数学精英版教案 4升512 最值问题.docx

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数学精英版教案4升512最值问题

《数学思维训练教程》教案

教材版本：

精英版.学校：

.

教师

年级

四升五

授课时间

课时

2课时

课题

第12讲—最值问题

教材分析

在日常生活中，我们常常考虑“最”字，如走路则尽可能使所行的路程短一些，使时间最少或车费最省；做一件工作，尽可能使效率最高，工时最短；学习则尽可能使所用的时间最短而收获最大……，一句话，都是考虑一个“最”字的问题，即最值问题。

了解最值问题，可以帮助我们更好的了解结果的范围。

本讲内容做起来容易讲起来难，教师应充分备课，使学生掌握思考最值问题的方法。

本讲例1、例2难度不大，学生可尝试独立解答后集体交流，其它例题有一定难度，教师可结合解析恰当引导，难点部分要求学生小组合作探究。

拓展问题与例题类型相同，可安排在同类型例题后讲解，适当给学生提示。

拓宽视野根据课堂情况选讲。

教学目标

知识技能

1.理解最值问题；

2.掌握最不利原则、尽量平均等方法解决最值问题。

数学思考

体会通过合情推理探索数学结论的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力。

问题解决

能发现生活中的最值问题，探索分析解决最值问题的有效方法。

情感态度

1.在教师的引导和鼓励下，体验克服困难，解决问题的过程；

2.在推理思考过程中，体会数学的规律性。

教学重点、难点

教学重点：

掌握求解不同最值问题的方法。

教学难点：

理解求最值问题的思考过程。

教学准备

动画多媒体语言课件。

第一课时

复备内容及讨论记录

教学过程

说明：

留给备课教师在备课时填写自己上课所需内容.

一、导入

师：

同学们，你们长大之后想做什么？

为什么？

生：

…

师：

我听到有位小伙伴说长大以后想做警察，你对警察做哪些工作了解多少呢？

（或者大家说了这么多，没有人想当警察，你对警察做哪些工作了解多少呢？

）

师：

下面我们就来一起看一看警察的故事。

（播放导入）

二、呈现问题

（一）呈现问题1

例1：

一个数各个数位上的数字之和是10，而且各个数位上的数字都不相同且不为0。

则这个数最小是多少？

最大是多少？

1.学生读题后，教师引导学生复习比较整数大小的方法。

师：

本题求符合条件的最大、最小的数，那我们得先知道怎么比较两个整数的大小呢？

生：

先看位数，位数越多数越大，位数越少数越小；如果位数相同，看最高位，最高位越大数越大，最高位越小数越小。

师：

大家回答的很是完美，清楚的说出了比较两个整数大小的方法。

我们回过头来再看这个问题，怎样使各位数字之和是10的这个整数最大？

怎样使这个数最小呢?

2.学生尝试独立完成解答，指定学生讲解。

生1：

要使这个数最大，那么应使这个数位数尽可能的多，但题目中有要求各个数位上的数字都不相同且不为0，所以只能为1,2,3,4，它们组成的最大的数是4321。

师：

这位同学说的清楚吗？

还有什么需要补充的？

我们把掌声送给他。

那么怎样使这个数最小呢?

