考研数三真题与答案解析完整版.docx

1、考研数三真题与答案解析完整版2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题 1 8 小题每小题 4 分，共 32 分、当 x 0时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）2 o x 2 o x3 3（A） ( ) ( )x o x （B） o( x) o(x ) ( )（C）o( x2 ) o( x2 ) o(x2) （D）o(x) o( x2 ) o(x2 )【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A）（B）（C）都是正确的，对于（ D）可找出反例，例2 x o x g x x o x3 3 2如当 x 0 时 ( ) ( ), ( ) ( )f x x ，但 f (x)

2、 g(x) o( x) 而不是2o( x ) 故应该选（ D）2函数fxx 1( x) 的可去间断点的个数为（ ）x( x 1) ln x（A）0 （B）1 （C）2 （D）3xxln x【详解】当 xln x 0时， x 1 e 1 xln x，xx 1 xln xlim f (x) lim limx x(x 1) ln0 x xx 0 x x ln01，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点xx 1 xln xlim f (x) lim limx 1 x( x 1) ln x 2 ln1 x xx x 012，所以 x 1是函数 f ( x) 的可去间断点xx 1 xln xlim

3、 f (x) lim limx ( 1) ln1 x(x 1) ln x xx 1 x 1x，所以所以 x 1不是函数 f (x) 的可去间断点故应该选（ C）设2 y2D 是圆域 D (x, y) | x 1 的第 k 象限的部分， 记kI k ( y x)dxdy，则Dk（ ）（A） 0I （B） I 2 0 （C） I 3 0 （D） I 4 01【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知Ikk 112k ( y x) dxdy 2 d (sin cos r dr (sin sin )d)2k 1( k 1) 30D 2 2k13sin cosk2k|21所以2 2I1 I 0, I 2 ,

4、 I 4 ，应该选（ B）33 3设a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）n（A）若an a ，则n 1( 1)n 1 a 收敛；nn 1（B）若(n a 收敛，则11)nan a ；n 1n 1（C）若n 1pa 收敛则存在常数 P 1，使 lim n an 存在；nn（D）若存在常数 P 1，使plim n a 存在，则nnn 1a 收敛n【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D）正确，故应选（）此小题的（ A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A），但少一条件 lim a 0，显然错误 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件， 不是必要条件，nn选项（

5、 B）也不正确，反例自己去构造设，均为 n 阶矩阵，若，且可逆，则（A）矩阵 C的行向量组与矩阵 A的行向量组等价（B）矩阵 C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价（C）矩阵 C的行向量组与矩阵 B的行向量组等价（D）矩阵 C的列向量组与矩阵 B的列向量组等价【详解】 把矩阵 A，C列分块如下：A 1, 2 , , n ,C 1, 2 , , ，由于，n则可知 ( 1,2, , )i bi1 bi bin n i n ，得到矩阵 C的列向量组可用矩阵 A 的1 2 2列向量组线性表示同时由于 B可逆，即1A CB ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵 C的列向量组

6、与矩阵 A 的列向量组等价应该选（ B）1 a 1 2 0 06矩阵 a b a 0 b 0 相似的充分必要条件是与矩阵1 a 1 0 0 0（A）a 0,b 2 （B） a 0 ，b 为任意常数（C）a 2,b 0 （D） a 2，b 为任意常数2 0 0 1 a 1 2 0 0【详解】注意矩阵 0 b 0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a b a 0 b 0 相与矩阵0 0 0 1 a 1 0 0 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等1 a 1E A a b a (2 b b a( 2) 2 22)1 a 1从而可知 2b 2a2 2b，即 a 0，b 为任意常数，故选择（ B）2

7、27 设 X1, X 2, X3 是 随 机 变 量 ， 且 X1 N (0,1), X N (0,2 ), X N (5,3 ) ，2 3Pi P 2 X i 2 ，则（A） P1 P2 P3 （B） P2 P1 P3（C） P3 P2 P1 （D） P1 P3 P2X【详解】若 X N( , 2) ，则 N (0,1)X2P 2 (2) 1， P P 2 X 2 P 1 1 2 (1) 1，1 2 22P3P 2 X 2 P3235X335235(1)73731)，7P3 P 1 3 (1) 2 3 (1) 023故选择（ A）8设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y的概率分布分

