E（X）=∫01x⋅xdx+∫12x（2-x）dx=∫01x2dx+∫12（2x-x2）dx=13+23=1.
习题9
一年之内一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
f（x）={14e-x4,x>00,x≤0,
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
解答：
先求出利润函数L（X）.
L（X）={100,X≥1-300+100=-200,X<1,
E（L）=100×P{X≥1}-200×P{X<1}
=100×∫1+∞14e-x4dx-200×∫0114e-x4dx
=100×e-14+200×e-14-200≈33.64（元）.
习题10
设随机变量X的概率密度为f（x）={e-x,x>00,x≤0,
求：
（1）Y=2X的数学期望；
（2）Y=e-2X的数学期望.
解答：
（1）E（Y）=E（2X）=∫-∞+∞2xf（x）dx=∫0+∞2xe-xdx=2.
（2）E（e2X）=∫-∞+∞e-2xf（x）dx=∫0+∞e-3xdx=13.
习题11
设（X,Y）的分布律为
Y\X
123
-101
0.20.10.00.10.00.30.10.10.1
（1）求E（X）,E（Y）;
（2）设Z=Y/X, 求E（Z）; （3）设Z=（X-Y）2, 求E（Z）.
解答：
（1）先求X与Y的边缘分布律，然后求E（X）,E（Y）.
X
1
2
3
pk
0.4
0.2
0.4
Y
-1
0
1
pk
0.3
0.4
0.3
所以E（X）=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2.0,
E（Y）=-1×0.3+0×0.4+1×0.3=0.
（2）可以利用X,Y的联合分布先求出Z的分布律，然后求E（Z）, 也可以利用定理直接求E（Z）, 下面采取直接求法.
E（Z）=E（YX）=∑i∑jyjxipij
=（-1×0.2+1×0.1）+（-12×0.1+12×0.1）+（-13×0+13×0.1）
=-115.
（3）E（Z）=E[（X-Y）2]=∑i∑j（xi-yj）2pij
=（1-（-1））2×0.2+（1-0）2×0.1+（1-1）2×0.1
+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1
=5.
也可以利用期望的性质求E（Z）, 得
E[（X-Y）2]=E（X2-2XY+Y2）
=E（X2）-2E（XY）+E（Y2）
=（12×0.4+22×0.2+32×0.4）-2[-1×0.2
+1×0.1+（-2）×0.1+2×0.1+（-3）×0.0+3×0.1]
+（-1）2×0.3+12×0.3
=5.
习题12
设（X,Y）的概率密度为
f（x,y）={12y2,0≤y≤x≤10,其它,
求E（X）,E（Y）,E（XY）,E（X2+Y2）.
解答：
如右图所示.
E（X）=∫-∞+∞∫-∞+∞xf（x,y）dxdy=∫01dx∫0xx⋅12y2dy=45,
E（Y）=∫-∞+∞∫-∞+∞yf（x,y）dxdy=∫01dx∫0xy⋅12y2dy=35,
E（XY）=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf（x,y）dxdy=∫01dx∫0xxy⋅12y2dy=12,
E（X2+Y2）=∫-∞+∞∫-∞+∞（x2+y2）f（x,y）dxdy
=∫01dx∫0x（x2+y2）⋅12y2dy=23+615=1615.
习题13
设X和Y相互独立，概率密度分别为
ϕ1（x）={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2（y）={e-（y-5）,y>50,其它,
求E（XY）.
解答：
解法一 由独立性.
E（XY）=E（X）⋅E（Y）=∫01x⋅2xdx∫0+∞ye-（y-5）dy=23×6=4.
解法二 令z=y-5, 则
E（XY）=E（X）⋅E（Y）=∫01x⋅2xdx⋅E（z+5）=23×（1+5）=4.
4.2方差
习题1
设随机变量X服从泊松分布，且P（X=1）=P（X=2）, 求E（X）,D（X）.
解答：
由题设知，X的分布律为
P{X=k}=λkk!
e-λ（λ>0）
由P{X=1}=P{X=2}, 得λ11!
e-λ=λ22!
e-λ，即
λ=0（舍去）, λ=2.
所以E（X）=2,D（X）=2.
习题2
下列命题中错误的是（）.
