最新冀教版小学数学四年级上册单元知识总结全册.docx
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最新冀教版小学数学四年级上册单元知识总结全册
一 升和毫升
一、容量
1.意义。
容器中所能容纳液体的多少,就是容器的容量。
如右图的锅能装水2.5L,我们就说这个锅的容量是2.5L。
2.比较两个容器容量的大小。
方法一:
把甲容器装满水,倒入乙容器,可能出现三种结果:
①没有倒满,甲容器的容量小于乙容器的容量;甲乙
②正好倒满,甲容器的容量等于乙容器的容量;
③倒满后还有剩余,甲容器的容量大于乙容器的容量。
方法二:
可以利用量筒或量杯测量。
观察量筒或量杯的刻度时,要将量筒或量杯平放在桌面上,视线与量筒内液体的凹液面的最低处保持水平,再读出对应的数。
否则,读数会偏高或偏低。
二、升和毫升的认识
1.升和毫升的认识。
①计量液体,如汽油、饮料、药水时,用升或毫升作单位。
②计量较少的液体用毫升作单位,计量较多的液体用升作单位。
2.用字母表示。
升用字母“L”表示,毫升用字母“mL”表示。
三、升与毫升的关系
1.升与毫升的大小关系。
升是比较大的容量单位,毫升是比较小的容量单位。
2.升与毫升的换算关系。
①升与毫升之间的进率是1000。
②1升=1000毫升或1L=1000mL
容器的大小决定容纳液体的多少,容器越大,容纳的液体就越多。
温馨提示:
容器能盛的液体越多,它的容量就越大;反之,容器能盛的液体越少,它的容量就越小。
温馨提示:
量筒与量杯的区别:
量筒的直径上下相等,所以刻度均匀;量杯口径上粗下细,所以刻度上密下疏。
易错点:
对容器容量的大小感知不准确,在选择容量单位时出现错误。
例如:
判断:
家用电热水器的容量是30毫升。
（）
正解:
✕
错因:
家用电热水器的容量比较大,应该用升作单位。
易错举例:
例:
在
里填上“>”“<”或“=”。
800毫升
8升
错解:
800毫升
8升
正解:
800毫升
8升
错因:
比较时没有先统一单位,直接比较两个数值,应该先统一单位,再比较。
二 三位数除以两位数
一、除以整十数
1.除以整十数的口算。
（1）除以整十数的口算题解题方法。
①列表法:
结合数据的特点,从最小数据开始,逐次列表求出正确答案。
②根据除法的意义,列除法算式计算。
（2）除以整十数的口算方法。
①把被除数几百几十看作几十个十,除数整十数看作几个十,然后利用口诀计算。
如360÷40,把被除数360看作36个十,除数40看作4个十,然后根据口诀“四九三十六”计算出36÷4=9。
②根据乘除法的关系,用乘法计算除法。
如因为40×9=360,所以360÷40=9。
2.除以整十数的笔算。
（1）除数是整十数的笔算除法可以分为五步:
①确定商的位置;
例如:
②确定商几;
③把商和除数相乘,再用被除数减乘积;
④比较除数和余数的大小,余数一定要比除数小;
⑤把余数落下来。
（2）验算。
验算时根据“商×除数+余数=被除数”来验算,结果等于被除数,说明计算正确,否则错误。
二、除以两位数
1.商是一位数。
（1）分类。
①两、三位数除以两位数的笔算（试商）;
②两、三位数除以两位数的笔算（调商）;
③除数接近几十五的笔算除法。
（2）试商、调商方法。
①两、三位数除以两位数的笔算试商方法:
当除数的个位上是1、2、3、4时,可以把除数个位上的数舍去,把它看作整十数来试商;当除数的个位上是5、6、7、8、9时,可以把除数个位上的数去掉,同时向前一位进一,把它看作整十数来试商。
②两、三位数除以两位数的笔算调商方法:
把除数“四舍”来试商,由于除数变小了,试商容易偏大,要调小;
把除数“五入”来试商,由于除数变大了,试商容易偏小,要调大。
③除数接近几十五的笔算试商方法:
