等差数列及其变式练习.docx
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等差数列及其变式练习
等差数列及其变式练习
等差数列的基本公式是：
an=a1+（n-1）d,
例1：
1，3,5,7,9,
A.7C.11D.16
【解析】答案为C。
这是一种很简单的排列方式，其特征为相邻两个数字之间的差是一个常数从该题中我们很容易发现相邻两个差均为2，所以括号中的数字应为10713l5
例2：
123,456,789,A.1122B.101112C.11112D.100112
【解析】答案为A）此题的第一项为123，第二项为456，第二项为789，二项中相邻两数的差都是333，所以是一个等差数列，未知项应该是789+333=1122）注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律，而不能从数字表面上去找规律，例如本题从123,456,789这一排列的外在表现形式，便选择101112，肯定不对）
例3：
12,15，18，（）,24,270
A.208.21C.22D.23
【解析】答案为B）这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为3，未知项即18+3=21,或24-3=21，由此可知第四项应该是210
例4：
2,4,（），80
A.3B.5C.6D.7
【解析】答案为C）这是一个偶数数列，成等差数列
2.等差数列的变式其中的等差常数项为2
等差数列的变式，一般是题十数列的前后两项的差或和组成一个等差数列，或者前后两项的差或和所组成的数列，它们的平方根或者几次根组成的数列是一等差数列等等）
例5：
3,4,6,9,（），180
A.11B.12C.13D.14
【解析】答案为C）这道题表面看起来没有什么规律，但稍加改变处理，就成为一道非常容易的题日。
顺次将数列的后项与前项相减，得到的差构成等差数列1,2,3,4,5ww显然，括号内的数字应填13。
在这种类型的题日中，虽然相邻项之差不是一个常数，但这些差组成的数列都是一个等差数列。
可以把它们称为等差数列的变式。
例6：
1,4,9，16，25，490
A.34B.32C.36D.31
【解析】答案为C）可作图分析
其中3,5,7,9是一差为2的等差数列，所以填人后面的值应为11，故为25+11=36，故选C例9：
1.01,2.02,3.04,5.07，（），13.160A.7.09B.7.10（：
.8.10D.8.11
【解析】答案为D。
将以上数字的规律分两部分来进行分析，从整数部分看，第三项为前两项的和，以此类推，故括号内数字的整数部分应为8；从小数部分看（01,02,04,07中，1,2,4,7的后一项与前一项差分别为1,2,3是公差为1的等差数列，所以后一项数字应为7+4=11，故选D
例7：
1，5，14,30,55，（）
A.908.91C.64D.80
【解析】答案为B，我们可将题十数列前后两项数字的差组成一数列，丙将差数组成的数列各数开平方
前后两数差的数列数列平方根组成的数
由此可见，1应为6,N应为36，故题十数列空项数字应为55+36=91，因而B项正确
（一）等比数列及其变式
数列相邻数之间的比值相等，整个数列依次递增或递减等比数列的基本通项公式为：
a‑=a}a‑-[,a‑=aka‑-k（其中a为首项，a。
为已知的第k项，a}0）
1.等比数列
例8：
2,4，8，16,32，（）
A.48B.64C.128D.256
【解析】答案为B。
这是一个等比数列，题中后项除以前项的值均为2，故括号内的数为64
例9：
2,6，18，54,（）
A.162B.108C.72D.216
【解析】答案为A。
这显然是一个等比数列，后项与前项相除得3
例10：
万,2，（），4,4万
A.2涯B.3江C.3D.3万
【解析】答案为Ao题中后项与前项相除得泛，故空缺项应为2万
例11：
15，5，
【解析】答案为Co题十数列的前后相邻数字之比为3[解析]答案为B此题是公比为1的等比数列，故括号内的值应为1。
2.等比数列的变式
等比数列的变式是指题十数列不呈现等比规律，但题十数列各数字的和、差、积、商、方根等组成经过一条运算后组成的数列，却呈现等比关系。
例12：
118，199,226,235，（）
A.2388.246C.253D.255
【解析】答案为A。
这道题并不是直接表现为等比数列，但是我们可以经过简单处理，得到一个等比数列，将题中后项与前项依次相减，得到81,27,9,（）的等比数列，可知（）中应为3。
由此可推知答案。
例13：
7，16,34,70，（）
A.140B.148C.144D.142
【解析】答案为D。
这也是一道变形了的等比数列题，但比上题复杂些，相邻两项之间没有直接的偶数关系，后一项减去常数2与前一项的商也为一个常数，也是2。
具体来说，（16一2）=7=2,（34一2）=16=2，以此类推，答案应为D
例14：
8，8，12,24,60,（）
A.90B.120C.180D.240
【解析】答案为Co题日中相邻两个数字之间后一项除以前一项得到的商并不是一个常数，但它们是按照一定规律排列的：
1,1.5,2,2.5因此括号内的数字应为60x3=180
例15：
4,6，10,18，34,（）
A.50B.64C.66D.68