生2：

要使这个数最小，那么应使这个数位数尽可能的少，那么就拆成9和1，这两个数字组成的数最小是19。

答案：

最大是4321，最小是19。

过渡语：

很快，阿龙就破解了QQ号，并与对方取得联系，对方要求面谈。

“不入虎穴，焉得虎子！

大壮和小聪，咱们去会会他们。

”阿龙带着手下换上便装来到交易地点。

开门的是个凶神恶煞的大胡子，说道：

“你们找谁？

”阿龙说：

“QQ上你们约我面谈，货呢？

”“先把暗号对上。

”大胡子从口袋中掏出一张卡片，上面写着：

（二）呈现问题2

例2：

一个不透明的袋子里有10个红球、9个黄球和12个黑球，现从中至少摸几个，才能保证摸出的球中有两个颜色相同的球？

1.学生读题，获取信息。

师：

你是怎么理解“保证摸出的球中有两个颜色相同的球”这句话的？

生：

就是不管什么颜色，一定得有两个颜色相同的，可以是两个红的，也可以是2个黄球，也可以是2个黑球。

师：

大家理解的很到位，不但要使有2个球颜色相同，而且要使摸出来的球的个数最少，最少应该摸几个呢？

大家思考一下，一会我让同学说说自己的想法。

2.学生独立思考。

3.教师提问学生说说自己的想法。

生1：

因为要使有2个球颜色相同，而且要使摸出来的球的个数最少，所以我认为最少应该是2个。

师：

哦，这位同学认为摸2个可以保证有2个颜色相同的球，大家同意他的想法吗？

为什么？

生2：

我不同意，摸两个不能保证颜色相同，如果运气不好的话可能会摸出2个不同颜色的球。

师：

那你认为最少摸几个可以保证有2个颜色相同的？

（此时学生如果说的不对，就继续追问其他同学是否同意这位同学的想法，直至找到正确答案。

）

生：

我认为应该摸4个，最坏的情况是摸3个是3种不同颜色的，再摸一个那么不管是什么颜色肯定与之前一个颜色相同。

这是运气最坏的情况。

3.学生独立完成解答。

答案：

4个，原因如下：

考虑运气最差的情况，先摸3个颜色各不相同，再摸1个必能与之前其中1个颜色相同。

4.教师小结：

要保证摸出的球中有两个颜色相同的球，大家应充分理解“保证”的含义，就是不能存在侥幸，任何情况下都得符合条件，所以解决这类问题我们应从最不利的情况考虑，得出摸到最少的个数。

