壹数学领域能力指标分析.docx

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壹数学领域能力指标分析

數學本質概念---因數與倍數

1、因數與倍數

2、公因數與最大公因數

3、質數與合數

4、因數分解與質因數分解

5、倍數

6、公倍數與最小公倍數

7、短除法

1、因數與倍數：

（1）數學結構：

在國小數學中，因數與倍數的討論，以正整數為範圍。

因數與倍數及其關係，在數學結構上，是由「除法原理」去判斷兩整數相除，其餘數是否為零而定。

而所謂的歐幾里得的除法原理是指：

若有a、b兩個正整數，則必可找到q、r兩個非負整數，滿足a＝b×q＋r的關係，且b＞r≧0，此時，a為被除數、b為除數、q為商數，而r稱為餘數；並且可記為：

a÷b=q…r當r＝0，我們可以說「b整除a」或「a被b整除」；由此定義「b是a的因數」，或稱「a是b的倍數」。

●因數問題

因數問題是指定一個正整數，詢問以哪些正整數為單位量，可以乘法性地合成這個指定的正整數？

例如：

探討6的因數時，一個「6」是6；二個「3」是6；三個「2」是6；六個「1」是6，因此「6」、「3」、「2」、「1」皆是可以乘法性地合成6的單位量，稱之為6的因數。

因此，相對而言，因數問題是向內探討組成一個正整數的單位量；而倍數問題是向外探討以一個正整數為單位量，可以生成哪些正整數，這是兩個相反方向的問題探討。

本單元（第十冊第四單元）活動在給定總數並尋找可能的單位量數值問題中，討論因數的意義；在乘數未知算式填充題情境下，討論積數是否為被乘數的倍數，介紹倍數的意義。

（2）認知結構

●整數的認知：

本單元前半部分，先引入「整數」的名詞，在正整數、小數與分數數字並置的情境下，區辨三類數字格式上的差異，學童已知像「1.98，0.02，2.8」這些數字，叫做「小數」；像「1/100，20/10，18/9」這些數字，叫做「分數」；進而討論像「2，2000，198」這些數字，叫做「整數」。

在數學上，常將整數分成正整數、零與負整數三個部分，有時也將整數分成全數與負整數兩部分，在國小階段所討論的整數只有全數，也就是正整數與零兩部分，但是全數並不是我國傳統文化中常使用的名詞，不宜出現在國小課本中；本教材選擇「整數」當做與學童溝通的名詞。

2、公因數與最大公因數：

（1）數學結構：

透過兩量可以有哪些共同的單位量組成的討論，初步地討論公因數的概念。

探討一個指定正整數有哪些因數（第十冊第四單元）為基礎，可以探討兩個正整數有哪些共同因數的問題，這些共同的因數稱為公因數。

延續第九冊第十一單元的活動經驗，本單元的活動協助學童進行公因數的探討；引入公因數的名詞討論；在列出所有的公因數情況下，討論何者為最大公因數。

（2）認知結構：

●公因數的發展：

1.本冊第九單元使用除法的觀點，由總量為起點，探討可能組成的單位量，來處理因數的啟蒙問題。

2.接著透過探討兩個量是否有共同組成的單位量的方式，引入公因數的啟蒙問題；甲、乙兩個量（例如12與18），以1、2、3、4、6、12為單位量都可以組成12，而以1、2、3、6、9、18為單位量可以組成18，其中1、2、3、6既是組成12的單位量，又是組成18的單位量，教材透過12與18都可以由1、2、3、6這些單位量組成的方式，引入公因數的初步概念。