（A）若X∼p（λ）, 则E（X）=D（X）=λ;
（B）若X服从参数为λ的指数分布，则E（X）=D（X）=1λ;
（C）若X∼b（1,θ）,则E（X）=θ,D（X）=θ（1-θ）;
（D）若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E（X2）=a2+ab+b23.
解答：
应选（B）.
E（X）=1λ,D（X）=1λ2.
习题3
设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N（μ,σ2）（σ>0）, 则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.
解答：
由多维随机变量函数的分布知：
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且
E（X¯）=μ,D（X¯）=σ2n.
习题4
若Xi∼N（μi,σi2）（i=1,2,⋯,n）, 且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n（aiXi+bi）服从的分布是 .
解答：
应填N（∑i=1n（aiμi+bi）,∑i=1nai2σi2）.
由多维随机变量函数的分布知：
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且
E（Y）=∑i=1n（aiμi+bi）,D（Y）=∑i=1nai2σi2.
习题5
设随机变量X服从泊松分布，且
3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},
求X的期望与方差.
解答：
X的分布律为
P{X=k}=λkk!
e-λ, k=0,1,2,⋯,
于是由已知条件得
3×λ11!
e-λ+2×λ22!
e-λ=4×λ00!
e-λ,
即λ2+3λ-4=0, 解之得λ=-4（舍）, λ=1, 故
E（X）=λ=1, D（X）=λ=1.
习题6
设甲，乙两家灯泡厂生产的寿命（单位：
小时）X和Y的分布律分别为
X
900
1000
1100
pi
0.1
0.8
0.1
Y
950
1000
1050
pi
0.3
0.4
0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？
解答：
哪家工厂的灯泡寿命期望值大，哪家的灯泡质量就好.由期望的定义有
E（X）=900×0.1+1000×0.8+1100×0.1=1000,
E（Y）=950×0.3+1000×0.4+1050×0.3=1000.
今两厂灯泡的期望值相等：
E（X）=E（Y）=1000,
即甲，乙两厂的生产水平相当.这就需要进一步考察哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即看哪家工厂的灯泡寿命取值更集中一些，这就需要比较其方差.方差小的，寿命值较稳定，灯泡质量较好，则方差的定义式得
D（X）=（900-1000）2×0.1+（1000-1000）2×0.8+（1100-1000）2×0.1=2200,
D（Y）=（950-1000）2×0.3+（1000-1000）2×0.4+（1050-1000）2×0.3=1500.
因D（X）>D（Y）, 故乙厂生产的灯泡质量较甲厂稳定.
习题7
已知X∼b（n,p）, 且E（X）=3,D（X）=2, 试求X的全部可能取值，并计算P{X≤8}.
解答：
\becauseE（X）=np,D（X）=np（1-p）,
∴{np=3np（1-p）=2, 即{n=9p=13,
∴X的取值为：
0,1,2,⋯,9,
P{X≤8}=1-P{X=9}=1-（13）9.
习题8
设X∼N（1,2）, Y服从参数为3的（泊松）分布，且X与Y独立，求D（XY）.
解答：
\becauseD（XY）=E（XY）2-E2（XY）=E（X2Y2）-E2（X）2（Y）,
又\becauseE（X2Y2）=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f（x,y）dxdy=∫-∞+∞x2fX（x）dx∫-∞+∞y2fY（y）dy
=E（X2）E（Y2）,
∴D（XY）=E（X2）E（Y2）-E2（X）E2（Y）
=[D（X）+E2（X）][D（Y）+E2（Y）]-E2（X）E2（Y）
=D（X）D（Y）+D（X）E2（Y）+D（Y）E2（X）
=2×3+2×32+3×12=27.
习题9
设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有
E（Xi）=i,D（Xi）=5-i,i=1,2,3,4,
又设Y=2X1-X2+3X3-12X4, 求E（Y）,D（Y）.
解答：
E（Y）=E（2X1-X2+3X3-12X4）=2E（X1）-E（X2）+3E（X3）-12E（X4）
=2×1-2+3×3-12×4=7,
D（Y）=4D（X1）+D（X2）+9D（X3）+14D（X4）=4×4+3+9×2+14×1=37.25.
习题10
5家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X1,X2, X3, X4,X5. 已知
X1∼N（200,225）, X2∼N（240,240）, X3∼N（180,225）,
X4∼N（260,265）, X5∼N（320,270）,
X1,X2,X3,X4,X5相互独立.
