168自主招生试题及答案.docx
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168自主招生试题及答案
2009-2011年168自主招生试题及答案
2011年合肥168中学自主招生数学试题及答案
一、选择题
3、已知：
y=1/2（x的平方-100x+196+|x的平方-100x+196|）,当x=1，2，到100，求这100个自然数的和的函数值
解法一：
对于函数x^2-100x+196，它可因式分解为（x-2）（x-98），所以当x=2x=98时，这个函数为0
当2
所以当x=2、3、、4、……、98时，y都为0
当x=0时，y=1/2*（196+196）=196
该函数的抛物线为x=50，所以x=1和x=99的值相等，当x=1时，y=1^2-100+196=97
所以这100个自然数的值为196+97*2=390
解法二：
当2≤x≤98时，因为x^2-100x+196=（x-2）*（x-98）≤0，
所以恒有y=[x^2-100x+196-（x^2-100x+196）]/2=0,
当x=1,99,100时，y=[x^2-100x+196+（x^2-100x+196）]/2=x^2-100x+196。
y
（1）=y（99）=97，y（100）=196。
所以：
y
（1）+y
（2）+y（3）+y（4）+……+y（97）+y（98）+y（99）+y（100
=97+0+0+0+……+0+0+97+196=390。
5、设a平方+1=3a，b平方+1=3b,且a不等于b，则代数式1/a平方+1/b平方的值是
解：
a²＋1=3a，b²＋1=3b，则：
a、b是方程x²＋1=3x即x²－3x＋1=0的两个根，则：
a＋b=3且ab=1
1/a²＋1/b²=[a²＋b²]/（ab）²=[（a＋b）²－2ab]/（ab）²=7
6、如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）
解：
小球周长和三角形边长相等，因此在每条边转动了360°（即转1圈）
三条边一共3圈。
每经过一个顶点，需要转120°：
180-60=120°
三个顶点一共多转了120*3=360°，即1圈
因此，一共转了4圈，（或者1440°
7、如图，等边△ABC的边长为10cm,以AB为直径的⊙O分别于,CA,CB于DE两点，则图中阴影部分的面积为
解：
解：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°
又∵AB是⊙O的直径，
∴AO=AD=DO=BO=BE=EO=1/2AB=5
∴∠DOE=60°
∴S⊿ADO+S⊿BEO=2×（1/2）×5×（5/2）√3=（25/2）√3
S扇形ODE=（60°/360°）×π×5²=（25/6）π
又∵S⊿ABC=（1/2）×10×5√3=25√3
∴阴影部分的面积为：
S⊿ABC－S⊿ADO－S⊿BEO－S扇形ODE
=25√3-（25/2）√3－（25/6）π
=（25/2）√3－（25/6）π
8、如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D点的任一点，且∠NMB=∠MBC,求tan∠ABM的值
解：
过点N作直线NO平行于MB，交BC于点O
∵∠NMB=∠MBC,NO‖MB
∴四边形BMNO为等腰梯形
∴BO=MN
∵N是DC的中点
∴BO²=MN²=DM²+DN²=（AB-AM）²+（AB/2）²
∵NO‖MB,AD‖BC
∴∠AMB=∠MBC=∠NOC
∴⊿AMB∽⊿CON
∴OC/CN=AM/AB=（AB-BO）/（AB/2
∴BO=AB-AM/2
得到方程式
AB-AM）²+（AB/2）²=（AB-AM/2）²
解方程得：
AB²-2*AB*AM+AM²+AB²/4=AB²-AB*AM+AM²/4
AB²/4-AB*AM+3/4*AM²=0
AB/2-3/2*AM）（AB/2-AM/2）=0
AB=AM或AB=3AM
∵AB=AM时M重合于D，不合题意。
∴AB=3AM
∴tan∠ABM=AM/AB=1/3
二、填空题
10.若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．
解不等式1得x
解不等式2得x>2-3a
结合两解得2-3a
而x有四个整数解，观察上式可知，这四个整数解为20、19、18、17，
所以16
-5
11.在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=5，P是三角形ABC内一点，且PA=根号5，PC=5，则PB=？
作PH⊥AC，BG⊥AC，垂足H，G，
PI⊥BG，垂足I，
∵△ABC是等腰RT△，
∴AC=√2AB=5√2，
在△PAC中，根据勾股定理，
PA^2-AH^2=PC^2-CH^2=PH^2
5-AH^2=5^2-（5√2-AH）^2,
∴AH=3√2/2，
∵AG=AC/2=5√2/2，
∴HG=AG-AH=√2，
PH=√（PA^2-AH^2）=√2/2，
∵BG=AC/2=5√2/2，
∵四边形PHIG是矩形，
∴IG=PH=√2/2，
PI=HG=√2，
BI=BG-IG=BG-PH=2√2，
在RT△BPI中，根据勾股定理，
PB^2=BI^2+PI^2=8+2=10，
∴PB=√10。
12、已知圆环的内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套环地连成锁链如图1,单位;cm,那么这条锁链拉直的长度是多少厘米?
