全等三角形习题精选含答案.docx
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全等三角形习题精选含答案
1.
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3.
4.
全等三角形提高练习
如图所示，△ABC^zADE,BC的延长线过点
B=50°,求©EF的度数。
如图，4AOB中，ZB=30°,将总OB绕点O顺时针旋转52
边OB交于点C（A'不做B上），则/ACO的度数为多少？
如图所示，在△ABC中，ZA=90°,D、E分别是AC、
EDC，则/C的度数是多少？
如图所示，把^ABC绕点C顺时针旋转
DC=90°,贝心
得到ZAOB'，这A'B'生
O
B'
35°,得到A'B'C,A'B'3C于点D,，若/A'
5.
已知，如图所示，AB=AC,ADJBC于D,且AB+AC+BC=50cm,
则AD是多少？
6.
如图，RtAABC中，/BAC=90°,AB=AC,分别过点B、C作过点
垂足分另I」为D、E,若BD=3,CE=2,贝UDE=
7.
如图，AD是GABC的角平分线，DE1AB,
AD于G,AD与EF垂直吗？
证明你的结论。
B
8.如图所示，在^ABC中，AD为/BAC的角平分线，DE1AB于E,DF1AC于F,MBC
的面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长。
F
9.已知，如图：
AB=AE,ZB=ZE,/BAC=ZEAD,/CAF=ZDAF,求证：
AFJCD
12.
垣AC、AEBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点MEN,求证：
（1）
AE=BD
（2）CM=CN（3）Z^CMN为等边三角形D（4）,mN/Bc\
13.已知：
如图1,点C为线段AB上一点，AACM、ACBN都是等边三角形，AN交MC
于点E,BM交CN于点F
（1）求证：
AN=BM
（2）求证：
4CEF为等边三角形
14.如图所示，已知△ABC和ABDE都是等边三角形，下列结论：
①AE=CD;②BF=BG;
③BH平分/AHD;④/AHC=60°;⑤zBFG是等边三角形；⑥FG/AD,其中正确的有
A.3个
15.已知：
BD、CE是9BC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB,
求证：
AG1AF
16.如图：
在^ABC中，BE、CF分别是AC
CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、
求证：
（1）AD=AG
（2）AD与AG的位置关系如何
、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC,在
A
B■C
17.如图，已知
E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且/DAE=ZFAE
求证：
AF=AD-CF
18.如图所示，已知△ABC中，AB=AC,
D是CB延长线上一点,
ZADB=60
E是AD上一点，且DE=DB
求证:
19.如图所示，已知在△AEC中，/E=90
AD平分/EAC,DF1AC,
E
垂足为F,DB=DC,
求证：
BE=CF
20.已知如图:
求证：
CF=CD
AB=DE,直线AE、BD相交于AC,/B+ZD=180°,AF/DE,交BD于F,
21.如图，OC是ZAOB的平分线，P是OC上一点，PDJOA于D,PE1OB于E,F是
OC上一点，连接DF和EF,求证：
DF=EF
点D在4的平分线上
23.如图，已知ABED,O是ZACD与ZBAC的平分线的交点，A
则AB与CD之间的距离是多少？
E%\
C
OE1AC于E,且OE=2,B
OD
24.如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AMBN,按下列要求画图并回答:
画/MAB、/NBA的平分线交于E
（1）ZAEB是什么角?
（2）过点E作一直线交AM于D,交BN于C,观察线段DE、CE,你有何发现?
（3）尢论DC的两端点在AMaBNd如何修动，只要/\/
AD+BC=CD谁成立？
并说明理由。
\e
BCN
DC经过点E,①AD+BC=AB;②
25.如图，4ABC
的三边AB、
BC、CA
分为三个三角形，则
Saabo:
S^BCO:
长分另1J是20、30、40,其三条角平分线将△ABC
26.正方形ABCD
中，AC、BD交于O,/EOF=90
已知AE=3,CF=4,贝USzbEF为多
少？
A
D
A
27.如图，在RtAABC中，/ACB=45°,BAC=90°,AB=AC，点D是AB的中点，AF±
CD于H,交BC于F,BEAC交AF的延长线于E,求证：
BC垂直且平分DE
28.在GABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且ADJMN于D,BEWIN于
DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：
DE=AD+BE
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：
DE=AD-BE
1解：
.AABCZ公ED
・•.zD=ZB=50°
•ACB=105°
，ACE=75°
•.zCAD=10°"CE=75°
£FA=ZCAD+ZACE=85。
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
同理可得/DEF=ZEFA-ZD=85-50=35°
2根据旋转变换的性质可得/B=ZB,因为4AOB绕点O顺时针旋转52°,所以/BOB'=52°,而/A'CO是4BOC的外角，所以/ACO=ZB+ZBOB然后代入数据进行计算即可得解.