3、質數與合數的概念：

（1）數學結構：

質數：

一個正整數如果只有1和自己兩個因數，我們叫它「質數」。

合數：

一個正整數如果除了1和自己兩個因數以外，還有其它的因數，我們叫它「合數」。

在數學上，定義1不是質數，因為如果1是質數，則違反算術基本定理：

每一個正整數，都可以表示為質數的連乘積，且若不計質因數的次序，其表示法為唯一。

本單元（第十冊第四單元）在因數探討的問題情境下，討論質數與合數的意義及判別方法。

（2）認知結構：

●因數、質數與合數的認知：

1.方陣排列－本教材在第九冊第九單元，先透過學童習慣的方陣排列問題，探討給定總量方陣的可能排法。

2.包含除及等分除的情境問題－透過包含除及等分除的情境問題給定總量，要求學童回答可能的等分組方式，經由討論，希望學童掌握總量可以由哪些單位量組成的意義，因為因數是由除法原理引導出來的，在討論中，期望避免學童以部分的觀點，透過合成的方式來看問題，而能由全體的觀點，透過分解的方式來看問題，透過活動，讓學童經驗單位量及單位數是成對出現的，並經驗數概念的乘法性結構，逐漸培養學童測量運思的發展。

3.使用倍的情境形成因數的概念－為了讓學童在各種情境問題中，都能掌握總量可以由哪些單位量組成的意義，並使用除法算式記錄解題過程，逐步形成因數的概念，本單元（第十冊第四單元）活動示例1延續第九冊第九單元的活動經驗，在倍的情境中，給定總數，要求學童解決可能的單位量數值問題，透過限制學童使用除法算式，來記錄解決被乘數未知問題的解題過程的方式，希望學童在各種情境中，都能掌握總量可以由哪些單位量組成的意義，並使用除法算式記錄解題過程。

引入「小數」、「分數」與「整數」的名詞後，先透過學童熟悉的方陣排列問題「40個小朋友排成的長方形隊伍，一排一排的人數都要一樣多，而且要全部排完，一排可以分到幾個小朋友？

」，要求學童討論可以怎麼分，並限制使用有除號的算式把做法記下來。

接著脫離量的情境，要求學童看著紀錄，說出40除以多少，可以剛好分完，沒有剩下？

並透過「40除以2，剛好分完，沒有剩下，並且40和2都是整數，所以2是40的因數」的討論方式，引入因數的意義。

●教師宜注意：

1.國小階段內，因數的討論是限制在正整數範圍內，所以上述的「剛好分完」，是指整除的意思，若學童出商數為分數的狀況時，教師宜加以澄清。

2.部分的學童可能會使用嘗試錯誤的方式，求出某數的所有因數，例如以24為總數，學童透過判斷哪些正整數能被24整除的方式，決定24有哪些因數，如果有學童使用質因數分解的方式解題，透過算式24＝2×2×2×3找出所有的因數，教師宜淡化處理，請學童說明為什麼使用這種方式可以解題成功的理由。

3.82年課程標準中並沒有要求引入質數與合數的認識，因為如果不要求學童將正整數表示成質因數的連乘積，也不使用短除法的方式求最大公因數或最小公倍數，在國小階段不引入質數與合數的名詞，對學童而言，並不會有溝通上的困難。

因為現行課程在第九冊第一單元引入質數與合數的名詞，為了幫助參與實驗課程的學童，也能使用質數和合數的名詞，與現行課程的學童溝通數學問題，所以在活動示例3引入質數與合數的意義，先要求學童求出一個正整數所有的因數，在討論該正整數有哪些因數的情境下，區分質數與合數的類別，若只有1和自已兩個因數，則該正整數稱之為質數；若還有其他的因數，則該正整數稱之為合數。

若有學童提問1是不是質數？

教師應說明1不在質數的討論範圍之內，質數的討論範圍在比1大的正整數內。

4、因數分解與質因數分解：

（1）數學結構：

質因數：

一個質數如果是某一個整數的因數，它是該整數的「質因數」，例如：

2是質數，2也是20的因數，所以2是20的質因數。

1不是質數，所以１不會是任何整數的質因數。

質因數分解：

將一個整數表示成其質因數連乘積的活動稱之為「質因數分解」，依據算術基本定理：

每一個正整數，都可以表示為其質因數的連乘積，且若不計質因數的出現次序，其表示法為唯一。

以60為例，60的質因數分解紀錄可以是3×2×2×5，也可以是2×5×2×3或5×2×2×3…，若不計質因數的次序，它們都是表示2個「2」、1個「3」和1個「5」的連乘積。

