浙江高考数学复习专题限时集训2 解三角形含答案.docx
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浙江高考数学复习专题限时集训2解三角形含答案
专题限时集训
（二） 解三角形
（对应学生用书第114页）
[建议A、B组各用时：
45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1．（2017·杭州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
＝
，则cosB＝（ ）
【68334041】
A．－
B.
C．－
D.
B [由正弦定理，得
＝
＝
，即sinB＝
cosB，∴tanB＝
.又0，cosB＝
.]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA－
acosB＝0，且b2＝ac，则
的值为（ ）
【68334042】
A.
B.
C．2 D．4
C [由正弦定理得sinBsinA－
sinAcosB＝0.
∵sinA≠0，∴sinB－
cosB＝0，∴tanB＝
.又0＜B＜π，∴B＝
.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，即b2＝（a＋c）2－3ac.
又b2＝ac，∴4b2＝（a＋c）2，解得
＝2.故选C.]
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝（a－b）2＋6，C＝
，则△ABC的面积是（ ）
A．3B.
C.
D．3
C [∵c2＝（a－b）2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝
，∴c2＝a2＋b2－2abcos
＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6，
∴S△ABC＝
absinC＝
×6×
＝
.]
4．在△ABC中，c＝
，b＝1，∠B＝
，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D [根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.]
5．如图21，在△ABC中，C＝
，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2
，则cosA＝（ ）
图21
A.
B.
C.
D.
C [∵DE＝2
，∴BD＝AD＝
＝
.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得
＝
，∴
＝
×
＝
，∴cosA＝
，故选C.]
二、填空题
6．已知△ABC中，AC＝4，BC＝2
，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则
的值为__________.【68334043】
6 [在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6或AB＝－2（舍），则cos∠ABC＝
＝
，BD＝AB·cos∠ABC＝6×
＝
，CD＝BC－BD＝2
－
＝
，所以
＝6.]
7．如图22，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130m，则塔的高度CD＝______m.
图22
10
[分析题意可知，设CD＝h，则AD＝
，BD＝
h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos120°，可得1302＝3h2＋
－2·
h·
·
，解得h＝10
，故塔的高度为10
m．]
8．如图23，△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝60°，若△ADC是锐角三角形，则DA＋DC的取值范围是__________．
图23
（6,4
] [在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12，即AC＝2
.设∠ACD＝θ（30°<θ<90°），则在△ADC中，由正弦定理得
＝
＝
，则DA＋DC＝4[sinθ＋sin（120°－θ）]＝4
＝4
sin（θ＋30°），而60°<θ＋30°<120°，4
sin60°sin90°，即6.]
三、解答题
9．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB＝（2a＋c）sinA＋（2c＋a）sinC.
（1）求B的大小；【68334044】
（2）若b＝
，A＝
，求△ABC的面积．
[解]
（1）∵2bsinB＝（2a＋c）sinA＋（2c＋a）sinC.
由正弦定理得2b2＝（2a＋c）a＋（2c＋a）c，1分
化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，2分
∴cosB＝
＝
＝－
.4分
∵0.5分
（2）∵A＝
，∴C＝π－
－
＝
－
，6分
∴sinC＝sin
＝sin
cos
－cos
sin
＝
.8分
由正弦定理得
＝
，9分
∵b＝
，B＝
，∴c＝
＝
，12分
∴△ABC的面积S＝
bcsinA＝
×
×
×sin
＝
.14分
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
＝
.
（1）求
的值；
（2）若角A是钝角，且c＝3，求b的取值范围．
[解]
（1）由题意及正弦定理得sinCcosB－2sinCcosA＝2sinAcosC－sinBcosC，1分
∴sinCcosB＋sinBcosC＝2（sinCcosA＋sinA·cosC），
∴sin（B＋C）＝2sin（A＋C）.3分
∵A＋B＋C＝π，4分
∴sinA＝2sinB，∴
＝2.5分
（2）由余弦定理得cosA＝
＝
＝
<0，8分
∴b>
.①10分
∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，②12分
由①②得b的取值范围是（
，3）.14分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1．（2017·温州第二次适应性测试）设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋BA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由A＋B＋C＝π，A＋B
，故三角形ABC为钝角三角形，反之不一定成立．故选A.]