师：

下面大家做一下拓展问题2，检验一下你有没有掌握这类问题的解决方法？

（三）拓展问题2

2.一个纸箱中有50张相同的纸片，分别编上号码1、2、3、4、5的各有10张。

问：

一次至少要取出多少张，才能保证其中至少有4张号码相同？

（本题是例2的变式题，学生尝试独立完成，然后集体交流）

师：

号码是1的卡片有几张？

号码是5的卡片有几张？

其他卡片呢？

师：

运气最坏的是什么情况？

生：

摸出来3张1，摸出来3张2，摸出来3张3，摸出来3张4，摸出来3张5后，再摸出来一张。

师：

那么要保证至少有4张号码相同，一次至少要取出多少张？

答案：

3×5＋1＝16（张）

答：

一次至少要取出16张，才能保证其中至少有4张号码相同。

（四）例3

例3：

有8个不同质量的同学称体重（每个人的体重都是整千克数），他们的平均体重是39千克。

将他们按照从轻到重的顺序排列，前3人的平均体重是30千克，后4人的平均体重是46千克。

最轻的同学最重是多少千克？

最重的同学最重是多少千克？

1.学生读题，师生共同分析。

师：

根据条件，将他们按照从轻到重的顺序排列，你能提出哪些问题并解答你的问题吗？

生1：

8个同学的体重共多少？

39×8＝312（千克）

生2：

将他们按照从轻到重的顺序排列，前3人的体重共多少？

30×3＝90（千克）

生3：

将他们按照从轻到重的顺序排列，后4人的体重共多少？

46×4＝184（千克）

生4：

将他们按照从轻到重的顺序排列，第4个人的体重是多少？

312－90－184＝38（千克）

师：

大家提出了这么多问题，下面我们来看一下题目的问题：

最轻的同学最重是多少千克？

最重的同学最重是多少千克？

先来看第一问。

我们知道前3个人的体重之和是90千克，要求最轻的同学最重，应该怎么考虑？

2.学生小组内交流意见，然后集体交流。

师引导：

和是一定的，我们知道第2个人比第1人重，第3人比第二人重，而且题意说每人都是整千克数，下面我把3人的体重用第1人表示出来，写出几种情况大家比较一下：

情况1：

第1人体重，第1人体重＋1千克，第1人体重＋2千克；

情况2：

第1人体重，第1人体重＋2千克，第1人体重＋4千克；

…

师：

大家算一算，不同情况第1人的体重？

（学生计算发现，情况1第1人的体重最重）

师：

这是为什么呢？

其实大家仔细观察3人的体重关系，就会发现这与我们之前学的和倍问题是同类型的。

第2人体重比第1人体重的1倍多一点，第3人比第2人体重的1倍多一点，和是90，计算第1人的体重时，我们需要从90中减去第2人、第3人比第1人多的部分再除以3。

减得越少第一人体重就越大，减得越多第1人题中就越小。

所以要使第1人体重最大，减得尽可能的少，也就是这三个数尽可能的接近。

现在大家会算第1人的题中最重是多少了么？

3.学生独立完成。

生：

90÷3＝30，三个数最接近为29，30，31，所以第1人的体重最重是29千克。

师：

那么后4人体重和确定的情况下，怎么使最重的同学最重？

生：

使前3人的体重尽量轻。

师：

大家一下子就抓住了问题的关键，但应注意，他们的体重是按从轻到重的顺序排列的，后面的人应该比前面的人重。

生：

刚才第4人的体重算出来是38千克，那么第5人的体重最少是39千克，以此类推，第6人40千克，第7人41千克，那么第8人最重就是：

184－39－40－41＝64（千克）。

答案：

最轻的同学最重是29千克；最重的同学最重是64千克。

3.教师小结：

以后我们遇到此类问题，可以直接应用我们本题的结论。

结论1：

已知几个数的和，要使最小的数最大，就要使大数尽可能的小，也就是使这几个数尽量接近；

结论2：

已知几个数的和，要使最大的数最小，就要使较小数尽可能大，也就是使这几个数尽量接近；

结论3：

已知几个数的和，要使最大的数最大，就要使较小数尽可能小。

（五）拓展问题1

1.5个同学收集的邮票数总和是325张，每人收集的邮票数都是整数，并且各不相同，则收集邮票最少的同学最多可能收集多少张？

（本题与例3是同类型问题，学生运用“已知几个数的和，要使最小的数最大，就要使大数尽可能的小，也就是使这几个数尽量接近”独立完成，然后集体汇报交流）

答案：

325÷5＝65，5人的集邮张数是63,64,65,66,67，则收集邮票最少的同学最多收集63张。

（六）拓展问题5

5.有7个自然数，它们的平均数是46，如果把这7个数按照从小到大的顺序排列起来，前3个数的平均数是33，后3个数的平均数是58，最大的数最大是多少？

（本题与例3是同类型问题，学生运用“已知几个数的和，要使最大的数最大，就要使较小数尽可能小”独立完成，然后集体汇报交流）

答案：

按从小到大的顺序排列。

后3个数和：

58×3＝174

第4个数：

46×7－33×3－58×3＝49

最大的数最大：

174－50－51＝73

三、课堂小结

师：

本节课你学习了哪些类型的最值问题？

每种类型的最值问题应该怎样考虑？

第二课时

复备内容及讨论记录

教学过程

一、过渡语

师：

上节课我们学习了3种不同类型的最值问题，并掌握了这三种问题的解答方法，那么最值问题还有哪些类型呢？

我们一起来看看。

二、合作探究

（一）呈现问题4

例4：

“我们有4辆车装穿山甲，其中任意3辆车的穿山甲总数都超过120只，你说我们至少有多少只穿山甲？

”

