北师大版小学数学五年级下册知识要点汇编.docx
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北师大版小学数学五年级下册知识要点汇编
分数乘法
一、分数乘法的意义
1、分数乘以整数：
表示几个分数相加的和是多少或分数的几倍是多少。
例如
×5表示5个
是多少或
的5倍是多少
2、一个数乘以分数：
表示这个数的几分之几是多少。
例如5×
表示5的
是多少。
二、分数乘法的运算法则：
分数乘以分数，分母相乘的积做分母，分子相乘的积做分子，能约分的要约分。
用字母表示为：
×
=
（b,m不等于0）
三、分数乘法中积和因数的关系
1、一个因数小于1，积小于另一个因数。
2、一个因数等于1，积等于另一个因数。
3、一个因数大于1，积大于另一个因数。
分数除法
一、分数除法的意义
1、分数（或整数）除以整数：
表示把一个数平均分成几份，每一份是多少；或一个数的若干倍几，这个数是多少。
例如：
÷5表示把
平均分成5份，每份是多少；或一个数的5倍是
，这个数是多少。
2、一个数除以分数：
表示一个数的几分之几是多少，求这个数；或示一个数里面有几个这样的分数。
例如
÷
表示一个数的
是
，这个数是多少；或
里面有几个
。
又例如5÷
表示一个数的
是5，这个数是多少；或5里面有几个
。
二、倒数
1、意义：
积是1的两个数互为倒数。
用字母表示为
×a=1，所以
的倒数是a。
例如2和
，
和
，0.6和
，1
和
。
2、求一个数的倒数的方法：
把这个分数的分子和分母倒过来。
如果这个数不是分数把这个数化成假分数的形式，再把它的分子和分母倒过来。
三、分数除法的运算法则
一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
字母表示为：
÷
=
×
（b,m,n都不能为零）
长方体的表面积
一、长方体和正方体的特征
顶点
面
棱
说明
个数
个数
形状
大小关系
条数
长度关系
长方体
8
6
长方形
相对的面完全一样
12
相对的棱长度相等
4条长，4条宽，4条高
正方体
8
6
正方形
6个面都是大小一样的正方形
12
所有的棱长度相等
二、棱长之和公式
求搭成一个长方体或正方体框架需要多少长度的木条或金属条，就是求这个长方体或正方体的棱长之和。
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4→长=棱长总和÷4-宽-高
正方体的棱长总和=棱长×12→棱长=棱长总和÷12
三、长方体和正方体表面积
1、什么叫长方体和正方体的表面积
是指长方体或正方体6个面的面积总和。
上下面
前后面
左右面
长方体
长×宽
长×高
宽×高
长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
=（长×宽+长×高+宽×高）×2
S=2ab+2ah+2bh或S=（ab+ah+bh）×2
正方体的表面积=棱长×棱长×6（S=6×a×a）
2、长方体或正方体的全面积或总面积
有些长方体或正方体并不是由六个面组成的，可能会少一个或两个面。
这样围成这个立体图形的几个面的面积总和就叫做这个立体图形的全面积或总面积。
计算时要注意缺少的那些面是什么面，怎么计算的。
3、露在外面的面怎么算
摆放在地面上的长方体六个面中我们最多只能看到其中的三个面，数露在外面的有多少面时我们要从三个角度去数：
从上面看有几个，从前面看有几个，从左或右面看有几个，然后加起来。
求露在外面的面面积共多少，算出露在外面的面的个数后，再将这些面的面积全加起来。
当然，这里面有小技巧，就是将这些面分类计算会更快捷准确。
4、将一个长方体切成两个长方体，怎样求切成后的两个长方体表面积和
将一个大长方体切成两个小长方体后表面和只是增加了两个截面的面积，所以截成后两个小长方体的表面积=大长方体表面积+截面面积×2。
要注意截的方式，因为截的方式不同多出的两个截面的面积是不同的。
截的方式有三种，分别是平行于长、宽、高截。
例：
将一个长12厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体横截成两个完全一样的小长方体，截得的两个长方体的表面积和是多少？
分析：
因为是横截，所以多出的面大小与底面（也就是下面）一样大
大长方体的表面积=12×10×2+12×8×2+10×8×2=592平方厘米
截面的面积=12×10=120平方厘米
小长方体的表面积和=592-120×2=352平方厘米
长方体的体积
一、什么叫体积或容积
物体所占空间的大小叫作物体的体积。
容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