2．在△ABC中，B＝
，BC边上的高等于
BC，则cosA＝（ ）
A.
B.
C．－
D．－
C [法一：
设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC＝
a·
a＝
acsinB，∴c＝
a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋
a2－2×a×
a×
＝
a2，∴b＝
a.
∴cosA＝
＝
＝－
.故选C.
法二：
同法一得c＝
a.
由正弦定理得sinC＝
sinA,又B＝
，∴sinC＝sin
＝
sinA，即
cosA＋
sinA＝
sinA，∴tanA＝－3，∴A为钝角．
又∵1＋tan2A＝
，∴cos2A＝
，
∴cosA＝－
.
故选C.]
3．（2017·台州市高三年级调考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1,2b－
c＝2acosC，sinC＝
，则△ABC的面积为（ ）
【68334045】
A.
B.
C.
或
D.
或
C [根据正弦定理可得2sinB－
sinC＝2sinAcosC，而sinB＝sin（A＋C），整理为2cosAsinC＝
sinC，因为在△ABC中，sinC≠0，所以cosA＝
，所以A＝30°，又
＝
，解得c＝
.因为sinC＝
，所以C＝60°或C＝120°，当C＝60°时，B＝90°，此时△ABC的面积为S＝
acsinB＝
；当C＝120°时，B＝30°，此时△ABC的面积为S＝
acsinB＝
，故选C.]
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝
acosC，则sinA＋sinB的最大值是（ ）
A．1B.
C．3D.
D [∵csinA＝
acosC，∴sinCsinA＝
sinAcosC.
∵sinA≠0，∴tanC＝
，
∵0＜C＜π，∴C＝
，
∴sinA＋sinB＝sinA＋sin
＝
sinA＋
cosA＝
sin
.
∵0＜A＜
，∴
＜A＋
＜
，
∴
＜
sin
≤
，
∴sinA＋sinB的最大值为
.故选D.]
二、填空题
5．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cosA＝__________.【68334046】
[由题意可知S△ACD∶S△BCD＝4∶3，
∴AD∶DB＝4∶3，AC∶BC＝4∶3，在△ABC中，由正弦定理得
sinB＝
sinA，
又B＝2A，∴sin2A＝
sinA，∴cosA＝
.]
6．（2017·温州第一次适应性检测）已知钝角△ABC的面积为
，AB＝1，BC＝
，则角B＝________，AC＝________.
[由题意可得
×1×
sinB＝
，则sinB＝
，当B＝
时，由余弦定理可得AC＝1，此时△ABC是直角三角形，不是钝角三角形，舍去，所以B＝
，则AC2＝1＋2＋2＝5，AC＝
.]
三、解答题
7．已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足
＝
，函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（1）证明：
b＋c＝2a；
（2）若f
＝cosA，证明：
△ABC为等边三角形．
[证明]
（1）∵
＝
，
∴sinBcosA＋sinCcosA＝2sinA－cosBsinA－cosCsinA，2分
∴sinBcosA＋cosBsinA＋sinCcosA＋cosCsinA＝2sinA，4分
sin（A＋B）＋sin（A＋C）＝2sinA，
sinC＋sinB＝2sinA，
∴b＋c＝2a.6分
（2）由题意知，
＝
，解得ω＝
，7分
∵f
＝sin
＝
＝cosA，A∈（0，π），
∴A＝
，8分
由余弦定理知，cosA＝
＝
，
∴b2＋c2－a2＝bc.∵b＋c＝2a，
∴b2＋c2－
2＝bc，
即b2＋c2－2bc＝0，∴b＝c.10分
又A＝
，∴△ABC为等边三角形.12分
8．（2017·浙东北教学联盟高三一模考试）在△ABC中，角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知cos（A－B）＋cosC＝
sin（A－B）＋
sinC.
【68334047】
（1）求角B的大小；
（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．
[解]
（1）法一：
在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则cos（A－B）－cos（A＋B）＝
sin（A－B）＋
sin（A＋B），
化简得2sinAsinB＝2
sinAcosB，5分
由于0＜A＜π，0＜B＜π，sinA≠0，
则tanB＝
，解得B＝
.9分
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