中考数学专题练习全等与相似三角形.docx

中考数学专题练习全等与相似三角形.docx

《中考数学专题练习全等与相似三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学专题练习全等与相似三角形.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学专题练习全等与相似三角形

学习好资料欢迎下载

2011 中考数学一轮专题练习——全等与相似三角形

一、选择题：

（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）

1.下列命题中是真命题的是………………………………………（）

（A）直角三角形都相似；（B）等腰三角形都相似；

（C）锐角三角形都相似；（D）等腰直角三角形都相似.

2．如果 ∆ABC ∽ ∆A B C ， AB = 4, A B = 6 ，那么 ∆ABC 的周长和 ∆A B C 的周

11111111

长之比是……………………………………（）

（A）1 :

 3 ；（B） 2 :

 3 ；（C） 4 :

 9 ；（D） 3 :

 2 ．

．如图，在ABC 中，DE ∥ BC ，DE 分别与 AB 、AC

相交于点 D 、 E ，若 EC = 1, AC = 3 则 DE ︰ BC 的值为

（）.

2131

（A）

；（B）；（C）；（D）．

3243

B

A

D          E

C

第3题图

4.已知 ∆ABC ≌ ∆DEF ，若 ∆ABC 的各边长分别 3、4、5， ∆DEF 的最大角的度数

是……………………………………（）.

（A）30°；（B）60 ° ；（C）90° ；（D） 120°.

．在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，下列命题中不正确的是（）．

AEADAE

=；（B）若，则 DE//BC；

DBECDBEC

DEADDE

=；（D）若，则 DE//BC .

ABBCABBC

．在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DE∥BC，且 DE 平分△ABC 的面积，则 DE∶

BC 等于……………………………………………………………（）

（A）

1

2

1 2             3

；    （B）  ；      （C）   ；    （D）   ．

3 2             3

二、填空题：

（本大题共 12 题，每 4 分，满分 48 分）

7. 在 ∆ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 边上,DE//BC，且 DE=2，BC=5，CE=2，则 AC = ．

若ABC∽△DEF，∠A=64°、∠B=36°则△DEF 别中

最小角的度数是___________．

C

9. 如果线段 AB=4cm，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那

D

O

AP

第11题图

B

．．

学习好资料欢迎下载

么较短线段 BP=cm

10. 若两个相似三角形的周长比是 4：

9，则对应中线的比是.

11.如图，在等边△ABC 中， AC = 9 ，点 O 在 AC 上，且 AO = 3 ，点 P 是 AB 上一动点，

联接 OP，以 O 为圆心，OP 长为半径画弧交 BC 于点 D， 联接 PD，如果 PO = PD ，那么 AP

的长是.

'

12. 如图，将 ∆ABC 沿直线 BC 平移到 ∆A' B'C ' ，使点 B ' 和 C 重合，连结 AC ' 交 AC 于

点 D ，若 ∆ABC 的面积是 36，则 ∆C ' DC 的面积是.

13．如图，在 △ABC 中， P 是 AC 上一点，联结 BP ，要使 △ABP ∽△ACB ，还

需要补充一个条件.这个条件可以是．

A

A                  Ａ

D

Ｐ

BCB）

C

Ｂ

Ｃ

第 12 题图

14. 在平面直角坐标系内，将 △AOB 绕点 O

第 13 题图

逆时针旋转 90 ，得到 △ A'OB' ．若点 A 的坐标为

（2，1）点 B 的坐标为（2，0），则点 A' 的坐标为．

15．如果两个相似三角形的对应角平分线的比是 2︰3，其中较大的一个三角形的面积

是 36cm2，那么另一个三角形的面积是_____________cm2

16．如图,点 D 是 Rt ∆ABC 的斜边 AB 上的

C

点, DE ⊥ BC , 垂足为点 E, DF ⊥ AC , 垂足为点 F,

F

E

若 AF=15,BE=10, 则四边形 DECF 的面积是．

D  E

17.在△ABC 中， 、 分别在 AB、AC 上，AD=3，BD=2 ，

A

D

B

AC=10，EC=4，则 S

∆ADE

:

 S

∆ABC = .