一个容器的体积总比容积大，不过当容器壁不厚时我们常常把容器的体积当容积。
二、体积或容积的单位
1、体积的单位有：
立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3），它们之间的坦率是1000。
棱长是是1米的正方体体积是1立方米。
2、容积的单位有：
升（L）、毫升（ml）（专用于当容积所容纳的物体是液体时），立方米、立方分米、立方厘米（当容积所容纳的物体是固体时用）
1升=1立方分米=1000毫升1m3=1000dm3=1000000cm3
1立方厘米=1毫升1dm3=1000cm3=1L=1000ml
三、长方体或正方体体积计算
长方体体积=长×宽×高字母表示为：
V=abh
V=a×a×a=a3
四、怎样测量不规则物体的体积
测量以不规则的石块为例
一个长方体容器，长20厘米，宽18厘米，高15厘米，倒入8厘米的水。
再放入石块，这时水面上升到10厘米，求这个石块的体积是多少立方厘米？
方法1、先算出放入石块前水的体积，再算出放入石块后水的体积，最后求出它们的差就是石块的体积了。
20×18×8=2880毫升20×18×10=3600毫升3600-2880=720毫升
方法2：
求出上升水的体积就是石块的体积
20×18×（10-8）=720毫升
五、怎样求体积
1、求长方体的体积就必须知道它的长、宽、高或底面面积和高，再根据体积公式计算它的体积。
求正方体的体积的体积必须知道它的棱长是多少。
2、已知正方体的棱长总和求它的体积。
先根据正方体棱长之和公式求出正方体的棱长，再算出它的体积
例：
一个正方体的棱长总和是24厘米，它的体积是多少？
棱长=棱长总和÷12=24÷12=2厘米
体积=棱长×棱长×棱长=2×2×2=8立方厘米
3、已知正方体的表面积求它的体积：
先利用表面积公式算出棱长，再计算体积
例：
一个正方体的表面积是384平方厘米，它的体积是多少立方厘米？
求棱长：
一个面面积=表面积÷6=384÷6=64平方厘米
64=8×8所以这个正方体的棱长是8厘米
求体积：
体积=8×8×8=512立方厘米
六、怎样求熔铸后物体的长、宽、高
例1、将一个棱长12厘米的正方体铁块熔铸成一个长20厘米，宽15厘米的长方体铁块，高是多少厘米？
分析：
因为是熔铸，所以铸成的长方体铁块与原先的正方体体积一样，所以先求出正方体体积也就是长方体体积，再根据长方体体积计算公式求出长方体的高是多少。
分步算式：
12×12×12=1728立方厘米
1728÷（20×15）=5.76厘米
综合算式：
12×12×12÷（20×15）=5.76厘米
例2、将一个长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体铝块熔铸成一个正方体铝块，铸成的正方体铝块的棱长是多少？
分析：
铝块熔铸前后的体积没变，所以长方体的体积就是熔铸后正方体的体积，再根据正方体的体积公式把体积拆分成三个相同的数的乘积就行了。
9×6×4=216立方厘米216=6×6×6
答：
铸成的正方体铝块的棱长是6厘米。
七、怎样区分是求长方体的表面积还是体积
最简便的方法是从问题中看，看它是单位是面积单位还是体积（或容积）单位。
是面积单位的是求表面积，是体积或容积单位的是求体积或容积。
八、怎样求长方体或正方体物体的重量
当一个物体是长方体或正方体时，告诉我们长方体的长宽高或正方体的棱长、单位体积物体的重量，要我们求它的重量。
我们要先算出这个物体的体积，再用体积乘以单位体积的重量。
例：
一个长方体铁块，长20厘米，宽15厘米，高10厘米。
如果每立方厘米的铁铁块重7.9克，这个铁块重多少千克？
1、这个铁块的体积
长方体体积V=abh=20×15×10=3000立方厘米
2、求这个铁块的重量
3000×7.9=23700克=23.7千克
分数混合运算
1、运算顺序
分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一样，都是先乘除后加减，有括号先算括号。
如果是同一级运算就按先后顺序运算。
整数的运算律在分数运算中同样适用。
2、分数应用中的分数要区别名数与非名数。
如果这个分数是名数，它能和别名数进行四则运算；如果这个分数不是名数是分率，则它只矣与别的名数进行乘除运算，与别的分率只能进行加减运算。
3、打折
折折即指折扣，普通人买东西都会存在讨价还价的心理，商家为了满足消费者这样的心理，把商品价格进行降价，以期更好的达到促销的目的！
折数：
是指以商品原价为单位“1”，现价是原价的十分之几。
例如七折是把商品原价做标准量“1”，现价是原价的
。
4、折数化一般分数。
在进行运算时要把折数化成一般分数。
把折数化成一般分数只要以折数做分子，十做分母就行了。