试商时可以根据四舍五入法看作整十数来试商,也可以看作几十五来试商。
2.商是两位数。
（1）分类。
①商的末尾不是0;
②商的末尾是0;
③商和被除数的末尾都是0。
（2）算法说明。
①商的末尾不是0:
如果除数比被除数的前两位小,商的位数比被除数少一位,如果除数比被除数的前两位大,商的位数就比被除数少两位。
②商的末尾是0:
当求出商的最高位以后,无论除到被除数的哪一位,只要这一位不够商1,都在这一位上商0占位。
③商和被除数末尾都是0:
先用被除数的前两位除以除数,如果被除数的前两位能被除数整除,被除数的个位上的数字是0,个位上的0不用落下来。
3.算法总结。
除数是两位数的除法的计算方法:
（1）从被除数的最高位除起,先用被除数的前两位除以除数,如果它比除数小,再用被除数的前三位除以除数;
（2）除到被除数的哪一位,就把商写在那一位上面;
（3）每次除后余下的数必须比除数小;
（4）最后根据竖式补充完横式,注意要写余数。
三、商的变化规律
1.在除法算式中,除数不变,被除数乘（或除以）几（0除外）,商也要乘（或除以）几。
2.在除法算式中,被除数不变,除数乘（或除以）几（0除外）,商反而要除以（或乘）几。
3.在除法算式中,被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外）,商不变。
这叫做商不变规律。
4.运用商不变规律简化竖式。
当被除数和除数末尾都有0时,可以运用商不变规律简化竖式,在被除数和除数末尾画掉相同个数的0,按照画掉0后的竖式进行计算。
四、笔算除法的验算方法
笔算除法的验算一定要用乘法,不可用除法验算。
用除数与商相乘,再加上余数,看是否等于被除数。
五、连除
1.连除的运算顺序:
在没有括号的连除算式中,要按照从左往右的顺序依次计算。
2.用连除解决实际问题。
①理清题意,弄清先算什么,再算什么;
②列分步算式或综合算式求解。
除法的意义:
已知两个因数的积和其中的一个因数,求另一个因数的运算。
或求一个数里面包含多少个另一个数,用除法计算。
温馨提示:
除法是乘法的逆运算。
小窍门:
几百几十除以整十数,可以把被除数与除数都去掉一个0,变成两位数除以一位数,直接根据口诀计算,结果不变。
易错举例:
易错点:
写错商的位置。
例如:
640÷90=70……10
正解:
640÷90=7……10
错因:
写错了商的位置,导致商出现错误。
巧记:
一看;二试;三减;四比;五落。
除法中的数量关系（有余数的除法）:
被除数÷除数=商……余数
被除数=商×除数+余数（验算）
温馨提示:
把除数和被除数看作和它最接近的整十数来试商。
试商歌:
一二丢,八九收;
四六当五来动手;
四舍商大减去一;
五入商小加一好;
同头无除商八九;
除数折半商四五。
易错点:
例如:
用竖式计算347÷38。
错解:
347÷38=8……43
正解:
347÷38=9……5
错因:
试商时,商8小了,需要调商。
易错举例:
例如:
用竖式计算720÷36。
错解:
720÷36=2
正解:
720÷36=20
错因:
商的个位忘记用0占位。
小窍门:
被除数不变时,除数和商是反向变化的,其余都是同向变化的。
商不变规律的应用:
验算举例:
967÷24=40……7
验算:
三 解决问题
一、简单的乘除混合运算的应用题（没有括号）
1.乘除混合运算的运算顺序。
在没有小括号的乘除混合运算中,如果只有乘除法,要按照从左往右的顺序依次计算。
2.简单的乘除混合运算的（归一问题）解题策略。
解决此类问题是根据已知条件,在解题时要先求出一份是多少（归一）,如单位时间的工作量、单位面积的产量、商品的单价、单位时间内所行的路程等;再求出所要求的问题。
3.常用的关系式。
①工作效率=工作总量÷工作时间.