（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差；
（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？
解答：
（1）设总销售量为X,由题设条件知
X=X1+X2+X3+X4+X5,
于是E（X）=∑i=15E（Xi）=200+240+180+260+320=1200,
D（X）=∑i=15D（Xi）=225+240+225+265+270=1225.
（2）设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,
求y. 由
（1）易知，X∼N（1200,1225）,
P{X≤y}=P{X-≤y-=Φ（y-）>0.99.
查标准正态分布表得y-=2.33,
y=2.33×1225+1200≈1282（kg）.
习题11
设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求
Z=min{X1,X2,⋯,Xn}
的数学期望和方差.
解答：
Xi（i=1,2,⋯,n）的分布函数为
F（x）={1-e-x,x>00,其它,
Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为
FZ（z）=1-[1-F（z）]n={1-e-nz,z>00,其它,
于是E（Z）=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n, 而
E（Z2）=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,
于是
D（Z）=E（Z2）-（E（Z））2=1n2.
4.3协方差与相关系数
习题1
设（X,Y）服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是（）.
（A）X,Y不相关； （B）E（XY）=E（X）E（Y）;
（C）cov（X,Y）=0; （D）E（X）=E（Y）=0.
解答：
应选（D）。
当（X,Y）服从二维正态分布时，
不相关性⇔独立性
若（X,Y）服从一般的分布，则
X,Y相互独立⇒X,Y不相关
反之未必.
习题2
设X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2, 试求E（Y）,D（Y）,cov（X,Y）及ρXY.
解答：
E（Y）=E（3X-2）=3E（X）-2=3×2-2=4
D（Y）=D（3X-2）=9D（X）=9×2=18,
cov（X,Y）=cov（X,3X-2）=3D（X）=6,
ρXY=cov（X,Y）D（X）D（Y）=62⋅18=1.
习题3
设随机变量X的方差D（X）=16, 随机变量Y的方差D（Y）=25, 又X与Y的相关系数ρXY=0.5, 求D（X+Y）与D（X-Y）.
解答：
D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2cov（X,Y）=D（X）+D（Y）+2D（X）D（Y）ρXY
=16+25+2×4×5×0.5=61,
D（X-Y）=D（X）+D（Y）-2cov（X,Y）=D（X）+D（Y）-2D（X）D（Y）ρXY
=16+25-2×4×5×0.5=21.
习题4
设（X,Y）服从单位圆域G:
x2+y2≤1上的均匀分布，证明X,Y不相关.
解答：
E（XY）=∫∫x2+y2≤11πxydxdy
=1π∫-11dxdy∫-1-x21-x2ydy=0,
又
E（X）=∫∫x2+y2≤11πxdxdy=1π∫-11xdx∫-1-x21-x2dy=1π∫-112x1-x2dx=0,
同理，E（Y）=0, 故
cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0,
即X,Y不相关.
习题5
设100件产品中的一，二，三等品率分别为0.8,0.1和0.1. 现从中随机地取1件，并记
Xi={1,取得i等品0,其它（i=1,2,3）,
求ρX1X2.
解答：
首先求（X1,X2）的联合分布
P{X1=0,X2=0}=P{X3=1}=0.1, P{X1=0,X2=1}=P{X2=1}=0.1,
P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}=0.8, P{X1=1,X2=1}=P（∅）=0.
关于X1和X2的边缘分布律为
P{X1=1}=0.8, P{X1=0}=0.2,
P{X2=1}=0.1, P{X2=0}=0.9.
于是E（X1）=0.8, D（X1）=0.16; E（X2）=0.1, D（X2）=0.09.
从而
ρX1X2=cov（X1,X2）D（X1）D（X2）=E（X1X2）-E（X1）E（X2）D（X1）D（X2）
=1×0+0×0.8+0×0.1+0×0.1-0.080.4×0.3=-23.
习题6
设X∼N（μ,σ2）,Y∼N（μ,σ2）, 且X,Y相互独立，试求Z1=αX+βY和Z2=αX-βY的相关系数（其中α,β是不为零的常数）.