【解析]答案为C。
此数列表面上看没有规律，但它们后一项与前一项的差分别为2,4,8,16，是一公比为2的等比数列，故括号中的值应为34+16x2=34+32=66
例16：
0,1，3，6,15，31，（）
A.328.45C.52D.63
【解析]答案是D。
后一数字与相邻前一数字的差分别是1,2,4,8,16，这是一个等比数列，故16后面应该是32。
这种题型为二级等比数列。
（二）等差与等比数列混合
等差数列和等比数列的混合，相隔两项之间的差值或比值相等，整个数字序列不一定是有序的
例17：
5,4，10,8，15，16,（），（）
A.20,18B.18，320.20,32D.18，32
【解析】答案是C。
此题是一道典型的等差、等比混合题。
其中奇数项是以5为首项、公差为5的等差数列，偶数项是4为首项、公比为2的等比数列。
这样，我们便可知答案为C
3579
【解析】答案为B。
此题乍一看似乎无从人手，但仔细分析便不难发现。
此列分数的分母是以7为首项，公比为2的等比数列，而分子是以3为首项，公差为2的等差数列，所以，正确答案为B
例18：
2,3,4,9,6,27，8，（）
A.6B.7C.81D.60
【解析】答案是C。
奇数项数字组成等差为2的等差数列，偶数项组成等比为3的等比数列。
例19：
2,4，8，16,14，64,20,（）
A.25B.35C.256D.270
【解析】答案为C，奇数项组成等差为6的等差数列，偶数项需要进一步化解才能找出规律：
4,16,64,可以发现它们之间存在等比因子为4的规律
例20：
4,2,2,3，6,15，（）
A.16B.30C.45D.50
【解析】答案为C。
数列的规律在于数列中后一项数字与相邻前一项数字之比依次为0.5,1,1.5,2,2.5，比例数呈等差关系，故第七项数字与15的比应当是3，所以45才是正确的选项。
我们把这种题型称为二级等差数列
八种数列及其变式
1、等差数列
例题：
12，17，22，27，（），37
解析：
12172227（）37
↘↙↘↙↘↙↘↙↘↙
55555
公差为0，形成一个常数数列
答案：
后一项与前一项的差为5，括号内应填32
（1）二级等差数列
例题：
-2，1，7，16，（），43
解析：
-21716（）43
↘↙↘↙↘↙↘↙↘↙
3691215
新的公差为3的等差数列
答案：
16+12=28
（2）二级等差数列的变式
例题：
1，2，5，14，（）
解析：
12514（）
↘↙↘↙↘↙↘↙
13927
公比为3的等比数列
答案：
17+27=41
练习：
20，22，25，30，37，（）
解析：
2022253037（）
↘↙↘↙↘↙↘↙↘↙
235711
二级为质数列
答案：
37+11=48
（3）三级等差数列及其变式
例题：
1，10，31，70，133，（）
解析：
1103170133（）
↘↙↘↙↘↙↘↙↘↙
921396393二级特征不明显
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12182430三级为公差为6的等差数列
答案：
63+30=93，93+133=226
练习：
0，1，3，8，22，63，（）
解析：
01382263（）
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1251441（122）二级特征不明显
↘↙↘↙↘↙↘↙↘↙
13927（81）三级为等比数列
答案：
41+81=122，122+63=185
2、等比数列
例题：
3，9，（），81，243
解析：
后一项与前一项的比为3
答案：
27
（1）二级等比数列
例题：
1，2，8，（），1024
解析：
后一项与前一项的比得到
2，4，8，16
答案：
8x8=64
（2）二级等比数列的变式
例题：
2，4，12，48，（）
解析：
241248（）
↘↙↘↙↘↙↘↙
234（5）
二级为自然数列
答案：
48x5=240
练习：
10，9，17，50，（）
解析：
9=1x10-1，
17=9x2-1，
50=17x3-1，
由此类推（）=77x2+9
答案：
163
3、和数列
（1）两项和数列
例题：
1，1，2，3，5，8，（）
解析：
前两项相加得到第三项，
括号内应填13
练习：
17，10，（），3，4，-1
解析：
17-10=7（第3项），
10-7=3（第4项），
7-3=4（第5项），
3-4=-1（第6项）
答案：
17-10=7
（2）两项和数列的变式
例题：
3，8，10，17，（）
解析：
3+8-1=10（第3项），
8+10-1=17（第4项）
答案：
10+17-1=26
练习：
4，5，11，14，22，（）
解析：
每前一项与后一项的和
得到9，16，25，36
（自然数平方数列）
答案：
27
（3）三项和数列的变式
例题：
0，1，1，2，4，7，13，（）
解析：
0+1+1=2（第4项），
1+1+2=4（第5项），
1+2+4=7（第6项），
2+4+7=13（第7项）
答案：
4+7+13=24
练习：
1，1，1，2，3，5，9，（）
解析：
每三项相加之和减1得到第四项
答案：
3+5+9-1=16
4、积数列
（1）两项积数列
例题：
1，3，3，9，（），243
解析：
1x3=3（第3项），
3x3=9（第4项），