②速度=路程÷时间
③单价=总价÷数量
……
二、稍复杂的乘除混合运算的应用题（含有小括号）
1.连除的运算顺序。
按从左往右的顺序计算。
2.连除与乘除混合运算。
连除算式可以转化成乘除混合运算——a÷b÷c=a÷（b×c）。
3.含有小括号的乘除混合运算的运算顺序。
在乘除混合运算中,如果有小括号,要先算小括号里面的。
4.分步算式改写成综合算式。
分步算式改写成综合算式,要分清运算顺序,如果需要改变运算顺序,可以加上小括号。
三、“移多补少”和“等量代换”问题
1.移多补少。
（1）在甲、乙两者物品不相等的情况下,把物品数量多的拿出一部分给物品少的,使两者物品数量相等,此类问题就是“移多补少”问题。
（2）解法。
方法一:
先求出两者物品总量的平均数,用数量多的减去平均数,或者用平均数减去数量少的,就可得到答案。
方法二:
先求出两者的物品数量之差,再用这个差除以2即可。
2.等量代换。
（1）特点:
问题中包含两个量,其中一个发生变化（一般是增减）,另一个量保持不变。
（2）解法:
根据变化的量的增减情况,先求出这个量的值,再求出另一个量的值。
易错举例:
例如:
计算600÷25×4。
错解:
600÷25×4
=600÷100
=6
正解:
600÷25×4
=24×4
=96
错因:
在计算时看到25×4能凑成整百数,然后与600相除,直接口算出了结果而忽略运算顺序,导致出现错误。
巧记:
归一问题的特点是在已知条件中隐藏着一个固定不变的“单一量”,常常用“照这样计算”“用同样的”等词语来表达不变的量。
学一招:
计算乘除混合运算时,如果想要改变运算顺序,就要加上小括号。
易错举例:
例如:
小明有21块巧克力,弟弟只有15块,要使两人的巧克力一样多,小明要给弟弟多少块巧克力?
错解:
21-15=6（块）
答:
小明要给弟弟6块巧克力。
正解:
（21-15）÷2
=6÷2
=3（块）
答:
小明要给弟弟3块巧克力。
错因:
本题错在把二人巧克力的数量差当作最终结果,如果按照这个结果,那么弟弟巧克力的数量就比小明多了。
方法和策略:
“等量代换”这一数学思想是基本的数学思想之一,也是重要的数学思想之一。
掌握这一基本数学思想,学会从不同的角度思考问题,从而解决生活中的简单的实际问题。
运用这一数学思想解决问题的关键在于抓住“变化的量”。
四 线 和 角
一、线段、直线、射线
1.线段。
（1）绷紧的弓弦、人行横道线都可以近似地看作线段。
（2）线段是直线的一部分,有两个端点,可以度量长度,不可延长。
（3）线段的记法:
可以用两个端点的大写字母来记,例如:
线段AB。
（4）画给定长度的线段:
先点上一个点,把直尺上的0刻度线对准这个点,然后在直尺上找出给定数值的刻度,再点上一个点,把这两点连接起来就得到了要画的线段。
2.直线。
（1）把一条线段向两端无限延伸,就得到一条直线。
（2）直线没有端点,（或者说“有0个端点”）,可以向两端无限延伸,不可度量,是无限长的。
（3）记法:
直线可以用上面的两点来记,例如:
直线AB,也可以用一个小写字母来记,例如:
直线l。
3.射线。
（1）把线段向一个方向无限延伸就得到一条射线。
（2）射线是直线的一部分,只有一个端点,可以向一端无限延伸,不可度量。
（3）记法:
射线可以用端点和射线上的另一点来表示,例如:
射线AB。
二、两点间的距离
1.两点之间的所有连线中,线段最短。
2.两点之间的线段的长度,叫做两点间的距离。
三、角
1.从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
2.各部分名称:
这一点叫做角的“顶点”,两条射线叫做角的两条“边”。
3.角的记法:
角的符号用“∠”表示。
例如:
记作:
∠1 记作:
∠2
读作:
角1读作:
角2
4.记角时,不要把角的符号“∠”写成小于号“<”。
四、角的度量
1.角的度量工具是量角器。