50个内径共50acm，外加两边两个外径（b-a）cm，共50a+b-a=49a+b（cm）。
13.下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：
图
（2）比图
（1）多出2个“树枝”，图（3）比图
（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出（）个“树枝”。
答案60
解：
∵图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，
∴图形从第2个开始后一个与前一个的差依次是：
2，22，…，2n-1．
∴第5个树枝为15+24=31，第6个树枝为：
31+25=63，
∴第（6）个图比第
（2）个图多63-3=60个．
故答案为：
60．
如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：
图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）
请问能不能用n来表示这个规律
A（n+1）比A（n）多2^n树枝
A（n）树枝总数为2^n-1
A6比A2多2^6-2^2=60
14.已知对于任意正整数n都有a1+a2+...+an=n^3,则（1/a2-1）+（1/a3-1）+...+（1/a100-1）=_____a1+a2+...+a（n-1）+an=n³（1
a1+a2+...+a（n-1）=（n-1）³（2
1）-（2
an=n³-（n-1）³
=[n-（n-1）][n²+n（n-1）+（n-1）²]
=3n²-3n+1
1/（an-1）=1/（3n²-3n+1-1）=1/（3n²-3n）=（1/3）×1/（n²-n）=（1/3）×1/[n（n-1）]=（1/3）[1/（n-1）-1/n]
1/（a2-1）+1/（a3-1）+...+1/（a100-1
=（1/3）[1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/（99）-1/100]
=（1/3）（1-1/100
=（1/3）（99）/100
=33/100
已知对于任意正整数n，都有a1+a2+……+an=n^3,则
11
如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x。
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：
△ABC的最大面积？
答案（找作业答案--->>上魔方格）
12
）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x，
，
x
若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解；
为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=，
x
为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=，满足1
或x=；
△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD=h，△ABC的面积为S，则S=甲所示，若点D在线段AB上，
，
+1-h2，即x=3x-4，）2-h2=x2-2x
h2）=9x2-24x+16，即x2h2=-8x2+24x-16，
，2h2=-2x2
+6x-4=-2
时（满足≤x
，从而S取最大值13，
乙所示，若点D在线段MA上，则
=-2x2+6x-4=-2（x-）2
+，，得，S2=
，时S
②得，△ABC的最大面积为。
17、如图所示,AB是圆O的直径,AB=d,过A作圆O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连接OC交圆O于点D,BD的延长线交AC于E，求AE的长
14
3
18、（2008•杭州）在直角坐标系xOy中，2设点A（0，t），点Q（t，b）（t，b均为非零常数）
．平移二次函数y=-tx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：
①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（|OB|＜|OC|）．连接AB．
2
（1）是否存在这样的抛物线F，使得|OA|=|OB|•|OC|？
请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=
，求抛物线F对应的二次函数的解析式．
考点：