解答：
解：
.「ZAQB是由4AOB绕点O顺时针旋转得到，/B=30°,
.•.zB=ZB=30°,
■「zAOB绕点O顺时针旋转52°,
.1./BOB=52°,
.「ACO是ABOC的外角，
•.A'CO=ZB+ZBOB=30+52=82°.
故选D.
3全等三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理.
分析：
根据全等三角形的性质得出/A=ZDEB=/DEC,ZADB=ZBDE=/EDO,根据邻补角定义求出/DEC、/EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可.
解答：
解：
・・•/ADB^zEDB^ZEDC,
•.A=/DEB=/DEC,ZADB=ZBDE=ZEDC,
•.zDEB+ZDEC=180°,ZADB+ZBDE+EDC=180°,
zDEC=90°,ZEDC=60°,
.・・£=180-ZDEC-ZEDC,=180-90-60=30°.
4分析：
根据旋转的性质，可得知/ACA=35°,从而求得/A'的度数，又因为/A的对应角是ZA’,即可求出/A的度数.
解答：
解：
.「三角形△ABC绕着点C时针旋转35°,得到△ABC'
••ACA=35°,ZA'DC=90°
zA=55°,
.「A的对应角是/A',即/A="',
zA=55°;
故答案为：
55°.
点评：
此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动.其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改
变.解题的关键是正确确定对应角.
5因为AB=AC三角形ABC是等腰三角形
所以AB+AC+BC=2AB+BC=50
BC=50-2AB=2（25-AB）
又因为AD垂直于BC于D,所以BC=2BD
BD=25-AB
AB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40
AD=40-25=15cm
6解：
.BDIDE,CEIDE
.•.zD=ZE
•••/BAD+ZBAC+ZCAE=180°
又..zBAC=90°,
•••/BAD+ZCAE=90°
•.在RtMBD中，ZABD+ZBAD=90°ABD=/CAE
•.在ZABD与ACAE中
{ZABD=/CAE
ZD=ZE
AB=AC
••.ABD^zCAE（AAS）
.BD=AE,AD=CE
•.DE=AD+AE
.DE=BD+CE
.BD=3,CE=2.DE=5
7证明：
:
AD是/BAC的平分线
••.£AD=ZFAD
又「DEIAB,DF必C，AED=/AFD=90°
边AD公共
.RtAAED^RtAAFD（AAS）
.AE=AF
即那EF为等腰三角形
而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线
.AD，底边EF
（等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成主线合一”）
8AD平分/BAC,贝U/EAD=ZFAD,ZEDA=ZDFA=90度，AD=AD
所以△AED^zAFD
DE=DF
SAABC=S必ED+SAAFD
28=1/2（AB*DE+AC*DF）=1/2（20*DE+8*DE）
DE=2
9AB=AE,ZB=ZE,ZBAC=ZEAD
则GABC0^ED
AC=AD
MOD是等腰三角形
ZCAF=ZDAF
AF平分/CAD
则AF_LCD
10B：
.ADJBC
1.ADB=/ADC=90
zCAD+JC=90
.BE必C
2•.zBEC=ZADB=90
3•.zCBE+JC=90
zCAD=ZCBE
.AD=BD
4•.zBDH^zADC（ASA）
.BH=AC
11解：
（1）证明：
.「ADIBC（已知），，/BDA=ZADC=90。
（垂直定义），.•.4+/2=90。
（直角三角形两锐角互余）.
在RtABDF和RtMDC中，
.RtABDF^RtAADC（H.L）.
，N=/C（全等三角形的对应角相等）.
•••4+/2=90。
（已证），所以/1+/C=90;
••.4+/C+/BEC=180。
（三角形内角和等于180°）,zBEC=90;
-BE_1AC（垂直定义）；
12证明：
（1）.••ZDAC、AEBC均是等边三角形，
.AC=DC,EC=BC,ZACD=ZBCE=60°,
1.ACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE,即/ACE=ZDCB.
在Z^ACE和ADCB中，
AC=DC"CE=ZDCBEC=BCzACE^dDCB（SAS）..AE=BD
（2）由
（1）可知：
△ACE^JDCB,zCAE=JCDB,即/CAM=ZCDN.
•••4AC、AEBC均是等边三角形，.AC=DC,ZACM=ZBCE=60°.又点A、C、B在同一条直线上，••.zDCE=180-ZACD-ZBCE=180-60-60=60°,即/DCN=60°.
ACM=ZDCN.
在AACM和ADCN中，ZCAM=ZCDNAC=DCZACM=ZDCN••.zACM^ZDCN（ASA）.