本單元（第十一冊第一單元）活動由「將一個數表示成兩個因數的乘積」開始，逐步地引導學童將一個數表示成質因數的連乘積，介紹「因數分解」與「質因數分解」的名詞，並透過解題過程的探討，突顯質因數分解的意義，並介紹如何使用短除法來記錄質因數分解的過程。

（2）認知結構：

●因數分解與質因數分解的發展：

現行課程在第九冊引入「因數分解」、「質因數分解」的名詞，要求學童對一個合數做「因數分解」或「質因數分解」，同時也引入「短除法」的名詞，要求學童使用短除法的方式求二、三個數的最大公因數或最小公倍數；為了幫助參與實驗課程的學童，也能使用「因數分解」、「質因數分解」或「短除法」的方式，與現行課程的學童溝通數學問題，並且能看懂現行課程學童使用短除法求兩數的最大公因數及最小公倍數活動的紀錄，所以本單元活動示例５先引入「因數分解」，接著在活動示例７再引入「質因數分解」，幫助學童認識「因數分解」與「質因數分解」的意義，最後在活動示例８中，幫助學童看懂別人如何使用短除法來表示質因數分解的解題過程，做為本冊第三單元幫助學童看懂別人使用短除法求最大公因數或最小公倍數活動的紀錄的預備經驗。

活動示例5要求學童先將一個合數（例如：

12）表示成兩個比1大的數的乘積（例如：

12＝3×4），並幫助學童發現這兩個比１大的數（例如：

3和4）都是原合數12的因數，接著溝通像這樣把12表示成兩個因數乘積3×4的活動叫做「因數分解」。

活動示例6則要求學童，將一個合數表示成三個比1大的數的連乘積，擴充「因數分解」的意義。

在第十冊第四單元，本教材已引入「因數」及「質數」的名詞，本單元則綜合這兩個名詞的意義，引入「質因數」的名詞；活動示例7先透過2是20的因數，2也是質數的方式，來溝通2是20的「質因數」的意義，再幫助學童發現質數不能再繼續分解成兩個比１大的整數的乘積，最後則要求學童將一個合數分解成質因數的連乘積，並溝通像這樣將一個合數分解成質因數連乘積的活動，叫做「質因數分解」。

●教師宜注意：

1.本教材將短除法視為學童反省與溝通如何求出質因數連乘積的另一種記錄格式，而不是另一種求質因數連乘積的解題策略。

2.本教材不要求學童學習各種質因數的判斷法。

3.本課程不要求學童記憶100以內有哪些質數，教師在教學活動或紙筆測驗時，質因數的範圍皆宜限制在13以內。

5、倍數：

（1）數學結構：

倍數問題是討論一個正整數，可以由這個正整數為單位量，經由乘法的方式來產生哪些正整數。

如12有哪些倍數時，1個12是12、2個12是24、3個12是36、4個12是48…，所以12、24、36、48都是12的倍數。

（1）認知結構：

●倍數概念的學習發展：

1.整除方式引入因數：

本單元（第十冊第四單元）活動示例2透過整除的方式引入因數的意義，因為因數與倍數間有相互的關係，在數學上都是直接透過因數引入倍數：

若a是b的因數，就等同於b是a的倍數。

本教材認為若採用此種方式引入倍數，對測量運思尚未發展完全的學童而言，不易掌握倍數的意義，因此，本單元活動示例10，布置乘數未知的乘法算式填充題例如：

2×（）＝10，先要求學童解題，再引入倍數的意義：

10是2的5倍，而且2、5、10都是整數，所以說10是2的倍數。

2.正整數倍－在國小階段，討論倍數時，並不包含0，因為在日常生活中，不易找到例子讓學童接受任何正整數都可以當做單位量來組成0，也就是說學童不易接受0是任意正整數的倍數。

另外，教師宜注意，當討論甲是乙的倍數時，指的是甲、乙兩個正整數滿足甲數除以乙數的商數也是整數的關係，與日常生活中談論的甲量是乙量的幾倍有些不同，日常生活中的幾倍指的是數量上的多少倍，甲量或乙量並不一定是整數，兩者間也不一定要滿足整數倍的關係，例如我們常說1公斤的甲物是2公斤乙物的0.5倍，但是1不是2的倍數，我們也常說2是0.5的4倍，但是2也不是0.5的倍數，因為0.5不是整數。