8、别为X 0 1 2 3PP 1/2 1/4 1/8 1/8Y -1 0 1P 1/3 1/3 1/3则 P X Y 2 （ ）（A）112（B）18（C）16（D）12【 详 解 】P X Y 2 P X 1,Y 1 P X 2,Y 0 P X 3,Y 111212412416，故选择（ C）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）29设曲线 y f (x) 和 y x x在点 1,0 处有切线，则limnnfnn 2【详解】由条件可知 f 1 0, f (1) 1所以2f 1 f (1)n n 2lim nf lim 2 f2 n 2n 2 nn

9、n 2 2n (1) 2x10设函数 z z x, y 是由方程 z y xy【详解】z确定，则 |(1,2 )xx设 F x y z z y xy, , ( ) ， 则x x 1Fx x, y z z y z y y F x y z x z y ，, ( ) l ) , ( ,n , ) ( ) (zz当 x 1, y 2时， z 0，所以 |(1,2) 2 2ln 2xln x11 dx1 (1 ) 2x【详解】ln x 1 ln x 1dx ln xd | dx ln11 2 x(1 x 1 x 1 x 1 x(1) 1 x)x1|1ln 2112微分方程 0 y y y 的通解为41r

10、 ，两个特征根分别为【详解】方程的特征方程为 04x解为 2y (C1 C x)e ，其中 C1 ,C2 为任意常数211 ，所以方程通2213设A a 是三阶非零矩阵， A 为其行列式， Aij 为元素 aij 的代数余子式，且满足ijAij aij 0(i , j 1,2 3) ，则 A =,T【详解】由条件 Aij a 0(i, j 1,2 ,3) 可知 * 0A A ，其中 A* 为 A 的伴随矩阵，从 ij而可知AT 3 1* A A A ，所以 A 可能为 1或 0n,r (A) n但由结论* Tr (A ) 1, r (A) n 1 可知， A A * 0 可知 r (A) r(

11、 A*) , 伴随矩阵的秩只0,r (A) n 1能为 3，所以 A 1.14设随机变量 X 服从标准正分布 X N ( 0,1) ，则 E Xe2X 【详解】E2XXe2 2 2x (x 2) (x 2)21 x e22x 2xe e e dx ( x 2 2)e2 dx22 2 2dx2e2tet22dt2e2t2dt2eE(X)22e22e所以为22e 三、解答题15（本题满分 10 分）当 x 0 时，1 cosx cos2x cos3x与nax 是等价无穷小，求常数 a,n 【分析】主要是考查 x 0时常见函数的马克劳林展开式1 2 o x2【 详 解 】 当 x 0 时 ， ( )

12、 c x o 1 s x ，2cos212 o x2 x o x2 2x 1 (2x) ( ) 1 2 ( ) ，21 92 o x2 x2 o x2cos3x 1 (3x) ( ) 1 ( ) ，2 2所 以1 cosx cos2xcos3x 1 (1，1292 o x2 x o x x o x x o x2 2 2 2 2 2x ( )(1 2 ( )(1 ( ) 7 (2)由于 1 cosx cos2 x cos3x与nax 是等价无穷小，所以 a 7,n 2 16（本题满分 10 分）设 D是由曲线y ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形， Vx ,Vy 分别是 D绕

13、 x 3 x3 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 10Vx Vy ，求 a 的值【详解】由微元法可知2 5a a3 23 3Vx y dx x dx a ；0 05V4 76a a3 3y 2 xf ( x) dx 2 x dx a ；0 70由条件10Vx V ，知 a 7 7 y17（本题满分 10 分）设平面区域 D是由曲线 x 3y, y 3x, x y 8 所围成，求x2 dxdyD【详解】D4162 3x 6 8 x2 2 2 2 2x dxdy x dxdy x dxdy x dx dy x dx dy x x0 32D D 3 31 218（本题满分 10 分）Q设

14、生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元/ 件，价格函数为 P 60 ,（P1000是单价，单位：元， Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润（2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义（3）使得利润最大的定价 P【详解】2Q（1）设利润为 y ，则 6000 y PQ ( 6000 20Q ) 40Q ，1000Q边际利润为 y 40 .500（2）当 P=50时， Q=10000，边际利润为 20经济意义为：当 P=50时，销量每增加一个，利润增加 2020000（3）令 y 0 ，得 40.Q 20000 , P 6010000 19（本题满分