.CM=CN.
⑶由
（2）可知CM=CN,ZDCN=60°.•.zCMN为等边三角形
（4）由（3）知/CMN=ZCNM=ZDCN=60°
2•.zCMN+JMCB=180°.MN//BC
13分析：
（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到4CAN
且血CB,结论得证；
（2）由
（1）中的全等可得/CAN=ZCMB,进而得出/MCF="CE,由ASA得出△CAE^ACMF,即CE=CF,又ECF=60°,所以4CEF为等边三角形.
解答：
证明：
（1）.「ACM,ACBN是等边三角形，.AC=MC,BC=NC,ZACM=60'ZNCB=60°,
在ACAN和4MCB中，
AC=MC,ZACN=JMCB,NC=BC,.-.zCAN^JMCB（SAS）,.AN=BM.
（2）..ZCAN^zCMB,zCAN=XMB,
又,•・血CF=180-ZACM-ZNCB=180-60-60=60°,JMCF="CE,
在ACAE和ACMF中，
ZCAE=/CMF,CA=CM,ZACE=JMCF,••.zCAE^zCMF（ASA）,.CE=CF,
•.zCEF为等腰三角形，
又..zECF=60°,
EF为等边三角形.
点评：
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟
练运用.
14考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质.
分析：
由题中条件可得4ABE^zCBD,得出对应边、对应角相等，进而得出^BGD^zBFE,
MBF^zCGB,再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论.
解答：
解：
•「/ABC与4BDE为等边三角形，AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,ABE=ZCBD,
即AB=BC,BD=BE,ZABE=JCBD
••.zABE^zCBD,
.AE=CD,ZBDC="EB,
又,.zDBG=ZFBE=60°,.-.zBGD^zBFE,
.BG=BF,ZBFG=zBGF=60°,FG是等边三角形，
.FG/AD,
1.BF=BG,AB=BC,ZABF=ZCBG=60°,
2•.zABF^zCGB,
zBAF=/BCG,
・•.CAF+ZACB+ZBCD=JCAF+"CB+ZBAF=60+60=120°,
，AHC=60°,
3••/FHG+ZFBG=120+60=180°,
.•B、G、H、F四点共圆，
4.FB=GB,
5•.zFHB=/GHB,
.BH平分/GHF,
，题中①②③④⑤⑥都正确.
故选D.
点评：
本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握.
15考点：
全等三角形的判定与性质.分析：
仔细分析题意，若能证明^ABF^zGCA,则可
得AG=AF.在4ABF和AGCA中，有BF=AC、CG=AB这两组边相等，这两组边的夹角是ZABD和/ACG,从已知条件中可推出/ABD=ZACG,在RtMGE中，
ZG+J3AE=90°,而/G=ZBAF,则可得出/GAF=90°,即AG1AF.
解答：
解：
AG=AF,AG1AF.
1.BD、CE分别是△ABC的边AC,AB上的高.ADB="EC=90°
2•ABD=90-/BAD,ZACG=90-ZDAB,
ABD="CG
在AABF^AGCA中BF=ACZABD=ZACGAB=CG.
3•.zABF^zGCA（SAS）
.AG=AF
ZG=ZBAF
又/G+J3AE=90度.
4••/BAF+ZGAE=90度.zGAF=90°
.AG1AF.
点评：
本题考查了全等三角形的判定和性质；要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关
系灵活解题，考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力，范围较广.
161、证明：
.BE―C
••AEB=90
ABE+ZBAC=90
•.CF_1AB
，AFC=/AFG=90
ACF+ZBAC=90,ZG+ZBAG=90
•.ABE=/ACF
.BD=AC,CG=ABzABD^zGCA（SAS）
.AG=AD
2、AG1AD
证明
•••zABD^zGCA
••.zBAD=ZG
zGAD=ZBAD+/BAG=ZG+ZBAG=90
.AG1AD
17过E做EG!
