x, y, z) 处的法向为 ,F(x, y , 0 )在点 ( x, y) 处的切向量为 . , z , 0 ; 1 4.设函数 f ( x, y) 连续，则二次积分 f ( x, y)dy , . ， dx， sin x 2 1 f ( x, y)dx ; (A) (B) ， dy， ， dy， 0 ，arcsin y 1 ，arcsin y f ( x, y)dx ; (C) (D) ，

21、 dy， ， dy， 0 二.(6 分)试就方程 F ( x, y, z) , 0 可确定有连续偏导的函数 y , y( z, x) ，正确叙述隐函数存在 定理. 三.计算题(每小题 8 分) 1.设 z , z( x, y) 是由方程 f ( x z , y z) , 0 所确定的隐函数，其中 f (u, v) 具有连续的偏导数 f f z z 且 ， , 0 ，求 ， 的值. y u v x 2. 设 二 元 函 数 f (u, v) 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 f u (1,0) , f v (1,0) , 1 . 又 函 数 u , u( x, y) 与 ,x , au ， b

22、v 2 2 ( a ， b , 0 )确定，求复合函数 z , f u( x, y), v( x, y)的偏导 v , v( x, y )由方程组 , ; y , au bv z z 数 ， . x y ( x, y ),( a , a ) ( x, y ),( a , a ) 2 2 3.已知曲面 z , 1 x y 上的点 P 处的切平面平行于平面 2 x ， 2 y ， z , 1，求点 P 处的切平面 方程. x 3 4 计算二重积分: x 为边界的曲边三 ， sin y d, ，其中 D 是以直线 y , x ， y , 2 和曲线 y , D 角形区域. 2 2 2 2 5.求曲线

23、积分 ( x ， y )dx ， ( x y )dy ， L 为曲线 y , 1 | 1 x | 沿 x 从 0 增大到 2 的方向. ， L 五.(10 分)球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”;同时，垂直于平面的直 径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明:球半径为 R 高为 h 的球冠的面积与整 1个球面面积之比为 h : 2R . 六(10 分)设线材 L 的形状为锥面曲线，其方程为:x , t cos t ，y , t sin t ，z , t( 0 , t , 2 )， 其线密度 ， ( x, y, z) , z ，试求 L 的质量. 2 2 点的引

24、力. 高等数学(下)期中考试试卷 2 (答卷时间为 120 分钟) 一.简答题(每小题 8 分) , x2 ,tcost ; xz 2.方程 xy z ln y ， e , 1在点 (0 , 1 , 1 ) 的某邻域内可否确定导数连续的隐函数 z , z( x, y) 或 y , y( z, x) 或 x , x( y, z) ,为什么, 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路: x 2 y 2 z 2 设椭球面 a 2 b c 小距离. 3 f x (1 ,1) . 2u 二.(8 分)设函数 f 具有二阶连续的偏导数， u , f ( xy , x ， y) 求 . x

25、y 三.(8 分)设变量 x , y , z 满足方程 z , f ( x, y) 及 g ( x, y, z) , 0 ，其中 f 与 g 均具有连续的偏 dy 导数，求 . dx ,xyz , 0, 在点 (0，) 处的切线与法平面的方程. 四.(8 分)求曲线 , 2 D y 2 五.(8 分)计算积分) ， e ，其中 D 是顶点分别为 ( 0 , 0 ) . ( 1 , 1 ) . ( 0 , 1 ) 的三角形区域. dxdy 2 2 2 ) 2 ， ( y 2 ) 2 , 9 上的最大值和最小值. 2 2 2 x 2 ， y 2 , 1000 上的点. (1)问: z 在点 M (

26、 x, y) 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率; . 2)攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点 M 使得上述增 (长率最大，请写出该点的坐标. 2 2 七.(10 分)求密度为 , 的均匀柱体 x ， y , 1 ， 0 , z , 1，对位于点 M ( 0 , 0 , 2 ) 的单位质 处的切平面 ， 与平面 x ， y ， z , 0 平行. (1)写出曲面 , 的方程并求出点 M 的坐标; 2, 3 , 1 处的切线方程. 1.求曲线 , y , 3 ， sin 2t 在点 ,z , 1 ， cos 3t ， 2 ， 2 , 1与平面 Ax ， By