1.游戏导入，理解问题。

师：

同学们，这个题好难呀，我们先不管它，我们先来聊聊吃的。

你喜欢吃什么水果？

生：

苹果，香蕉，梨，…

师：

好像说苹果的同学比较多，那我们一起来做个有关苹果的游戏。

（找三位同学甲、乙、丙上台）

师：

下面的同学认真听，看谁先能猜出来他们至少有多少个苹果，记得是至少哦，可别往大的猜哦！

他们3人每人至少有1个苹果，这里没有半个苹果。

第一场比赛：

任意2人的苹果都大于2个，那么3个人最少共有多少个？

（学生思考，教师讲解一下自己的思考过程）

师：

老师先来猜第1场。

因为要苹果总数最少，而且每人必须有，如果每人都有1个的话，会怎样呢？

我们列个表格看一下，教师依次按照表中方法调整苹果数量，并验证是否符合题意：

师：

从上面表格可以发现：

单独给甲一个人增加是不行的，乙、丙两人苹果太少了，必须得给他们两个人也增加才可以。

师：

现在第二场开始了，任意2人的苹果都大于3个，那么3个人最少共有多少个？

师引导：

刚才给甲、乙都加了，就没给丙加，那这次给谁加呢？

生：

给丙加一个。

师：

给丙加一个满足题意吗？

我们一起看看：

师引导：

观察我们增加苹果的过程，我们给三人是怎么增加的？

生：

给甲加完就给乙加，给乙加完又给丙加。

不能只单独给1个人增加。

师：

大家观察的很仔细，通过这种增加苹果的方式，我们发现会让甲乙丙三个人的苹果数最接近，最多差1，总数才能最少。

2.学生读题，师生共同分析。

师：

刚才我们是3个人一起数苹果，每个人的个数最接近，如果4个人呢？

是不是也得每个人的个数最接近呢？

生：

要使4辆车穿山甲的总数最少，则每辆车上穿山甲的数量应尽量接近。

师：

任意3辆车之和都大于120，要使这3辆车最接近，那么每辆车应该是多少呢？

（学生小组讨论）

生：

这3辆车每辆车最少不应少于120÷3=40（只）。

因为3辆车之和还得大于120只，那这3辆车应该是：

40，40，41

师：

接下来还得考虑第4辆车，最少应该是多少呢？

生：

考虑最坏的情况是40，40，（），括号里应该是41。

答案：

四辆车只数分别为40,40,41,41只，才能使任意3辆车的穿山甲总数都超过120只。

总只数至少：

40＋40＋41＋41＝162（只）

答：

至少有162只穿山甲。

3.教师小结：

要使4辆车穿山甲的总数最少，则每辆车上穿山甲的数量应尽量接近。

因为题中已知任意3辆车的总数之和情况，所以先考虑任意3辆车上的穿山甲总数，再根据最不利原则确定最后一辆车上的穿山甲只数。

（五）呈现问题5

例5：

三个非零自然数的和是16，它们的乘积最大是多少？

66

1.学生读题，分析题意

2.教师引导

师：

我们知道，数越大乘积就越大，我们先试试把16分解成3个数。

如下表：

师：

第一次分解：

16=14+1+1

第二次分解：

让甲数给乙1个，16=13+2+1，乘积变大了，和上道题一样，也不能让某一个数太大，也得让其它数增大。

第三次分解：

让甲数再拿出来一个，给谁呢？

学生：

给乙？

给丙？

师：

我们分别来看看：

第四次分解：

16=12+3+1，12×3×1＝36。

第五次分解：

16=12+2+2，12×2×2＝48。

显然是得给丙。

师提问：

大家有没有发现：

是不是甲、乙、丙三个数都很接近或者相同时，乘积才更大？

那16应该怎么分解呢？

3.学生思考，独立完成问题。

答案：

16＝5＋5＋6

乘积最大：

5×5×6＝150

4.小结：

把一个数拆成几个数（固定个数）的乘积，数越接近乘积越大。

三、拓展问题

（一）拓展问题3

3.6人围成一圈玩游戏，已知其中任意5人的年龄和都大于100，那么这6人的年龄和最少是多少？

（本题是例4的变式问题，学生独立完成解答后，集体汇报交流，根据要使总数最少，这几个数尽量接近的原则解决问题）

生：

因为已知其中任意5人的年龄和都大于100，所以先考虑5人年龄最小不应小于100÷5=20。

因为5人之和还得大于100，那这5人应该是：

20，20，20，20，21。

师：

接下来还得考虑第6个人的年龄，最少应该是多少呢？

生：

考虑最坏的情况是20，20，20，20，（），括号里应该是21。

所以这6人年龄和最少是20＋20＋20＋20＋21＋21＝122。

（二）拓展问题4

4.四个非零自然数的和是10，它们的乘积最小是多少？

1.学生读题，师生共同分析。

师：

本题要求乘积的最小值，有什么限制条件？

生：

四个非零自然数的和是10。

师：

如果去掉4这个限制条件，改成几个数非零自然数的和是10，它们的乘积最小是多少？

大家试一试，看谁找到的这个乘积最小？

2.学生尝试，教师引导学生发现，因数1越多，乘积越小。

生1：

我拆成的是5和5，乘积是25。

师：

嗯，这位同学拆成了2个数，还有没有使乘积更小的拆分方法？

（此时学生如果说的不对，就继续追问其他同学是否同意这位同学的想法，直至找到正确答案。

）

生2：

我把10拆成10个1，10个1的乘积还是1。

师：

真棒，通过拆分，你有什么发现？

生：

因数1越多，乘积越小。

师：

这真是一个重大发现，那么我们来看一下这道题，怎么拆分能使乘积最小？

3.学生独立完成解答。

答案：

10＝1＋1＋1＋7

乘积最小：

1×1×1×7＝7

（三）呈现问题6

6.有六块岩石标本，重量分别是8千克、6千克、4千克、4千克、3千克、2千克，将它们分别装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些，最重的背包里的岩石标本重多少千克？