2.角的计量单位是“度”,用符号“°”表示。
把半圆分成180等份,每一份所对的角的大小是1度,记作1°。
3.量角的步骤:
（1）量角器的中心点与角的顶点重合。
（2）量角器的其中一条0°刻度线与角的一条边重合。
（3）角的另一条边所对应的量角器上的刻度就是这个角的度数。
五、角的分类
1.直角:
1直角=90°
2.锐角:
小于90°的角
3.钝角:
大于90°而小于180°
4.角可以看作是由一条射线绕着它的端点,从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
5.平角:
一条射线绕它的端点旋转半周,形成的图形是平角。
1平角=180°。
6.周角:
一条射线绕它的端点旋转一周,形成的图形是周角。
1周角=360°。
7.锐角、直角、钝角、平角和周角之间的关系:
（1）锐角<直角<钝角<平角<周角
（2）1个平角=2个直角;1个周角=2个平角=4个直角。
线段和射线都是直线的一部分。
直线、射线与线段的区别:
直线和射线都可以无限延伸,线段不能无限延伸,可以量出长度;线段有两个端点,直线没有端点,射线只有一个端点。
易错点:
误认为直线和射线都可以度量。
例如:
判断:
画一条长5厘米的直线。
（）
正解:
✕
错因:
直线没有端点,能向两端无限延伸,不可度量。
角的特点:
①有一个共同的顶点;
②有两条射线;
③这两条射线从这一个顶点引出。
角的大小与所画角的两边的长短没有关系。
角的大小要看两条边叉开的大小,叉开得越大,角越大。
易错点:
平角与直线混淆。
例如:
判断:
平角就是一条直线。
（）
正解:
✕
错因:
平角与直线是两个不同的概念,不能混淆。
易错点:
把周角与射线混淆。
例如:
判断:
周角就是一条射线。
（）
正解:
✕
错因:
周角与射线是两个不同的概念,不能混淆。
五 倍数和因数
一、自然数
1.自然数。
（1）自然数的意义:
像0、1、2、3、4、5、6、7、8……这些用来表示物体个数的数,都是自然数。
（2）自然数可以用直线上的点来表示,如下图:
2.奇数、偶数。
（1）奇数:
像1、3、5、7、9、11、13、15……这些都是单数,单数又叫做奇数。
（2）偶数:
像2、4、6、8、10、12、14、16……这些都是双数,双数又叫做偶数。
0也是偶数。
二、倍数
1.倍数。
（1）倍数的意义。
两个自然数能够整除,我们就说被除数是除数的倍数。
例如:
36÷9=4 我们就说36是4和9的倍数。
（2）0的特殊性。
在自然数中,0除以任何一个非0自然数都得0,所以0是任何一个非0自然数的倍数。
（3）特征。
一个数的倍数的个数是无限的。
其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
（4）求一个数的倍数的方法。
可以用这个数分别与1、2、3、4……相乘,所得的数就是这个数的倍数。
2.2、3、5的倍数特征。
（1）2的倍数特征:
个位上是0、2、4、6或8。
如36、48,因为36的个位是“6”,所以36是2的倍数;因为48的个位是“8”,所以48是2的倍数。
（2）5的倍数特征:
个位上是0或5的数,都是5的倍数。
如135,因为135的个位是“5”,所以135是5的倍数。
（3）3的倍数特征:
一个数各数位上的数的和是3的倍数,这个数一定是3的倍数。
如102,因为1+0+2=3,3÷3=1,所以102是3的倍数。
（4）既是2的倍数,又是5的倍数的特征:
个位上是0的数,既是2的倍数,又是5的倍数。
三、因数
1.因数。
（1）意义。
如1、2、3、4、6、12这些数都是12的因数。
（2）特征。
一个数的因数的个数是有限的。
其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
（3）求一个数的因数的方法。