3x9=27（第5项），
9x27=243（第6项）
答案：
27
练习：
1，2，2，4，（），32
解析：
1x2=2（第3项），
2x2=4（第4项），
2x4=8（第5项），
4x8=32（第6项）
答案：
8
（2）积数列变式
例题：
2，5，11，56，（）
解析：
2x5+1=11（第3项），
5x11+1=56（第4项）
答案：
11x56+1=617
练习：
3/2，2/3，3/4，1/3，3/8，（）
解析：
每两项相乘得到，
1，1/2，1/4，1/8，1/16
答案：
1/6
5、平方数列
（1）典型平方数列（递增或递减）
例题：
196，169，144，（），100
解析：
142，132，122，（112），102
答案：
121
（2）平方数列的变式
例题：
0，3，8，15，（）
解析：
各项都是平方数减1的形式
答案：
52-1=24
练习：
17，27，39，（），69
解析：
各项分别为平方数列
加自然数列的形式
答案：
72+4=53
（3）二级平方数列（平方数列的最新变化）
例题：
1，4，16，49，121，（）
解析：
141649121（）
12224272112（）
↘↙↘↙↘↙↘↙↘↙二级不看平方
12345
三级为自然数列
答案：
162=256
练习：
1，2，3，7，46，（）
解析：
3=22-1，
7=32-2，
46=72-3，
（）=462-7
答案：
2109
6、立方数列
（1）典型立方数列（递增或递减）
例题：
125，64，27，（），1
解析：
53，43，33，（23），13
答案：
8
（2）立方数列的变式
例题：
3，10，29，66，（）
解析：
各项都为立方数加2的形式
答案：
53+2=127
练习：
1/8，1/9，9/64，（），3/8
解析：
各项分母变化为
2、3、4、5、6的立方，
分子变化为1、3、9、27、81
答案：
27/125
7、组合数列
（1）数列间隔组合
例题：
1，3，3，5，7，9，13，15，（），（）
解析：
二级等差数列1，3，7，13，（21）
和二级等差数列3，5，9，15，（23）
的间隔组合
答案：
21，23
练习：
1，3，3，6，7，12，15，（）
解析：
二级等差数列1，3，7，15
和等比数列3，6，12，（24）
的间隔组合
答案：
24
（2）数列分段组合
例题：
6，12，19，27，33，（），48
解析：
612192733（）48
↘↙↘↙↘↙↘↙↘↙↘↙
6786（7）8
答案：
33+7=40
练习：
2，2，4，12，12，（），72
解析：
2241212（）72
↘↙↘↙↘↙↘↙↘↙↘↙
1231
（2）3
答案：
12x2=24
（3）特殊组合数列
例题：
1.01，2.02，3.04，5.08，（）
解析：
整数部分为和数列
1，2，3，5，（8）；
小数部分为等比数列
0.01，0.02，0.04，0.08，（0.16）
答案：
8+0.16=8.16
8、其它数列
（1）质数列及其变式
例题：
2，3，5，（），11，13
解析：
质数是只能被1和本身整除的数
答案：
7
练习：
4，6，10，14，22，（）
解析：
各项除以2即得到质数列
2，3，5，7，11，（13）
答案：
13x2=26
（2）合数列
例题：
4，6，8，9，10，12，（）
解析：
除去质数列剩下的不含1的
自然数为合数列
答案：
14
（3）分式最简式
例题：
133/57，119/51，91/39，
49/21，（），7/3
解析：
各项约分成最简分式的形式都为7/3
答案：
28/12
（4）无理式
（4）无理式
【例题1】2，5，8
A10B11C12D13
【解答】从上题的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。
题中第二个数字为5，第一个数字为2，两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即8+3=11，第四项应该是11，即答案为B。
【例题2】3，4，6，9，（），18
A11B12C13D
【解答】答案为C。
这道题表面看起来没有什么规律，但稍加改变处理，就成为一道非常容易的题目。
顺次将数列的后项与前项相减，得到的差构成等差数列1，2，3，4，5，……。
显然，括号内的数字应填13。
在这种题中，虽然相邻两项之差不是一个常数，但这些数字之间有着很明显的规律性，可以把它们称为等差数列的变式。
【例题3】3，9，27，81
A243B342C433D135
【解答】答案为A。
这也是一种最基本的排列方式，等比数列。
其特点为相邻两个数字之间的商是一个常数。
该题中后项与前项相除得数均为3，故括号内的数字应填243。
【例题4】8，8，12，24，60，（）
A90B120C180D240
【解答】答案为C。
该题难度较大，可以视为等比数列的一个变形。
题目中相邻两个数字之间后一项除以前一项得到的商并不是一个常数，但它们是按照一定规律排列的；1，1.5，2，2.5，3，因此括号内的数字应为60×3=180。
这种规律对于没有类似实践经验的应试者往往很难想到。
我们在这里作为例题专门加以强调。
该题是1997年中央国家机关录用大学毕业生考试的原题。
【例题5】8，14，26，50，（）
A2y3c8`3s（h!