●教學過程：

為了幫助學童能察覺到因、倍數間的關係，並經驗數概念的乘法性結構，逐漸培養學童測量運思的發展，本單元活動示例11要求學童先求出一個正整數所有的因數，再要求判斷該正整數是否為其因數的整數倍，透過此種活動方式，幫助學童察覺一個正整數為其所有因數的倍數。

當學童有能力與方法判斷某數是否為另一數的倍數時，以某一正整數為起點，使用乘以整數倍的方式，求出該正整數在某一數量範圍內的所有倍數，不是太困難的事，這正是活動示例12中的問題情境，例如：

找出8在100以內的所有倍數，並記錄解題活動。

6、公倍數與最小公倍數：

（1）數學結構：

以探討一個指定正整數有哪些倍數（第十冊第四單元）為基礎，可以探討兩個正整數有哪些共同的倍數的問題，這些共同的倍數稱為公倍數。

第十冊第四單元的活動協助學童進行公倍數的探討，在列出某個範圍內所有的公倍數的情境下，討論何者為最小公倍數；並且討論下列兩個現象：

1.一個正整數是其所有因數的公倍數；2.兩個正整數相乘的積數為這兩個正整數的公倍數。

現行課程在第九冊中介紹了「短除法」的名詞，並要求學童使用短除法求兩（三）數的最大公因數及最小公倍數，為了幫助參與實驗課程的學童，也能使用「短除法」的名詞或紀錄，與現行課程的學童溝通數學問題，第十一冊第三單元在兩數及其最大公因數或最小公倍數的質因數連乘積的比較情形下，介紹短除法的紀錄格式，協助學童看得懂此紀錄格式所表達的解題過程。

（2）認知結構：

在本冊等四單元的活動經驗下，學童已能求出某數在某一數量範圍內的所有倍數，配合求取兩數公因數的經驗，本單元（第十冊第六單元）活動示例11在數的情境下，要求學童分別求出兩數（以3、4為例）在某一數量範圍內（比50小）的倍數，透過兩數各自的倍數的比較活動，引入公倍數的意義：

12是3的倍數，12也是4的倍數，所以，12是3和4的公倍數。

●教學過程：

本冊第四單元活動示例11，透過判斷一個整數是否為其因數的整數倍的方式，讓學童察覺此整數為其所有因數的倍數。

延伸上述經驗，本單元活動示例12幫助學童察覺一數是其所有因數的公倍數，活動中要求學童先求出某數（例如：

20）所有的因數，再透過判斷該數（20）是否為其所有因數（例如：

1，2，4，5，10，20）的倍數的方式。

幫助學童察覺一數是其所有因數的公倍數。

活動示例也透過要求學童先解決兩數相乘問題（以7和4的積是多少為例），幫助學童察覺兩數相乘的積數（28）為兩數（7與4）的公倍數，希望學童能不經過計算的過程，就直接能判斷兩數相乘的積數為兩數的公倍數。

活動示例13在數的情境中，要求學童先求出某數量範圍內所有可能的公倍數，再透過比較活動，找出其中最小的公倍數，引入最小公倍數的意義，預測學童可能使用下列兩種方式解決求最小公倍數問題：

第一種是先分別求出兩數在某數量範圍內所有的倍數，決定哪些是公倍數，再由其中找出最小公倍數。

第二種是依序找出某一數的倍數（2倍、3倍、4倍…），再判斷這數是否為另一數的倍數。

●教師宜注意：

如果學童使用現行課程中的短除法來求最小公倍數，教師宜淡化處理，現行課程中使用短除法的格式來求最大公因數與最小公倍數，但是其步驟並不盡相同（考慮用短除法求三個數的最大公因數與最小公倍數），學童如果不了解算術基本定理，無法溝通如何使用短除法求最小公倍數的意義。

與活動示例２求最大公因數的理由相同，本課程也不建議由兩數的質因數連乘積觀點來求最小公倍數。

當要求學童先找出兩數的最小公倍數，再利用短除法來討論最小公倍數與兩數的質因數分解的關係時，學童必須先確定，這兩數的最小公倍數的倍數，都是這兩個數的公倍數，才能比較最小公倍數與利用短除法表現其重新排序後相同的質因數與剩下的因數的連乘積是否相等，所以本單元活動示例３先幫助學童察覺兩數的最小公倍數的所有倍數都是其公倍數，做為活動示例４的預備經驗。