二次函数综合题．
专题：
压轴题．
分析：
（1）平移二次函数y=-tx2的图象，得到的抛物线F，则抛物线的二次项系数不变，顶点
2为Q，则函数的解析式就可以直接写出．是y=-t（x-t）+b．|OB|•|OC|就是一元二次方程-t（x-t）
2+b=0的两根的积得绝对值，因而可以用根据韦达定理，利用t表示出来．而OA=t，根据|OA|2=|OB|•|OC|就可以得到一个关于t的方程．从而把问题转化为判断方程的解得问题．
（2）AQ∥BC即Q得纵坐标是b=t，得到抛物线F是：
y=-t（x-t）2+t．就可以求出B，C的坐标．已知tan∠ABO=
32
，就是已知OA与OB得比值，即t的关系．就可以转化为方程问题解决．
解答：
解：
（1）存在这样的抛物线F，使得|OA|2=|OB|•|OC|．
15
2013年合肥一六八中学自主招生考试数学试卷答案
1.C。
2.D。
（PD=7，PB=6）
3.B或C。
（若a+b+c≠0，则k=2，选B；若a+b+c=0，则k=-1，选C）
4.B。
（ax中若x为偶数则ax=-x/2，若x为奇数则ax=-x/2+1/2）
5.C。
（分别为1、1、7，1、2、4，1、3、1和2、1、2）
6.B。
（易证△OBC∽△BAC，可得比例式1：
a=a：
（a+1），解方程并排除负解得B）
7.B。
（由n+m=4s，可知AD²/4+BC²/4=AB²即AD²+BC²=4AB²，作BE∥AD交CD于E，可证得△BEC是直角三角形且四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，AB=DE，
AD²+BC²=CE²，于是得4AB²=CE²即2AB=CE即2DE=CE，所以CD=3AB）
8.C。
（通过十字相乘法分解因式，得y=（nx-1）[（n+1）x-1]，故其与x轴交点为1/n和1/（n+1），所截得线段长度为1/n-1/（n+1）。
所以线段长度之和为
1-1/2+1/2-1/3+…+1/2013-1/2014=2013/2014）
9.3EQ\R（,3）。
（连接OB，OA⊥AP，OB⊥BP，易算出∠BAP和∠ABP为60°，于是得△ABP为等边三角形；易算出AB=EQ\R（,3），所以周长为3EQ\R（,3））
10.27。
11.56。
（观察可知aij=[（i-1）²+j]×（-1）i+j+1）
12.5/18。
13.3EQ\R（,2）。
（显然AC是正方形ABCD的对称轴，∴对于在AC上的任意一个P点，都能满足PB=PD，所以PD+PE=PB+PE。
显然当P点恰为AC、BE的交点时PB+PE值最小，所以最小值为PB+PE=BE=AB=3EQ\R（,2））
14.2（易算出S△ABD=6，S△ABE=4，所以S△ABD-S△ABE=2，即S△ADF-S△BEF=2）
15.0°0。
所以2x-1和x+2同正或同负，解得x>1/2或x1/2即cosθ>1/2，得θ
16.
（1）化简得原式=1/（a²+2a），又由a²+2a-1=0可得a²+2a=1，∴原式值为1。
2）若a=b，则原式=1+1=2；
若a≠b，则a、b为x²+3x+1=0的两个根，由韦达定理可得a+b=-3，ab=1。
将原式化为（a+b）²/ab-2，代入，得原式值为7。
综上，原式的值为1或7。
17.
（1）作AF⊥BC于F，易得出BF=1，AF=EQ\R（,3）。
又BC=EQ\R（,3）+1，∴CF=EQ\R（,3）。
由勾股定理，得AC=EQ\R（,6）。
2）由
（1）及题目，易算出S△ABF=EQ\R（,3）/2，S△ACF=3/2。
∴S△ACE=EQ\R（,3）/2。
做法A：
由S=CE×AD/2可得AD=EQ\R（,6）/2，∴sin∠ACD=1/2，
∴∠ACD=30°。
做法B：
由S=sin∠ACD×CE×AC/2（面积公式），可得sin∠ACD=1/2，∴∠ACD=30°。
18.
（1）若0
\R（,3）/8（0
BP=NB/2=（4-t）/2。
同0
S=-EQ\R（,3）/12（t-2）²+EQ\R（,3）/3（2≤t
S的最大值为3EQ\R（,3）/8。
2）若BM=MQ，当0
\R（,3）/3-EQ\R（,3）t/6）=t，解得t=2EQ\R（,3）-2（舍去）。
若MQ=BQ，当0
\R（,3）t/3），解得t1=2，t2=0（舍去）。
当2≤t
19.
（1）由垂直平分可得BE=DE，设BE=DE=x，则有（3-x）²+（EQ\R（,3））²=x²，得x=2。
故DE=2。
2）由
（1）及题目可得AE=1，则∠AEB=60°。
易证∠DFE=∠BEF=∠EBF=60°，BE=FE，BG=BM=FN，∴△BEG和△FEN全等（SAS），∴∠GEN=∠BEF=60°。
20.题目缺失
21.