1.学生读题，分析题意。

师：

六块岩石标本的质量是确定的，要把这些岩石分成3份，怎样才能使最重的一份尽可能轻？

生：

要使最重的一个尽量轻，因为总质量是固定不变的，那么就应使轻的尽量重。

师：

大家找到了解决问题的关键，也就是使得3份质量尽可能的接近，应该怎么分装呢？

大家尝试分装一下。

2.学生独立完成，适时出示解析集体交流。

生1：

我算出总质量是8＋6＋4＋4＋3＋2＝27（千克），那么平均每份就是9千克。

要使3份尽可能接近就将岩石分成第1份：

8千克；第2份：

6千克＋3千克；第3份：

4千克＋4千克＋2千克。

生2：

我的思路和他相同，每份的质量也一样，只是分装方法不同，第1份：

4千克＋4千克；第2份：

6千克＋3千克；第3份：

8千克＋2千克。

师：

题中对每个背包里装的石块的数量没有限制，所以这两种方法都可以。

他俩讲的清楚吗？

如果清楚的话请给他们掌声。

四、拓宽视野

用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。

求算式ABC×DE－FGH×IJ的计算结果的最大值。

1.学生读题，师生共同分析。

师：

你是如何理解题意的？

如何使算式“ABC×DE－FGH×IJ”的计算结果最大？

生：

要使减法的差最大，被减数应尽可能的大，减数应尽可能的小。

师：

这位同学说的非常正确，那么我们就把问题变为用“1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数乘两位数，怎样使它的结果最大？

”，“用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数乘一个两位数，怎样使它的结果最小？

”大家掌握这个问题的方法了吗？

2.师生合作，找到最大乘积和最小乘积。

（如果学生会做就让学生独立完成，如果学生不会教师出示解析引导）

师：

之前我们学过要使乘积最大，较大数放在高位上，且两个数的差尽可能小，那么首先两个数的最高位应该是什么呢？

生：

7和9。

师：

对，我们把7和9写在两数的最前面，然后考虑剩下的3个数字1，3，5，怎样放才能使差尽量小？

生：

把5放在7的后面，3放在9的后面，组成75×93，这样做是使两个数的差尽可能小。

师：

最后还剩下1，放在哪个数的后面呢？

生：

为了使两个数的差尽可能小，把1放在75的后面。

组成的最大乘积就751×93。

师：

那么乘积最小应该怎么做呢？

生：

因为0不能放在首位，所以将2和4放在两个数的最高位，然后考虑0和6，因为要使乘积最小得使差尽可能大，所以把0放在2的后面，把6放在4的后面组成46×20；最后剩下8，要使差尽可能大，把8放在大数46后面，所以乘积最小是468×20。

3.学生独立完成解答。

答案：

ABC×DE＝751×93时，乘积最大。

FGH×IJ＝468×20时，乘积最小。

所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值为：

751×93－468×20

＝69843－9360

＝60483

4.小结：

（1）要使乘积最大，较大数放在高位上，且两个数的差尽可能小；

（2）要使乘积最小，较小数放在高位上，且两个数的差尽可能大。

五、小结

解决最值问题的方法

可以从极端考虑，例如几个数字组成最小数，要使位数最少，最高位上数字尽量小；再例如抽屉原理，也是从最不利的情况考虑。

可以用枚举比较的方法解决，例如本讲的例5。

还会用分析推理的方法，找到最符合要求的情况。

例题答案：

例1：

最大是4321，最小是19。

例2：

4个

例3：

最轻的同学最重是29千克；最重的同学最重是64千克。

例4：

162只

例5：

150

拓展问题答案：

1.63张

2.16张

3.122

4.7

5.73

6.10