考研数三真题与答案解析完整版.docx
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考研数三真题与答案解析完整版
2013年考研数三真题及答案解析
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．、
１．当x0时，用o（x）表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）
2ox2ox
33
（A）（）（）
xox（B）o（x）o（x）（）
（C）o（x2）o（x2）o（x2）（D）o（x）o（x2）o（x2）
【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例
2xoxgxxox
332
如当x0时（）（）,（）（）
fxx，但f（x）g（x）o（x）而不是
2
o（x）故应该选（D）．
2．函数
f
x
x1
（x）的可去间断点的个数为（）
x（x1）lnx
（A）0（B）1（C）2（D）3
x
xlnx
【详解】当xlnx0时，x1e1~xlnx
，
x
x1xlnx
limf（x）limlim
xx（x1）ln
0xx
x0xxln
0
1
，所以x0是函数f（x）的可去间断点．
x
x1xlnx
limf（x）limlim
x1x（x1）lnx2ln
1xx
xx0
1
2
，所以x1是函数f（x）的可去间断点．
x
x1xlnx
limf（x）limlim
x
（1）ln
1x（x1）lnxx
x1x1
x
，所以所以x1不是函数f（x）的
可去间断点．
故应该选（C）．
３．设
2y
2
D是圆域D（x,y）|x1的第k象限的部分，记
k
Ik（yx）dxdy，则
D
k
（）
（A）0
I（B）I20（C）I30（D）I40
1
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
I
k
k1
1
2
k（yx）dxdy2d（sincosrdr（sinsin）d
）
2
k1
（k1）3
0
D22
k
1
3
sincos
k
2
k
|
2
1
所以
22
I1I0,I2,I4，应该选（B）．
3
33
４．设
a为正项数列，则下列选择项正确的是（）
n
（A）若
ana，则
n1
（1）
n1a收敛；
n
n1
（B）若
（
na收敛，则
1
1）
n
ana；
n1
n1
（C）若
n1
p
a收敛．则存在常数P1，使limnan存在；
n
n
（D）若存在常数P1，使
p
limna存在，则
n
n
n1
a收敛．
n
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．
此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一
条件lima0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，
n
n
选项（B）也不正确，反例自己去构造．
５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．
（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
【详解】把矩阵A，C列分块如下：
A1,2,,n,C1,2,,，由于ＡＢ＝Ｃ，
n
则可知（1,2,,）
ibi1bibinnin，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的
122
列向量组线性表示．同时由于B可逆，即
1
ACB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵
C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．
1a1200
6．矩阵aba0b0相似的充分必要条件是
与矩阵
1a1000
（A）a0,b2（B）a0，b为任意常数
（C）a2,b0（D）a2，b为任意常数
2001a1200
【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba0b0相
与矩阵
0001a1000
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
1a1
EAaba（
2bba
（2）22
2
）
1a1
从而可知2b2a22b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．
22
7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N（0,1）,X~N（0,2）,X~N（5,3），
23
PiP2Xi2，则
（A）P1P2P3（B）P2P1P3
（C）P3P2P1（D）P1P3P2
X
【详解】若X~N（,2），则~N（0,1）
X
2
P2
（2）1，PP2X2P112
（1）1，
122
2
P
3
P2X2P
3
2
3
5
X
3
3
5
2
3
5
（
1）
7
3
7