（1）把A（1，-4）代入直线表达式得y=2x-6，算出B点坐标为（3，0），将A、B两点代入抛物线表达式，得y=x²-2x-3。
2）存在。
∵OP为公共边，OB=3=OC，∴要使两三角形全等，可使∠POB=∠POC，即P点在直线y=-x上。
计算得出直线y=-x与抛物线在第二象限的交点坐标为（1/2-EQ\R（,13）/2，EQ\R（,13）/2-1/2）。
3）若∠QAB=90°，则可设直线QA的表达式为y=-x/2+b，将A点坐标代入，得y=-x/2-7/2，故Q点坐标为（0，-7/2）。
若∠QBA=90°，同上可设QB的表达式为y=-x/2+b，将B点坐标代入，得y=-x/2+3/2，故Q点坐标为（0，3/2）。
若∠AQB=90°，可设QA表达式为y1=-x/k+b，则QB表达式为y2=kx+b。
将A点坐标代入y1，B点坐标代入y2，可得k1=1，b1=-3；k2=1/3，b2=-1。
∴当k=1时，Q点坐标为（0，-3）；k=1/3时，Q点坐标为（0，-1）。
综上所述，Q点的坐标为（0，-7/2）或（0，3/2）或（0，-3）或（0，-1）。
4）不存在，理由如下：
作线段AB的中垂线MN，在A点左侧交抛物线于点M，在A点右侧交抛物线于点N，交线段AB于点E，则E点坐标为（2，-2）。
设直线MN的表达式为y=-x/2+b。
把E点代入直线MN，得y=-x/2-1。
计算得M点坐标为（3/4-EQ\R（,41）/4，-11/8+EQ\R（,41）/8），N点坐标为（3/4+EQ\R（,41）/4，-11/8-EQ\R（,41）/8）。
易算出EA=EB=EQ\R（,5），∴若能构成等边三角形，则等边三角形的高为EQ\R（,5）×EQ\R（,3）=EQ\R（,15）。
计算可知ME和NE都不等于EQ\R（,15），∴不存在这样的点R。
2010年综合素质测试试卷
物理
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
以下各题中只有一个答案正确）
1、物理小组的同学想利用闪电河雷声的时间间隔算闪电发生位置到他们的距离，以下是四
位同学提出的不同方案，其中计算结果误差最小的应该是（）
A、记录刚刚看到闪电至刚刚听到雷声的时间，再乘以声速
B、记录刚刚看到闪电至雷声刚刚结束的时间，再乘以声速
C、由两位同学分别按选项A、B两种方法测量时间，求平均值后，再乘以声速
D、由一位同学按照选项A的方法，多测几次对应不同闪电与雷声的时间间隔，求平均
值后，再乘以时间
2、原子是由电子、质子与中子等更微小的粒子所构成。
若以○、●和分别代表电子、质子与中子，则下列各示意图中，哪个带负电（）
3、如图所示、B为AC的中点，蜡烛烛焰通过凸透镜后在右侧的光屏上成一个清晰的缩小的像，则凸透镜（）
A、应该放在B、C之间的某处
B、应该放在A、B之间的某处
C、应该放在B点
D、可能放在蜡烛的左侧某处
4、如图所示，规格完全相同的滑轮组用相同的绳子绕成甲、乙两个滑轮组，分别提起重为G1、G2两个物体，比较它们省力情况和机械功率（不计摩擦），下列说法正确的是（）
A、若G1=G2，则F1＜F2，甲的机械效率较高
B、若G1=G2，则F1＞F2，乙的机械效率较高
C、若G1＜G2，则F1＞F2，甲的机械效率较高
D、若G1＜G2，则F1＜F2，乙的机械效率较高
第4题图第5题图第6题图
5、玩具小船装有电池和螺旋管（有铁芯）组成的闭合电路，如图把小船按图示的方向静止
在水面上，放开小船，闭合开关，船头最后的指向是（）
A、向东B、向南C、向西D、向北
6、如图所示，滑动变阻器M的总电阻为10Ω，滑动变阻器N的总电阻为200Ω，电阻R
的阻值为20Ω。
为了使电压表的示数略微增大，应该（）
A、把N的滑片向左移一小段距离B、把M的滑片向左移一小段距离
C、把N的滑片向右移一小段距离D、把M的滑片向右移一小段距离
7、甲乙两个实心均匀正方体物块放在水平地面上，它们的质量相等，密度关系是ρ甲＞ρ乙，
当在甲、乙两物块上分别放重为G1、G2的物体或分别施加竖直向上的F1、F2（F1、F2均
小于物块重力）时，甲、乙两物块对水平地面的压
强相等，则G1与G2、F1与F2的大小关系是（）
A、G1＞G2，F1＞F2B、G1＞G2，F1＜F2
C、G1＜G2，F1＜F2D、G1＜G2，F1＞F2
8、电动自行车轻便、实用、无污染，很受人们喜爱。