QA76B98C100D
【解答】答案为B。
这也是一道等比数列的变式，前后两项不是直接的比例关系，而是中间绕了一个弯，前一项的2倍减2之后得到后一项。
故括号内的数字应为50×2-2=98。
【例题6】5，4，10，8，15，16，（），
A20，18B18，32C20，32D18，
【解答】此题是一道典型的等差、等比数列的混合题。
其中奇数项是以5为首项、等差为5的等差数列，偶数项是以4为首项、等比为2的等比数列。
这样一来答案就可以容易得知是C。
这种题型的灵活度高，可以随意地拆加或重新组合，可以说是在等比和等差数列当中的最有难度的一种题型。
【例题7】34，35，69，104，（）
A138B139C173D179
【解答】答案为C。
观察数字的前三项，发现有这样一个规律，第一项与第二项相加等于第三项，34+35=69，这种假想的规律迅速在下一个数字中进行检验，35+69=104，得到了验证，说明假设的规律正确，以此规律得到该题的正确答案为173。
在数字推理测验中，前两项或几项的和等于后一项是数字排列的又一重要规律。
育路教育社区.s"B$@6b#^:
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【例题8】5，3，2，1，1，（）
A-3B-2C0D2
【解答】这题与上题同属一个类型，有点不同的是上题是相加形式的，而这题属于相减形式，即第一项5与第二项3的差等于第三项2，第四项又是第二项和第三项之差……所以，第四项和第五项之差就是未知项，即1-1=0，故答案为C
【例题9】2，5，10，50，（）
A100B200C250D500
【解答】这是一道相乘形式的题，由观察可知这个数列中的第三项10等于第一、第二项之积，第四项则是第二、第三两项之积，可知未知项应该是第三、第四项之积，故答案应为D
【例题10】100，50，2，25，（）
A1B3C2/25D2/5
【解答】这个数列则是相除形式的数列，即后一项是前两项之比，所以未知项应该是2/25，即选C。
【例题11】1，4，9，（），25，36
A10B14C20D16
【解答】答案为D。
这是一道比较简单的试题，直觉力强的考生马上就可以作出这样的反应，第一个数字是1的平方，第二个数字是2的平方，第三个数字是3的平方，第五和第六个数字分别是5、6的平方，所以第四个数字必定是4的平方。
对于这类问题，要想迅速作出反应，熟练掌握一些数字的平方得数是很有必要的
【例题12】66，83，102，123，（）
A144B145C146D147
【解答】答案为C。
这是一道平方型数列的变式，其规律是8，9，10，11，的平方后再加2，故括号内的数字应为12的平方再加2，得146。
这种在平方数列基础上加减乘除一个常数或有规律的数列，初看起来显得理不出头绪，不知从哪里下手，但只要把握住平方规律，问题就可以划繁为简了。
【例题13】1，8，27，（）9
A36B64C72D81
【解答】答案为B。
各项分别是1，2，3，4的立方，故括号内应填的数字是64。
【例题14】0，6，24，60，120，（）
A186B210C220D226
【解答】答案为B。
这也是一道比较有难度的题目，但如果你能想到它是立方型的变式，问题也就解决了一半，至少找到了解决问题的突破口，这道题的规律是：
第一个数是1的立方减1，第二个数是2的立方减2，第三个数是3的立方减3，第四个数是4的立方减4，依此类推，空格处应为6的立方减6，即210。
【例题15】257，178，259，173，261，168，263，（）
A275B279C164D163
【解答】答案为D。
通过考察数字排列的特征，我们会发现，第一个数较大，第二个数较小，第三个数较大，第四个数较小，……。
也就是说，奇数项的都是大数，而偶数项的都是小数。
可以判断，这是两项数列交替排列在一起而形成的一种排列方式。
在这类题目中，规律不能在邻项之间寻找，而必须在隔项中寻找。
我们可以看到，奇数项是257，259，261，263，是一种等差数列的排列方式。
而偶数项是178，173，168，（），也是一个等差数列，所以括号中的数应为168-5=163。
顺便说一下，该题中的两个数列都是以等差数列的规律排列，但也有一些题目中两个数列是按不同规律排列的，不过题目的实质没有变化。
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