27、 ， Cz ， D , 0 没有交点，求椭球面与平面之间的最 4.设函数 z , f ( x, y) 具有二阶连续的偏导数， y , x 是 f 的一条等高线，若 f y (1 ,1) , 1，求 1 1 ;x y 1 , 0 六.(8 分)求函数 z , x ， y 在圆 ( x 七 . ( 14 分 ) 设 一 座 山 的 方 程 为 z , 1000 2x y ， M ( x, y )是 山 脚 z , 0 即 等 量 线 八(14 分) 设曲面 , 是双曲线 z 4 y , 2( z , 0 的一支)绕 z 轴旋转而成，曲面上一点 M . 2 2 (2)若 , 是 , . ， 和柱面

28、,，1 yx 围成的立体，求 , 的体积. 3高等数学(下)期末考试试卷 1 (答卷时间为 120 分钟) 一.简答题(每小题 5 分，要求:简洁.明确) 2 2 1.函数 z , y x 在点 (1 , 1) 处沿什么方向有最大的增长率，该增长率为多少, xz 2.设函数 F (x, y, z ,) (z ， 1) ln y ， e 1，为什么方程 F(x, y, z) , 0在点 M(1, 1, 0) 的某 个邻域内可以确定一个可微的二元函数 z , z( x, y) , 2 3 3.曲线 x , t 1 , y , t ， 1 , z , t 在点 P(0 , 2 , 1) 处的切线方程

29、是什么, 2 y2 4.设平面区域 D : x2 ， ,1 (a , 0,b , 0) ,积分 ， (ax 3 ， by 5 ， c)dxdy 是多少, b2 a D n n 5.级数 的收敛域是什么, 2 n 2 ， 1 x n,0 ,e x ， 1, 0 , x , , ) ，问级 6.设函数 f ( x) , , 的傅里叶系数为 a0 , a n , bn (n , 1,2,3, ,;e x 1, , x , 0 2 ， 数 a0 ,n 1 a n 的和是多少, 2 二.计算积分 2 1.(8 分) I , sin x dx ， dy， y x 2 y 2 , 1 ( y , 0) 取逆

30、时针方 2.(8 分) I , ( x ， y)dx ， ( y x)dy ， L 为上半椭圆 x 2 ， ， b2 a L 向. z , y 2 , ,(0 , z , 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面. 三.(12 分)设 , 是由曲线 , ;x , 0 (1)写出 , 的方程和 , 取外侧(即朝着 z 轴负方向的一侧)的单位法向量; 2 )dzdx ， (8 y ， 1) zdxdy . (2)对(1)中的定向曲面 , ，求积分 I , ，,， 4(1 y 2 2 2 四.(10 分)求微分方程 (1 ， x ) y, , xy ， x y 的通解 x (0 , x , ) 展成正弦级数.

31、 五.(10 分)把函数 f ( x , )2 六.应用题 x 2 y 2 z 2 1.(10 分)求曲面 ， 2 ， 2 , 1 (a , 0, b , 0, c , 0) 在第一卦限的切平面，使 a 2 b c 该切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为最小，并写出该四面体的体积. 2.(12 分)设 , 是由曲面 z , ln x 2 ， y 2 与平面 z , 0 , z , 1所围成的立体. 求: (1) , 的体积V ;(2) , 的表面积 A . 1高等数学(下)期末考试试卷 2 (答卷时间为 120 分钟) 一.填空题(每小题 4 分) z z 1.函数 z , f ( x, y )的偏导数 在区域 D 内连续是 z , f ( x, y) 在 D 内可微的 与 x y 条件.(充分，必要，充要) 2.函数 z , f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 处沿 l , cos， , cos , 的方向导数可以用公式 f , f x ( x0