AF于G,连接EF
-.ABCD是正方形
・・・氏©90°
AD=DC
•••zDAE=ZFAE,ED1AD,EG1AF.DE=EG
AD=AG,.E是DC的中点
.DE=EC=EG
.EF=EF.RtAEFG闲在CF
.GF=CF
.AF=AG+GF=AD+CF
18因为：
角EDB=60DE=DB
所以：
^EDB是等边三角形，DE=DB=EB
过A作BC的垂线交BC于F
因为：
4ABC是等腰三角形
所以：
BF=CF,2BF=BC
又：
角DAF=30°
所以：
AD=2DF
又：
DF=DB+BF
所以：
AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=[2DB+BC]
（AE+ED）=2DB+BC,其中ED=DB
所以：
AE=DB+BC,AE=BE+BC
19补充：
B是FD延长线上一点；
ED=DF（角平分线到两边上的距离相等）；
BD=CD;
角EDB=FDC（对顶角）；
贝U三角形EDB全等CDF;贝UBE=CF;
或者补充：
B在AE边上；
ED=DF（角平分线到两边上的距离相等）；
DB=DC
则两直角三角形EDB全等CDF（HL）
即BE=CF
20解：
-.AFZ/DE
&ZAFC
•.zB+ZD=180°,,ZAFC+ZAFB=180°
.•.zB=ZAFB
.AB=AF=DE
△AFC和AEDC中：
ZB="FB,"CF=ZECD（对顶角）,AF=DE
・・.△FC^zEDC
.CF=CD
21证明：
二.点P在/AOB的角平分线OC上，PE1OB,PD1AO,
.PD=PE,ZDOP=ZEOP,ZPDO=ZPEO=90°,
••.zDPF=ZEPF,
在ADPF和^EPF中
PD=PE
ZDPF=ZEPF
PF=PF（SAS）,
••.dDPF0/EPF
.DF=EF.
22考点：
全等三角形的判定与性质.
专题：
证明题.
分析：
（1）根据全等三角形的判定定理ASA证彳HABED06FD;
（2）连接AD.利用
（1）中的△BED^zCFD,推知全等三角形的对应边ED=FD.因为角
平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点D在4的平分线上.
解答：
工FC证明：
（1）/BF1AC,CE1AB,ZBDE=ZCDF（对顶角相
等），
，zB=/C（等角的余角相等）；
在RtABED和RtACFD中，
/B=/C
BD=CD（
已知）
ZBDE=/
CDF
/.zBED^zCFD（ASA）;
（2）连接AD.
由
（1）知，△BED^/CFD,
.ED=FD（全等三角形的对应边相等），
.AD是/EAF的角平分线，即点D在ZA的平分线上.
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质.常用的判定方法有：
ASA,AAS,SAS,SSS,
HL等，做题时需灵活运用.
23考点：
角平分线的性质.
分析：
要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点。
作FGgB,可以得到FGJCD,根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG,即可求得AB与CD之间的距离.
解答：
CG口解：
过点。
作FG1AB,
.AB/CD,
2•.zBFG+ZFGD=180°,
3••zBFG=90°,zFGD=90°,
.FGJCD,
.FG就是AB与CD之间的距离.
•.O为/BAC,ZACD平分线的交点，OE1AC交AC于E,
.OE=OF=OG（角平分线上的点，到角两边距离相等），
.AB与CD之间的距离等于2?
OE=4.
故答案为：
4.
点评：
本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距
离是正确解决本题的关键.
24考点：
梯形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质.专题：
作图题；探究型.
分析：
（1）由两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出/1+4=90°,再由三
角形内角和等于180°,即可得出/AEB是直角的结论；
（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM,由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一
步求出边之间的关系；
（3）由
（2）中得出的结论可知EF为梯形ABCD的中位线，可知无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E,AD+BC的值总为一定值.
解答：
解：
（1）-.am/BN,
JMAB+"BN=180°,
又AE,BE分另1J为/MAB、/NBA的平分线，
「.4+Z3=
1
2
（/MAB+ZABN）=90°,
jAEB=180°-Z1-Z3=90°,
即/AEB为直角；
（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM,如图则EF/ADBC,
・•.AEF=/4,ZBEF=Z2,
「3=4/1=Z2,
・•.AEF=/3,/BEF=/1,
S
.AF=FE=FB
.F为AB的中点，又EFAD/BC,
根据平行线等分线段定理得到E为DC中点,.ED=EC;
（3）由
（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E,总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB.
点评：
本题是计算与作图相结合的探索.对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、
等腰三角形性质，三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较高的要求.
25CV如图，4ABC的三边AB,BC,CA长分另是20,30,40,其三
条角平分线将△ABC分为三个三角形，则Szabo:
Szbco:
Szcao等于（）
A.1:
1:
1B.1:
2:
3C.2:
3:
4D,3:
4:
5
考点：
角平分线的性质.
专题：
数形结合.
分析：
利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别
是20,30,40,所以面积之比就是2:
3:
4.
解答：
解：
利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.
故选C.
点评：
本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式.做
题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的.26解：
正方形ABCD
.AB=BC,AO=BO=CO,/ABC=/AOB=/COB=90,/ABO=/BCO=45
••.zBOF+JCOF=90
•••£OF=90
••.zBOF+ZBOE=90
••.zCOF=ZBOE
••.zBOE^zCOF（ASA）
.BE=CF
•.CF=4
.BE=4
•.A
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