折数可以是小数，如6.5折、8.8折等。
5、折数与原价、现价的关系。
原价×
=现价现价÷
=原价
百分数
一、百分数的意义
表示一个数是另一个数百分之几的数叫百分数。
百分数也叫百分比、百分率。
百分数是一个特殊的分数，因为它不能带上单位做名数使用，只能做为分率出现。
二、百分数的读写
写法：
百分之十二写作12﹪
读法：
45.6﹪读作百分之四十五点六
三、百分数、小数、分数互化方法
1、小数化百分数：
小数点向右（也就是向后）移动两位，再加上百分号。
2、分数化百分数：
如果分母是100的因数或倍数时，我们用分数的基本性质，分子和分母同时乘以或除以一个相同的数，使得这个分数的分母是100，然后写成百分数的形式。
一般情况下，先将分数化成小数，再将小数化成百分数。
注意如果除不清时小数要保留三位有效小数。
3、百分数化分数：
将百分数写成一般分数形式，能约分的要约成最简分数。
4、百分数化小数：
百分数的分子的小数点向左（也就是向前）移动两位，再去掉百分号。
5、分数化小数：
用分子除以分母，除不尽的一般情况下保留三位有效小数。
6、小数化分数：
小数点后有几位数，就在1后面添几个零做分母，把小数的小数点去掉做分子，能约分的要约成最简分数。
7、折数化百分数：
折数乘以10做分子再加上百分号，如6.5折=（6.5×10）﹪=65﹪
四、常用百分数的意义
合格率=
×100﹪出勤率=
×100﹪
绿化覆盖率=
×100﹪优秀率=
×100﹪
及格率=
×100﹪出油率=
×100﹪
命中率=
×100﹪成活率=
×100﹪
中奖率=
×100﹪发芽率=
×100﹪
孵化率=
×100﹪蛋白质含量百分率=
×100﹪
分数应用题
一、解决一般分数应用题的关键：
1、判断条件中的分数是不是名数。
所谓名数就是量数和计量单位的名称合起来，或者说数后面带有计量单位。
如
千克，
立方米等。
分率：
就是分数后面不带计量单位的分数。
如男生人数是女生人数的
，中的“
”。
2、再判断分率是以哪个量做标准“1”的，也就是说它的标准量是什么。
“比、相当于、是”后面的量是标准量。
3、再判断哪个量是比较量。
“比、相当于、是”前面的量是比较量。
例：
男生人数比女生人数多25﹪，“比”后面的“女生人数”是标准量，“比”前面的“男生人数”是比较量
4、求标准量用除法，求比较量用乘法。
二、简单分数应用题
1、求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。
用除法，一个数÷另一个数=
例：
五二班有男生28人，女生18人，男生人数是女生人数的几分之几？
男生人数÷女生人数=
2、求一个数比另一个数增加或减少几分之几
用除法：
一个数与另一个数的差÷另一个数
例1：
五二班有男生28人，女生18人，男生比女生多几分之几？
男生比女生多多少人÷女生人数
（28-18）÷18
例2、五二班有男生28人，女生18人，女生比男生少几分之几？
女生比男生少多少人÷男生人数
（28-18）÷28
3、求一个数的几分之几或百分之几是多少
用乘法。
这个数×对应分率
例：
五二班有男生28人，女生人数是男生人数的
，女生人数是多少？
28×
4、已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数。
用除法。
这个数÷对应分率
例：
五二班有女生18人，是男生人数的
，男生人数有多少人？
全班有多少人？
18÷
=28人全班人数=男生人数+女生人数=28+18=46人
三、较复杂分数应用题
1、求一个数增加或减少它的几分之几（或百分之几）多少
用乘法。
这个数×（1±几分之几）增加用+，减少用-
例：
五二班原有少先队员40，现在增加20﹪，现在有队员多少人？
40×（1+20﹪）
2、已知一个数增加或减少它的几分之几是多少，求这个数。
用除法。
多少÷（1±几分之几）
例：
五二班现有少先队员48人，比原来增加了20﹪，原来有少先队员多少人？
48÷（1+20﹪）
3、当量问题
一堆煤，第一次运走它的
，第二次运走它的
，第一次比第二次多运8吨，这堆煤原有多少吨？
8÷（
+
）=48吨
五二班男生人数是全班人数的
，男生比女生多8人，五二班有多少人？
因为男生是全班的
，所有女生是全班的1-
=
，所以男生比女生多全班的
-
=
，全班人数是8÷
=40人列式是8÷〔
-（1-
）〕
统计
一、统计图
用点、线、面积来表示相关联的量之间数量关系的图形叫统计图。
统计力比统计表更加明白具体，能直观形象地反映出事情的发展、变化、或总体与部分的情况。
常用的有条形统计图、折线统计图、扇形统计图。
1、条形统计图
优点是：
可以更清楚地看到每个数量的大小
2、扇形统计图