15、 10 分）设函数 f x 在0, ) 上可导， f 0 0 ，且 lim f (x) 2x，证明（1）存在 a 0 ，使得 f a 1;（2）对（ 1）中的 a ，存在 (0, a) ，使得f 1( ) a【详解】证明（ 1）由于 lim f ( x) 2，所以存在 X 0 ，当 x X 时，有x325f (x) ，2又由于 f x 在0, ) 上连续，且 f 0 0 ，由介值定理，存在 a 0 ，使得 f a 1;（2）函数 f x 在0,a 上可导，由拉格朗日中值定理，存在 (0, a) ，使得f f (a) f (0) 1( ) a a20（本题满分 11 分）A设11a0, B011

16、b，问当 a,b 为何值时，存在矩阵 C，使得 AC CA B，并求出所有矩阵 C【详解】显然由 AC CA B可知，如果 C存在，则必须是 2 阶的方阵设x x1 2C ，x x3 4则 AC CA B变形为x1x2x3ax3x4ax1x2x2ax3ax4011b，x2ax30即得到线性方程组ax1x1x3x2x4ax411，要使 C存在，此线性方程组必须有解，于是对方x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下0 1 a 0 0 1 0 1 1 1A a 1 0 a 1 0 1 a 0 0|b ， 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 a0 1 a 0 b 0 0 0 0 b所以，当 a

17、 1,b 0 时，线性方程组有解，即存在矩阵 C，使得 AC CA B1 0 1 1 1此时， 0 1 1 0 0A | b ， 0 0 0 0 00 0 0 0 0x11 1 1所以方程组的通解为x 0 1 02x C C ，也就是满足 AC CA B的矩阵1 2x 0 1 03x40 0 1C为1 C C C1 2 1C ，其中 C1,C2 为任意常数C C1 221（本题满分 11 分）设 二 次 型2 2f ( x1 ,x , x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x ) 记2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3a1b1a2,b2a3b3（1）证

18、明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T ；（2）若 , 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为2 22y y 1 2【详解】证明：（ 1）f (x ,x1 2,x )32(a x1 1a2x2a x3 3)2(b x1 1b2x2b3x )32a1x1b1x12x ,1x2,x3a2a1,a ,a2 3x2x1,x ,2x3b2b ,1b2,b3x2a3x3b3x3x1x1x ,1x ,2x32Tx2x ,1x2,x3Tx2x3x3x1x ,1x ,2x32T Tx2x3所以二次型 f 对应的矩阵为T T2 证明（ 2）设 AT T T2 ，由于 1, 0 2 TT T则 2 2

19、2A ，所以 为矩阵对应特征值 1 2的特征向量；2T T TA 2 2 ，所以 为矩阵对应特征值 2 1的特征向量；T T r r TT而矩阵 A 的秩 ( ) (2 ) (2 ) ( ) 2r A r ，所以 3 0 也是矩阵的一个特征值故 f 在正交变换下的标准形为2 22y y 1 222（本题满分 11 分）设 X ,Y 是 二维随 机变量 ， X 的 边缘 概 率密度 为2 x3x ,0 1f X (x) ，在 给 定0,其他X x(0 x 1)的条件下， Y 的条件概率密度为23y,0 y x,fY y / x) ( 3xX0,其他（1）求 X ,Y 的联合概率密度 f x, y

20、 ；（2）Y 的的边缘概率密度 f (y)Y 【详解】（ 1） X ,Y 的联合概率密度 f x, y ：f x, y f ( y / x) f XYX(x)29yx0,0x 1,0 y其他x（2）Y 的的边缘概率密度 f (y)Y ：fY ( y) f (x, y) dx y29y1xdx 92ylny,0y10,其他23（本题满分 11 分）2设总体 X 的概率密度为f(x; ) 3xxe , x 0，其中 为为未知参数且大于零，0,其他X1 X 2 , X 为来自总体 X 的简单随机样本n（1）求 的矩估计量；（2）求 的极大似然估计量【详解】（ 1）先求出总体的数学期望 E（X）2x ， E( X ) xf (x)dx e dx0 2x令n1E(X ) X X ，得 的矩估计量inn 1X1nni 1Xi（2）当 x 0(i 1,2, n)i 时，似然函数为Ln1n 2 2ni xxi 1 i( ) e e ，3 3xni 1 ixii 1取对数，n n1ln L( ) 2nln 3 ln x ，ixi 1 i i 1d ln L( )令 0dn2n 1，得 0i xi1，解得 的极大似然估计量为