3
1）
，
7
P3P13
（1）23
（1）0．
2
3
故选择（A）．
8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为
X0123P
P1/21/41/81/8
Y-101
P1/31/31/3
则PXY2（）
（A）
1
12
（B）
1
8
（C）
1
6
（D）
1
2
【详解】
PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1
1
12
1
24
1
24
1
6
，故选择（C）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把
答案填在题中横线上）
2
9．设曲线yf（x）和yxx
在点1,0处有切线，则
lim
n
nf
n
n2
．
【详解】由条件可知f10,f'
（1）1．所以
2
f1f
（1）
nn2
limnflim2f
2n2
n2n
n
n22n
'
（1）2
x
10．设函数zzx,y是由方程zyxy
【详解】
z
确定，则|（1,2）
x
．
x
设Fxyzzyxy
,（），则
xx1
Fxx,yzzyzyyFxyzxzy，
（）l）,（,n,）（）（
z
z
当x1,y2时，z0，所以|（1,2）22ln2
x
．
lnx
11．dx
1
（1）2
x
．
【详解】
lnx1lnx1
dxlnxd|dxln
1
12x
（1x1x1x1x（1
）1x）
x
1
|
1
ln2
1
12．微分方程0
yyy的通解为．
4
1
r，两个特征根分别为
【详解】方程的特征方程为0
4
x
解为2
y（C1Cx）e，其中C1,C2为任意常数．
2
1
1，所以方程通
2
2
13．设
Aa是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足
ij
Aijaij0（i,j1,23），则A=．
T
【详解】由条件Aija0（i,j1,2,3）可知*0
AA，其中A*为A的伴随矩阵，从ij
而可知
A
T31
*
*AAA，所以A可能为1或0．
n,r（A）n
但由结论
*T
r（A）1,r（A）n1可知，AA*0可知r（A）r（A*）,伴随矩阵的秩只
0,r（A）n1
能为3，所以A1.
14．设随机变量X服从标准正分布X~N（0,1），则EXe2X．
【详解】
E
2X
Xe
222
x（x2）（x2）
2
1xe
2
2x2
xeeedx（x22）e
2dx
2
222
dx
2
e
2
te
t
2
2
dt
2
e
2
t
2
dt
2
e
E（X
）
2
2e
2
2e
．
所以为
2
2e．
三、解答题
15．（本题满分10分）
当x0时，1cosxcos2xcos3x与
n
ax是等价无穷小，求常数a,n．
【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式．
1
2ox2
【详解】当x0时，（）
cxo1sx，
2
cos2
1
2ox2xox
22
x1（2x）（）12（），
2
19
2ox2x2ox
2
cos3x1（3x）（）1（），
22
所以
1cosxcos2xcos3x1（1
，
1
2
9
2ox2xoxxoxxox
222222
x（））（12（））（1（））7（
2
）
由于1cosxcos2xcos3x与
n
ax是等价无穷小，所以a7,n2．
16．（本题满分10分）
设D是由曲线
y，直线xa（a0）及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x3x
3x
轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10VxVy，求a的值．
【详解】由微元法可知
25
aa
32
33
Vxydxxdxa；
00
5
V
47
6
aa
33
y2xf（x）dx2xdxa；
07
0
由条件
10VxV，知a77．
y
17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求
x
2．
dxdy
D
【详解】
D
416
23x68x
22222
xdxdyxdxdyxdxdyxdxdyxdxdy．
xx
03
2
DD33
12
18．（本题满分10分）
Q
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60,（P
1000
是单价，单位：
元，Q是销量，单位：
件），已知产销平衡，求：
（1）该的边际利润．
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．
（3）使得利润最大的定价P．
【详解】
2
Q
（1）设利润为y，则6000
yPQ（600020Q）40Q，
1000
Q
边际利润为y'40.
500
（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．
经济意义为：
当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．
20000
（3）令y'0，得40.