扇形统计图是用整个圆表示总数（单位“1”），用圆内各个扇形的大小表示各部分量占总数量的百分之几，扇形统计图中各部分的百分比之和等于“1”。
优点：
通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，而不是反应变化趋势。
扇形面积与其对应的圆心角的关系是：
扇形面积越大，圆心角的度数越大。
表示部分占总数的百分比越大。
扇形面积越小，圆心角的度数越小。
表示部分占总数的百分比越小。
3、折线统计图
以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化的统计图，叫做折线统计图。
与条形统计图比较，折线统计图不仅可以表示数量的多少，而且可以反映同一事物在不同时间里的发展变化的情况。
看起来很清楚，有方便。
优点：
易于显示数据变化趋势以及变化幅度，可以直观地反映这种变化以及各组之间的差别。
作用：
折线统计图可以用来作股市的跌涨和统计气温。
二、中位数
将一组数据从小到大（或从大到小）排列，中间的数称为这组数据的中位数。
如果这组数有奇数个，则最中间的一个数是中位数。
它将这级数分成上下两部分。
如果这组数有偶数个，则中位数不唯一，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。
一个数列中最多有一半的数小于中位数，也最多有一半的数大于中位数。
如果大于和小于中位数的数个数均少于一半，那麽数列中必有若干值等同于中位数。
中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。
怎样找出中位数
1、先将这组数据从大到小或从小到大排列。
2、看这组数据是奇数个还是偶数个，如果这组数有奇数个，则最中间的一个数是中位数。
如果这组数有偶数个，则中位数不唯一，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。
3、数据个数÷2=商。
。
。
。
余数例如，这组数据有7个，则7÷2=3……1中位数就是第四个。
如果这组数据有8个，则8÷2=4中位数就是第4和第5位数的平均数。
三、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。
众数的特点：
1、众数在一组数据中出现的次数最多；
2、众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。
但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。
此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。
3、一组数据可能没有众数。
怎样找出一组数据的众数
1、分类
2、比较各类数的多少。
例如：
第一大组的身高分别是：
132cm138cm145cm132cm136cm137cm132cm
137cm135cm132cm134cm137cm
找出这组数据的中位数，众数和平均数
身高
132cm
134cm
135cm
136cm
137cm
138cm
145cm
人数
4
1
1
1
3
1
1
众数是：
132cm
中位数是：
12÷2=6135+136=135.5cm
平均数：
（132+138+145+132+136+137+132+137+135+132+134+137）÷12≈135.6cm
四、众数与平均数的区别。
众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。
求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。
五、中位数、平均数和众数的异同
相同点：
1、平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；
2、平均数、众数和中位数都有单位；
不同点：
1、中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据（当个数是奇数个时），也可能不是这组数据中的数据（当个数是偶数个时）；中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；
2、众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据；众数可能是一个或多个甚至没有。
众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据
3、平均数一定有。
平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；但会受一组数据中个别偏大或偏小数据的影响。