第 16 题图

18． 如图，梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，

∠B = ∠C = 90︒ ，点 F 在 BC 边上，

Ａ

AB = 8, CD = 2, BC = 10 ，若△ABF 与△FCD 相似，则 CF

D

BF

C

的长为．

三、简答题（本大题共 4 题，每小题 10 分，满分 40 分）

第 18 题图

学习好资料欢迎下载

19． 如图，在 △ ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线上一点，过点 A 作

AF ∥ BC 交 ED 的延长线于点 F ，联结 AE，CF ．

求证：

（1）四边形 AFCE 是平行四边形；

（2） FG ⋅ BE = CE ⋅ AE ．

F           A

G       D

B

C

E

20．如图，已知在∆ABC 中，点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上，且 AD ⋅ AB = AE ⋅ AC ，

CD 与 BE 相交于点 O .

A

（1）求证：

 ∆AEB ∽ ∆ADC ；

D

（2）求证：

BO  DO

O

B

C

21.如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的边 CB 延长线上一点，且 CE = CA ，联结 AE ，

过点 C 作 CF ⊥ AE ，垂足为点 F ，连结 BF 、 FD .

（1）求证：

 ∆FBC ≌ ∆FAD ；

A       D

（2）连结 BD ，若 cos ∠FBD =

3

5

，且 BD = 10 ，求 FC 的

F

值.

E

B        C

学习好资料欢迎下载

22．已知：

如图， AM 是△ ABC 的中线，∠ DAM =∠ BAM ， CD ∥ AB ．

求证：

 AB = AD + CD ．

A

B

M

C

D

四、解答题（本大题共 3 题，23-24 每题 12 分，25 题 14 分，满分 38 分）

23. 如图，在 Rt∆ABC 中， ∠ACB = 90︒， CD ⊥ AB ，垂足为点 D ， E 、 F 分别是

11

AC 、 BC 边上的点，且 CE =AC ， BF =BC .

33

（1）求证：

AC  CD

=

BC  BD

；

（2）求 ∠EDF 的度数.

C

E

F

A

B

D

24.如图，直线y = -2 x + n （ n ＞ 0 ）与 x轴、y轴 分别交于点A、B , S

∆OAB

= 16 ，抛

物线 y = ax 2 + bx（a ≠ 0） 经过点 A ，顶点M 在直线 y = -2 x + n 上．

（1）求n 的值；

（2）求抛物线的解析式；

x

（3）如果抛物线的对称轴与 轴交于点N ，那么在对称轴上找一点P ，使得

∆OPN 和 ∆AMN 相似，求点P 的坐标．

y

B

O

A

x

学习好资料欢迎下载

25. 已知在等腰三角形 ABC 中，AB = BC = 4, AC = 6 ，D 是 AC 的中点， E 是 BC

上的动点（不与 B 、C 重合），联结 DE ，过点 D 作射线 DF ，使∠EDF =∠A ，射线 DF

交射线 EB 于点 F ，交射线 AB 于点 H .

（1）求证：

 ∆CED ∽ ∆ADH ；

（2）设 EC = x, BF = y .

①用含 x 的代数式表示 BH ；

②求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的定义域.

H

B

B

F

E

C

D              A           C

D              A

备用图

参考答案

一、选择题

学习好资料欢迎下载

1．D，2．B，3．A，4． C，5. D，6. C

二、填空题

7. 10 ；8．36°；9． （6 - 2 5） ；10. 4∶9；11. 6；12． 18；

3

13．答案不惟一， ∠ABP = ∠C （或 ∠APB = ∠ABC 或

AP  AB

=

AB  AC

或 AB 2 = AP ⋅ AC ）；

14．（-1,2）；15．16；16. 150；

17．9∶25； 18．2 或 8；

三、解答题

19．证明:

（1） ∵ AF ∥ BC ,∴ ∠AFD = ∠CED …………………1 分

∵ AD = CD, ∠ADF = ∠CDE

∴ ∆AFD ≌ ∆CED ……………………2 分

∴ FD = ED ……………………1 分

∴ 四边形 AFCE 是平行四边形……………………1 分

（2） ∵ 四边形 AFCE 是平行四边形

∴ ∠AFG = ∠AEC , AF = CE ……………………1 分

∵ AF ∥ BC , ∴ ∠FAG = ∠EBA ……………………1 分

∴ ∆AFG ∽ ∆BEA ……………………1 分

∴

AF  FG

=    ……………………1 分

BE  EA

∴

CE  FG

=

BE  EA

即  BE ⋅ FG = CE ⋅ EA …………1 分

AE

=

ACAB

………………1 分

又 ∠A = ∠A ……………………………………………………1 分

∴ ∆AEB ∽ ∆ADC ……………………………………………1 分

（2） ∵ ∆AEB ∽ ∆ADC

∴ ∠ABE = ∠ACD ……………………………………………2 分

∵ ∠DOB = ∠EOC ……………………………………………2 分

∴ ∆BOD ∽ ∆COE ……………………………………………1 分

DO

=………………………………………………2 分

COEO

学习好资料欢迎下载

21.

（1）证明：

 CE = AC, CF ⊥ AE ,∴ AF = EF …………………1 分

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴ AD = BC, ∠ABC = ∠BAD = 90︒ ………………………………………1 分

∴在 Rt∆ABE 中， BF = AF …………………………………………… 1 分

∴ ∠FBA = ∠FAB ………………… …………………………………… 1 分

∴ ∠FAD = ∠FBC ……………………………………………………… 1 分

∴ ∆FBC ≌ ∆FAD ……………………………………………………… 1 分

（2）∵ ∆FBC ≌ ∆FAD ,∴ FC = FD, ∠BFC = ∠AFD ………………… 1 分

∴ ∠BFD = ∠BFC + ∠CFD = ∠AFD + ∠CFD = 90︒ …………………… 1 分

3

cos ∠FBD = , BD = 10

5

∴ FD = 8 …………………………………………………………………… 1 分

∴ FC = 8 …………………………………………………………………… 1 分

22．证明：

分别延长 AM 、 CD 相交于点 N ．

∵ CD ∥ AB ，∴∠ BAM ＝∠ N ．……………………………2 分

又∵∠ BMA＝∠ CMN ， BM = CM ，∴△ ABM ≌△ NCM …………2 分

∴ AB = CN ． ………………………………………………………………1 分

∵∠ BAM ＝∠ N ，∠ DAM ＝∠ BAM ，∴∠ DAM ＝∠ N ．…2 分

∴ AD = ND ．…………………………………………………………2 分

∴ AB = CN = AD ＋ CD ．………………………………………………1 分

四、

23. 证明：

（1）∵ ∠ACB = 90︒ ， CD ⊥ AB ,

∴ ∠CDB = ∠ACB = 90︒ ，………………………………………………1 分

又 ∠B = ∠B …………………………………………………………………1 分

∴ ∆ACB ∽ ∆CDB …………………………………………………………1 分

∴

AC  BC

=    ………………………………………………………………1 分

CD  BD

∴

AC  CD

=

BC  BD

学习好资料            欢迎下载

………… ……………………………………………………1 分

11

（2）∵ CE =AC, BF =BC ，

33

∴ AC = 3CE, BC = 3BF …………………………………………………1 分

CDCE

==

3BFBDBF

………………………………………………………2 分

∵ ∠B + ∠BCD = ∠ECD + ∠BCD = 90︒ ，

∴ ∠B = ∠ACD ……………………………………………………………1 分

∴ ∆ECD ∽ ∆FBD ………………………………………………………1 分

∴ ∠EDC = ∠FDB …………………………………………………………1 分

∵ ∠FDB + ∠CDF = 90︒ ,

∴ ∠EDF = ∠EDC + ∠CDF = 90︒ ………………………………………1 分

24. （本题满分12）

解:

（ 1） ∵直线 y = -2 x + n 与 x轴、y轴 分别交于点 A、B ,

n

2

∵ n ＞ 0 ，∴ OA =

n

2

 OB = n

∴ S

∆OAB

1         1 n

=  OA ⋅ OB =  ⋅ ⋅ n = 16 ……………………………1 分

2         2 2

解得， n = 8, n = -8 （舍去）

12

∴ n = 8 ……………………………1 分

（2）方法一：

由

（1）得， y = -2 x + 8 ，∴ A（4,0） ……………………………1 分

∵ 抛物线 y = ax 2 + bx 的顶点 M （-

b   b 2

-  ）

2a  4a

∵ 抛物线 y = ax 2 + bx 的顶点 M 在直线 y = -2 x + 8 上

又 抛物线 y = ax 2 + bx 经过点 A

学习好资料欢迎下载

⎧⎪

∴ ⎪ - b = -2 ⋅（ - b ） + 8

2 a

{

a = - 1

解得，  b = 4  ………………………2 分

∴ 抛物线的解析式为：

 y = - x 2 + 4 x ……………………………1 分

方法二：

 由

（1）得， y = -2 x + 8 ，∴ A（4,0） ……………………………1 分

当 x = 0 时， y = ax 2 + bx = a ⋅ 0 2 + b ⋅ 0 = 0

∴ 抛物线 y = ax 2 + bx 经过原点 O（0,0）

∴ 抛物线 y = ax 2 + bx 的对称轴是直线 x = 2

设抛物线 y = ax 2 + bx 的顶点 M （2, y） ∵ 顶点 M 在直线 y = -2 x + 8 上

∴ y = -2 ⨯ 2 + 8 = 4 ，∴ M （2,4） …………………………1 分

设抛物线 y = a（ x - 2） 2 + 4

∵ 抛物线过原点 O（0,0） ∴ a（0 - 2） 2 + 4 = 0解得， a = -1 ……1 分

∴ 抛物线的解析式为：

 y = - x 2 + 4 x （或 y = -（ x - 2） 2 + 4 ）……1 分

（3）由

（2）可得，抛物线 y = - x 2 + 4 x 的对称轴是直线 x = 2 得 N （2,0）

∵ N （2,0） 、 M （2,4） 、 A（4,0）

∠

在 Rt∆AMN中， ANM = 90︒ ，且 AN = 2，MN = 4

在 Rt∆ONP中，∠ONP = 90︒ ，且 ON = 2

∴ 当

PN   AN  1  ON  AN  1

=     =  或    =     =  时， ∆OPN ∽ ∆AMN …1 分

ON  MN  2  PN  MN  2

∴ 这样的点 P 有四个，即 P （2,4）, P （2,1）, P （2,-1）, P （2,-4） ．……4 分

1234

25.解：

∵ AB = BC ,∴ ∠A = ∠C …………………………………………1 分

∵ ∠CDE + ∠EDF = ∠A + ∠H …………………………………………1 分

又 ∠EDF = ∠A ,∴ ∠CDE = ∠H ………………………………………1 分

∴∆ CED ∽ ∆ADH ………………………………………………………1 分

学习好资料欢迎下载

CD

=

ADAH

…………………………2 分

∵ D 是 AC 的中点， AC = 6 ，∴ AD = CD = 3 ，又 ∵ CE = x, AB = 4

∴当 H 点在线段 AB 的延长线上时，

x39

=，∴ BH =- 4 …………………………………………1 分

34 + BHx

当 H 点在线段 AB 上时，

x39

=，∴ BH = 4 -…………………………………………1 分

34 - BHx

②过点 D 作 DG∥AB,交 BC 于点 G …………………………………1 分

CGCD1

===，∴ DG = 2, BG = 2 ………………………1 分

ABBCAC2

∴当 H 点在线段 AB 的延长线上时，

9

BHBFy

==

GDGF22 - y

0 < x <

9 - 2 x ⎝4 ⎭

当 H 点在线段 AB 上时，

BF

=，∴

GDGF

4 -

2

9

x = y

y + 2

………………………………………1 分

⎫

9 - 2 x ⎝ 4⎭