7、短除法：

（1）數學結構：

課程並不要求學童透過質因數的判斷法，找出一合數有哪些質因數，再使用短除法的格式，將一個合數表示成質因數的連乘積，透過下列活動，幫助學童看懂別人使用短除法求出質因數分解的解題紀錄。

要求學童先將一個合數分解成其質因數連乘積（以60＝3×2×2×5為例），再要求學童連同自己質因數連乘積的紀錄，透過解題過程的反省，改用有除號的算式告訴別人，是如何一個一個的將質因數3.2.2由60中分解出來，而得到最後一個質因數5，並介紹「短除法」的記錄格式，要求學童看著自己因數連乘積和除法算式的紀錄，把60分解成質因數連乘積的解題過程，再重新用短除法的格式記下來，幫助學童經驗短除法紀錄格式的意義。

因為學童質因數連乘積的紀錄可能有很多不同的類型（例如：

3×5×2×2；2×5×2×3；5×3×2×2；…等），教師應要求不同質因數連乘積紀錄的學童，檢查自己質因數連乘積與短除法紀錄中相對位置的關係。

（2）認知結構：

●用短除法求最大公因數：

1.給定兩個合數，要求學童先找出最大公因數，再將兩合數表示成質因數的連乘積，透過兩個質因數連乘積的比較，決定它們相同的部分，透過乘法交換律的概念，要求學童重新排列這兩個質因數連乘積，使它們相同的部分都能按同樣的順序排列在公乘積的前面。

2.將重新排列的質因數連乘積中相同的部分表現出來。

3.最後，將相同部分的連乘積計算出來，和原來求出來的最大公因數進行比較，經驗此同部分的連乘積恰好和最大公因數相同。

以求「72和60的最大公因數」為例：

要求學童先求出兩的最大公因數12，再要求學童分別將72和60分解成質因數的連乘積，透過比較，決定兩個質因數連乘積的相同部分是2.3.2，透過重新排列，將相同的部分按同樣的順序排列在連乘積的前面，形成「60＝2×3×2×5；72＝2×3×2×2×3」的紀錄；接著要求用短除法的格式重新記錄，描述如何將72和60中相同的質因數2.3.2一個個的分解出來，再要求學童求出共同質因數的連乘積是多少？

並與先前求出的最大公因數12比較，發現兩者的答案相同。

●用短除法求最小公倍數：

給定兩個合數，要求學童先找出最小公倍數，再將兩合數表示成質因數的連乘積，再利用短除法表現兩合數重新排序後相同質因數及剩下質因數的連乘積，比較並發現這個連乘積的結果與最小公倍的值相同。

以求「84和72最小公倍數」為例：

要求學童先求出兩數的最小公倍數504，再要求學童分別將84和72分解成質因數的連乘積，在兩質因數的連乘積的比較中，要求學童同時注意質因數的種類（例如：

72有2.3兩種質因數）與次數（其中2出現三次，3出現二次）兩個要素，接著要求學童重排這兩數質因數的連乘積，把相同的質因數排在前面，並且這些質因數同時出現多少次也要表現出來，再把剩下的質因數排在後面。

接著，要求學童依據重排後兩個質因數連乘積的紀錄，用短除法的格式重新記錄，描述如何將84和72中共同的質因數2.3和2，一個一個的分解出來；並探討84和72共同的質因數記在什麼地方，84和72剩下的因數記在什麼地方？

最後則要求學童計算共同的質因數與剩下的因數的連乘積是多？

並與先前求出的最小公倍數504比較，發現兩者的稱案相同。

●現階段學童迷思:

學童無法了解算術基本定理，因此無法理解使用質因數分解引入的短除法解題方式，雖然學童可以模仿成人的步驟，透過短除法的格式，來求出最大公因數，但是當學童找出2是18與24的因數，再找出3是9與12的公因數時，無法理解為什麼2×3會是18與24的最大公因數。