六、平均数、众数和中位数三种统计数据在生活中的意义。
平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是生活中的多数情况；中位数说明的是生活中的中等水平。
七、为什么评选节目里评委分数出来之后要去掉一个最高分去掉一个最低分？
去掉最高分和最低分是为了避免评委的主观性影响公平原则，评委也是人，无可否认有些评委会用自己的主观视角去评价选手，为了保持公平，所以要取消最高分和最低分（当然也要排除有人作弊和报复的可能性），如果全部一起平均也无法消除最高分和最低分对平均分的影响，所以要把最高分和最低分去掉。
数学与生活
一、粉刷墙壁
要计算粉刷墙壁至少需要多少涂料必须完成两个任务：
测量计算要粉刷的面积和计算需要多少涂料。
1、测量计算要粉刷的面积
先分别算出要粉刷的墙壁面积和门窗的面积，再用墙壁面积减去门窗面积。
特别注意的是，地面不用粉刷。
2、计算要购买多少涂料
用需要粉刷的面积乘以单位面积需要多少涂料。
如果要粉刷两次或两次以上，就要把每次需要的涂料算出来再相加。
在购买涂料时我们要考虑每千克的单价，还要考虑浪费最少。
例：
某房间的墙壁面积约为80平方米，门窗面积为18平方米。
一般第一遍时每平方米需要用涂料0.5千克，第二遍时是第一遍的
。
但在实际粉刷时会有损耗，因此要多准备
。
实际应准备多少千克涂料？
1、先算需要粉刷的面积
墙壁面积-门窗面积=80-18=62平方米
2、算要准备多少涂料
1）第一遍要多少涂料
62×0.5×（1+
）=34.3千克
2）第二遍要多少涂料
34.3×
=20.58千克
3）一共需要准备多少涂料
34.3+20.58=54.88千克︽55千克
如果每大桶18千克160元，每小桶10千克105元，怎样买省钱？
1、先算那种桶装每千克要多少元
160÷18︽8.9元／千克﹤105÷10=10.5元／千克
所以我们尽量买大桶。
2、购买方案
方案一
方案二
方案三
方案四
大桶
55÷18︽4桶
18×3桶=54
18×2桶=36
181桶
小桶
55-54=1
一桶
55-36=19
二桶
55-18=37
四桶
需要多少元
4×160=640
3×160+105=585
160×2+2×105=530
160+4×105=580
方案三最省钱：
买2桶大的、2桶小的。
二、估算技巧
尽量取整，四舍五入，同时要注意补偿原则。
。
取整时需要取到那一数位要注意原数的计算单位，并根据实际情况决定。
同时取整时要注意补偿原则。
三、包装的学问
要想尽量节约包装纸就要使包装后的表面积最小，而相同的长方体合并表面最小只有一个方法：
就是重合面积最大的那个面。
例如：
一个长方体的长是20厘米，宽是15厘米，高是10厘米。
如果把两个这样的长方体包成一包，怎样包装才能节约包装纸？
至少需要多少平方厘米的包装纸？
分析：
首先我们找到最大的那个面。
20×15=300平方厘米20×10=200平方厘米15×10=150平方厘米300平方厘米﹥200平方厘米﹥150平方厘米所以我们包装时要重叠的面是底面（上下面）
一）求怎样包装才能最节约包装纸
上下面：
20×15=300平方厘米
前后面：
20×10=200平方厘米
左右面15×10=150平方厘米
300平方厘米﹥200平方厘米﹥150平方厘米
上下面﹥前后面﹥左右面
所以重叠上下面最节约包装纸
二）计算至少需要多少包装纸
方法1
A、求一个长方体的表面积
（20×15+20×10+15×10）×2=1300平方厘米
B、求两个长方体的表面积
1300×2=2600平方厘米
C、求重叠后的两个长方体表面积（减去上下面）
2600-20×15×2=2000平方厘米
方法二：
按上下面重叠起来的长方体的长是20厘米，宽是15厘米，高是10厘米×2=20厘米
（20×15+20×20+15×20）×2=2000平方厘米
四、购物策略
我们在购物时不仅要考虑物品的包装，还要考虑折扣优惠。
1、怎样选择物品的包装
同一种商品，包装不同，价格也会有差异，怎样选择呢？
最好的办法是算出单位体积或质量的价格。
例如，200毫升的果汁2元，500毫升的果汁的4元。
200÷2=100毫升500÷4=125毫升，也就是说200毫升装的一元能买到100毫升，500毫升装的一元能买到125毫升，明显500毫升的便宜些。
一般情况下，大包装的相对便宜点。
2、折扣优惠
各商场的促销方法各不相同，有的不打折但采用买一送一（这是打暗折），有的打折，但折数各不相同且有最低消费标准。
我们比较时要算出各商场同种商品实际的打折数，再根据自己的购物总额来选择。
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