利用积与因数的关系一对一对地找,从最小的自然数找起,一直找到它本身。
2.质数和合数。
（1）非0自然数按因数个数的多少可分为质数和合数。
（2）100以内的质数有25个,它们是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
（3）质因数、分解质因数。
①质因数:
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数叫做这个合数的质因数。
②分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
③分解质因数的方法。
方法一:
用塔式图分解质因数。
例如:
48=2×3×2×2×2
方法二:
通常采用短除法分解质因数。
例如:
把42分解质因数。
42=2×3×7
小知识:
最小的自然数是0,没有最大的自然数。
小发现:
用直线上的点表示自然数,右边的总比左边的大。
温馨提示:
最小的奇数是1,最小的偶数是0。
特别提示:
倍数不是单独存在的,不能单独说某个数是倍数,只能说某数是某数的倍数。
温馨提示:
在研究因数和倍数时,我们所说的数,一般是指不包括0的自然数,也就是说在非0自然数的范围内探索因数和倍数。
易错点:
误认为个位上的数字是3的倍数的数是3的倍数。
例如:
判断:
个位上是3、6、9的数是3的倍数。
（）
正解:
✕
错因:
误认为个位上的数是3的倍数的数是3的倍数。
小贴士:
一个非0自然数,既是它本身的倍数,又是它本身的因数。
易错举例:
易错点:
把质数与奇数、合数、偶数混淆。
例如:
判断:
质数都是奇数,偶数都是合数。
（）
正解:
✕
错因:
奇数与偶数的区分标准是看这个数是不是2的倍数,而质数与合数的区分标准是看这个数因数的个数,两者不可混淆。
如2是质数,但不是奇数,9是合数,但不是偶数。
特别提示:
最小的质数是2,最小的合数是4,没有最大的质数、合数。
易错举例:
错例:
自然数可以分为质数与合数。
（）
正解:
✕
错因:
这种分类方法漏掉了1,1既不是质数,也不是合数。
温馨提示:
用短除法分解质因数,要保证每一步的除数必须是质数,最后得出的商也是质数。
六 认识更大的数
一、计算器
1.认识常用的计算器。
计算器的构造:
一般由两部分构成:
显示屏和键盘。
2.常用键功能介绍。
ON/CE——开关、清屏键,按下该键开机,使用过程中按下该键,清除屏幕显示内容。
CE——清除键,仅消去当前显示的数据。
0 ……——数字键。
——运算符号与等号键。
3.计算方法。
用计算器计算时,先开机,再按数字键输入第一个数,接着按相应的运算符号键,接着输入第二个数,最后按等号键,结果就会显示在屏幕上。
4.用计算器探索规律。
（1）角谷猜想。
角谷猜想又称为3n+1猜想,是指对于每一个自然数,如果它是单数,则对它乘3再加1;如果它是双数,则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1。
（2）有趣的数字陷阱。
任意取三个互不相同的数字,组成一个最大的三位数和一个最小的三位数;用最大数减去最小数,得到一个新的三位数;用新三位数中各个数位上的数字,组成一个最大三位数和一个最小三位数,重复上面的运算,结果总是495。
（3）探索其他规律。
例如:
计算66666×66667。
思路分析:
这道题计算很复杂,我们可以把问题简单化,从简单类似题型算起,找出规律,再根据规律推出复杂计算的结果。
通过计算发现:
6×7=42,66×67=4422,666×667=444222 ……
由此得出结论:
全部含6的因数中有几个6,积就是由几个4和2组成的。
所以66666×66667=4444422222。
二、亿以内的数
1.数位顺序表。
（1）初步认识数位顺序表。
把数位按从右到左、从低到高的顺序排列起来,就制成了数位表。
如下表:
万级
个级
…
8
0