右表列出了某种型号电动自行车的相关数据，若某人骑该自行车在2h
内匀速行驶36km，且此人的质量为60kg，则这辆自行车与匀速行驶时的工作电流为（）
A、4.25AB、3.75AC、3.50AD、3.25A
9、甲、乙两种物质，质量之比为4:
1，放出热量之比是3:
1，则它们的比热容之比和降低温度之比分别是下列四种情况，可能
满足题设条件的是（）
①1：
1，3：
4②2:
1，1:
3③1:
2，3:
2④1:
3，9:
4
A、①②B、①③④C、②③D、①②④10、如图所示，体积为1×10m，材料用相同的两个金属球，分
别连接在弹簧的一端，弹簧的另一端固定在容器的底部。
甲
图装置内是水，弹簧对球向上的弹力为79N，乙图装置内是
某种液体，弹簧对球向上弹力为81N，则该种液体的密度为（g
取10N/kg）
A、7.9×10kg/mB、8.1×10kg/m
C、0.8×10kg/mD、0.2×10kg/m
二、填空题（本题共4小题，每空4分，共48分）
11、温度计越精确，则其玻璃泡的容积与细管的容积相差约
（选填“大”或“小”），
这是因为。
12、在某次测量中，用如图所示可以通过调整变阻器R和R’，使通
过电阻R1和R2的电流达到规定的值I1和I2，并由电流表指示出
其电流值。
正确操作的步骤是：
电路接通前，变阻器R的滑片应
放在（选填：
“A”或“B”）端，变阻器R’的滑片应放
在（选填：
“a”或“b”）端；电路接通后，先调节电
阻（选填“R”或“R’”），使电流表A1和电流表A2的示数
比值为I1／I2，再调节（选填“R”或“R’”）。
33333333-33
13、电磁波在真空中的传播速度等于m/s，某电磁波的频率为6×10Hz，此电磁波
的波长为m。
光纤通信实践上是利用在光导纤维传
播的。
14、一小组同学使用了如图所示装置测滑动摩擦力：
将A、B叠放，分
别用弹簧测力计去拉，当甲中A被拉动时，弹簧测力计a示数为60N，
示数为110N，则A、B间的滑动摩擦力为N
；弹簧测力计
a
、
示数不相等的原因
为或。
三、解答题（本题共4小题，共42分）
15、（10分）如图所示，A、B是两个完全相同的薄壁柱形金属容器，质量为0.5kg，底面
积为0.01m，分别装有2×10m的水和3×10m的酒精（ρ
（1）水的质量
（2）A容器对水平面的压强；
（3）是否有可能存在某一深度h，两个容器中的液体在增
大或减小同一深度h后，使容器中的液体对底部的压强达
到p水＞p酒？
若有可能请算出h的范围，若没有可能，说
明理由。
16、（8分）在如图所示的十字路口处，有一辆长10m、宽2.2m的客车，客车正以10m/
速度正常匀速行驶在马路中间，当它与斑马线的中点B相距60m时，马路边上小王同
学正好在斑马线中间A点出发沿AB穿过马路，A、B间距离为8m，问：
小王同学运动
的速度为多少时，能够安全过马路？
17、（10分）右图是一个加热、保温电路的一部分。
电
热丝R1规格为“220V1100W”，限流电阻R2=506Ω。
电路的工作原理是：
当温控开关S接a时，电热丝
R1接入电路，电路处于加热状态；当达到一定温度时，
温控开关S自动从a切换到b，电路处于保温状态。
正常工作时，加热功率1100W，保温功率88W。
（电源2-33-33酒精338=0.8×10kg/m）。
求：
电压保持不变，电阻不随温度变化。
）
（1）请你按照上述原理，对右上图进行连线，使它成为完整的电路图；
（2）某天在使用
（1）中已经连接完整的电路时，R1烧毁了。
有人想使电路恢复正常工作，设计了下面方案。
请通过计算、分析，对两个方案作出评价：
方案一：
用“220V220W”电热丝R3、“220V880W”电热丝R4串联替代R1；
方案二：
用两根都是“220V550W”的电热丝R5并联替代R1。
（3）请你选用下表所提供的电热丝，再设计一个方案，使
（2）中损坏的电路恢复正常工作，并说明设计理由。
18、（14分）如图是液压汽车起重机从水中打捞重物的示意图。
A是动滑轮，B是定滑轮，C是卷扬机，D是油缸，E是柱塞。
作用在动滑轮上共三股钢丝绳，卷扬机转动使钢丝绳
3带动动滑轮上升提取重物，被打捞的重物体积V=0.5m。
若在本次打捞前起重机对地面的
44压强p1=2.0×10Pa，当物体在水中匀速上升时起重机对地面
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