Q20000,P60
1000019．（本题满分10分）
设函数fx在[0,）上可导，f00，且limf（x）2
x
，证明
（1）存在a0，使得fa1;
（2）对
（1）中的a，存在（0,a），使得
f
1
'（）．
a
【详解】
证明
（1）由于limf（x）2，所以存在X0，当xX时，有
x
3
2
5
f（x），
2
又由于fx在[0,）上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1;
（2）函数fx在[0,a]上可导，由拉格朗日中值定理，
存在（0,a），使得
f
f（a）f（0）1
'（）．
aa
20．（本题满分11分）
A
设
1
1
a
0
B
0
1
1
b
，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得ACCAB，并求出
所有矩阵C．
【详解】
显然由ACCAB可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵．设
xx
12
C，
xx
34
则ACCAB变形为
x
1
x
2
x
3
ax
3
x
4
ax
1
x
2
x
2
ax
3
ax
4
0
1
1
b
，
x
2
ax
3
0
即得到线性方程组
ax
1
x
1
x
3
x
2
x
4
ax
4
1
1
，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方
x
2
ax
3
b
程组的增广矩阵进行初等行变换如下
01a0010111
A
a10a101a00
|b，
1011100001a
01a0b0000b
所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得ACCAB．
10111
此时，
01100
A|b，
00000
00000
x
1
111
所以方程组的通解为
x010
2
xCC，也就是满足ACCAB的矩阵
12
x010
3
x
4
001
C为
1CCC
121
C，其中C1,C2为任意常数．
CC
12
21．（本题满分11分）
设二次型
22
f（x1,x,x）2（axaxax）（bxbxbx）．记
23112233112233
a
1
b
1
a
2
b
2
．
a
3
b
3
（1）证明二次型f对应的矩阵为2TT；
（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为
22
2yy．
12
【详解】证明：
（1）
f（
x,x
12
x）
3
2（ax
11
a
2
x
2
ax
33
）
2
（bx
11
b
2
x
2
b
3
x）
3
2
a
1
x
1
b
1
x
1
2
x,
1
x
2
x
3
a
2
a
1
a,a
23
x
2
x
1
x,
2
x
3
b
2
b,
1
b
2
b
3
x
2
a
3
x
3
b
3
x
3
x
1
x
1
x,
1
x,
2
x
3
2
T
x
2
x,
1
x
2
x
3
T
x
2
x
3
x
3
x
1
x,
1
x,
2
x
3
2
TT
x
2
x
3
所以二次型f对应的矩阵为
TT
2．
证明
（2）设A
TTT
2，由于1,0
2T
TT
则222
A，所以为矩阵对应特征值12的特征
向量；
2
TTT
A22，所以为矩阵对应特征值21的特征向
量；
TTrrT
T
而矩阵A的秩（）
（2）
（2）（）2
rAr，所以30也是矩阵的
一个特征值．
故f在正交变换下的标准形为
22
2yy．
12
22．（本题满分11分）
设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为
2x
3x,01
fX（x），在给定
0,
其他
Xx（0x1）的条件下，Y的条件概率密度为
2
3y
0yx,
fYy/x）．
（3
x
X
0,
其他
（1）求X,Y的联合概率密度fx,y；
（2）Y的的边缘概率密度f（y）
Y．
【详解】
（1）X,Y的联合概率密度fx,y：
fx,yf（y/x）fX
Y
X
（x）
2
9y
x
0,
0
x1,0y
其他
x
（2）Y的的边缘概率密度f（y）
Y：
fY（y）f（x,y）dxy
2
9y
1
x
dx9
2
y
ln
y,0
y
1
0,
其他
23．（本题满分11分）
2
设总体X的概率密度为
f
（x;）3
x
x
e,x0
，其中为为未知参数且大于零，
0,
其他
X1X2,X为来自总体X的简单随机样本．
n
（1）求的矩估计量；
（2）求的极大似然估计量．
【详解】
（1）先求出总体的数学期望E（X）
2
x，E（X）xf（x）dxedx
02
x
令
n
1
E（X）XX，得的矩估计量
i
n
n1
X
1
n
n
i1
X
i
．
（2）当x0（i1,2,n）
i时，似然函数为
L
n
1
n22n
ix
x
i1i
（）ee，
33
x
n
i1i
x
i
i1
取对数，
nn
1
lnL（）2nln3lnx，
i
x
i1ii1
dlnL（）
令0
d
n
2n1
，得0
ixi
1
，
解得的极大似然估计量为．
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