6
3
5
9
8
（2）在数位表中,从个位起向左数,每四位一级,分别是万级、个级。
（3）结合数位表认识亿以内的数。
如上表中,万位上的数字是“6”,表示6万,十位上的数字是“9”,表示九十。
2.亿以内数的写法。
（1）写数时,从高位起,一级一级地往下写,即先写万级,再写个级。
（2）哪个数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写0占位。
3.亿以内数的读法。
（1）读数时,按照数位顺序表分级,先读万级,再读个级。
（2）读万级上的数时,要按照个级上的数的读法来读,再在后面加一个“万”字;读个级上的数时,直接读即可。
（3）每级末尾不管有几个0,都不读,其他数位上有一个0或者连续几个0,都只读一个零。
4.把整万的数改写成以“万”为单位的数。
（1）整万的数的写法:
先写出万级上的数,再在后面写上4个0。
（2）把整万的数改写成以“万”为单位的数:
将万位后面的4个0去掉,添上“万”字即可。
例如:
把4500000改写成以“万”为单位的数。
先分级450┋0000,再去掉个级的0,加上“万”字,即450万。
5.改写成以“万”为单位的近似数。
（1）把一个精确数改写成近似数,一般用四舍五入法。
（2）用四舍五入法把一个数改写成以“万”为单位的近似数,要看万位后面千位上的数字是大于或等于5,还是小于5。
①如果千位上的数字大于5或等于5,就把万位后面的数全部舍去,并向前一位进1,在后面加上一个“万”字。
②如果千位上的数字小于5,就直接把万位后面的数全部舍去,在后面加上一个“万”字。
例如:
把12345678改写成以“万”为单位的近似数。
思路分析:
12345678千位上的数字是5,根据四舍五入法,把万位后面的尾数去掉,并向万位进一,然后再添上“万”字。
解:
12345678≈1235万
三、亿以上的数
1.进一步认识数位顺序表。
数级
…
亿级
万级
个级
数位
…
计数
单位
…
千亿
百亿
十亿
亿
千万
百万
十万
万
千
百
十
个
（一）
（1）每四位一级,第九位是亿位。
（2）计数单位和数位。
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿……都是计数单位。
它们所占的位置叫做数位。
（3）十进制计数法:
每相邻两个计数单位间的进率都是10。
这种计数方法叫做十进制计数法。
2.亿以上数的读法。
（1）读数时,按照数位顺序表分级,先读亿级,再读万级,最后读个级。
（2）读亿级上的数时,先按照个级上的数的读法来读,再在后面加一个“亿”字;读万级上的数时,要按照个级上的数的读法来读,再在后面加一个“万”字;读个级上的数时,直接读即可。
（3）每级末尾不管有几个0,都不读,其他数位上有一个0或者连续几个0,都只读一个零。
3.亿以上数的写法。
（1）写数时,从高位起,一级一级地往下写,先写亿级,再写万级,最后写个级。
（2）哪个数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写0占位。
4.把以“亿”为单位的数改写成以“万”或“个”为单位的数。
（1）把以“亿”为单位的数改写成以“万”为单位的数,只需在以“亿”为单位的数的后面加上4个0,然后把“亿”字改写成“万”字。
（2）把以“亿”为单位的数改写成以“个”为单位的数,只需在以“亿”为单位的数后面加上8个0,然后把“亿”字去掉。
5.改成以“亿”为单位的近似数。
（1）把一个精确数改写成近似数,一般用四舍五入法。
（2）用四舍五入法把一个数改写成以“亿”为单位的近似数,要看亿位后面千万位上的数字是大于或等于5,还是小于5。
①如果千万位上的数字大于或等于5,就把亿位后面的数全部舍去,并向前一位进1,在后
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