解答：
cov（Z1,Z2）=cov（αX+βY,αX-βY）=α2cov（X,X）-β2cov（Y,Y）
=α2D（X）-β2D（Y）=（α2-β2）σ2,
D（Z1）=D（αX+βY）=α2D（X）+β2D（Y）+2αβcov（X,Y）,
D（Z2）=D（αX-βY）=α2D（X）+β2D（Y）-2αβcov（X,Y）.
因为X,Y相互独立，所以cov（X,Y）=0, 故
D（Z1）=（α2+β2）σ2,D（Z2）=（α2+β2）σ2,
相关系数ρ=cov（Z1,Z2）D（Z1）D（Z2）=α2-β2α2+β2.
习题7
设随机变量（X,Y）具有概率密度
f（x,y）={18（x+y）,0≤x≤2,0≤y≤20,其它,
求E（X）,E（Y）,cov（X,Y）,ρXY,D（X+Y）.
解答：
E（X）=∫-∞+∞∫-∞+∞xf（x,y）dydx=∫02∫02x⋅18（x+y）dydx=76.
由对称性知，E（Y）=76,
E（XY）=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf（x,y）dxdy=∫02∫02xy⋅18（x+y）dxdy
=∫0218（83y+2y2）dy=43,
于是cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=43-76×76=-136，
E（X2）=∫02∫02x2⋅18（x+y）dydx=14∫02（x3+x2）dx=53.
由对称性知，E（Y2）=53, 故
D（X）=E（X2）-[E（X）]2=53-（76）2=1136,D（Y）=1136,
ρXY=cov（X,Y）D（X）D（Y）=-=-111,
D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2cov（X,Y）=1136+1136-2×136=59.
习题8
设随机变（X,Y）的分布律为
Y\X
-101
-101
1/81/81/81/801/81/81/81/8
验证X和Y是不相关的，且X和Y不相互独立.
解答：
先求X,Y的边缘分布律
X
-101
Y
-101
pk
3/82/83/8
pk
3/82/83/8
因为p00≠p0⋅p⋅0, 所以X与Y不是独立的，又
E（X）=-1×38+1×38=0,E（Y）=-1×38+1×38=0,
E（XY）=（-1）×（-1）×18+（-1）×1×18+1×（-1）×18+1×1×18=0,
于是cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0, 即ρXY=0. 因此，X与Y是不相关的.
习题9
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x,y）={1/π,x2+y2≤10,其它,
试验证X和Y是不相关的，且X和Y不相互独立.
解答：
首先求fX（x）和fY（y）.
fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy={∫-1-x21-x21πdy=2π1-x2,-1≤x≤10,其它,
fY（y）=∫-∞+∞f（x,y）dx={∫-1-y21-y21πdx=2π1-y2,-1≤y≤10,其它,
E（X）=∫-∞+∞fX（x）dx=∫-11x⋅2π1-x2dx=0,
同理可得E（Y）=0,
E（XY）=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf（x,y）dxdy=∫∫x2+y2≤11πxydxdy=0.
因此cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0, 即
ρXY=0,
故X与Y是不相互独立的.
又因为f（x,y）≠fX（x）fY（y）, 故X与Y不是相互独立的.
习题10
设（X,Y）服从二维正态分布，且X∼N（0,3）,Y∼N（0,4）, 相关系数ρXY=-1/4, 试写出X与Y的联合概率密度.
解答：
依题意知，二维正态分布5个参数分别为
μ1=0,μ2=0,σ12=3,σ22=4,ρXY=-14,
故X,Y的联合概率密度为
f（x,y）=12π⋅325e-115/8[x23-2（-14）x3⋅y2+y24]=135πe-815（x23+xy43+y24）.
习题11
设（X,Y）服从二维正态分布，且有D（X）=σX2,D（Y）=σY2. 证明：
当a2=σX2σY2时随机变量W=X-aY与V=X+aY相互独立.
解答：
根据多维正态分布的性质可知，由于（X,Y）服从二维正态分布，故W与V的联合分布也是二维正态分布.又知，二维正态分布二分量间相互独立与不相关是等价的，因此，欲证明W与V相互独立，也就是要证cov（W,V）=0, 为此求cov（W,V）.
cov（W,V）=cov（X-aY,X+aY）=D（X）-a2D（Y）=σX2-a2σY2.
令cov（W,V）=0, 即σX2-a2σY2=0, 则得a2=σX2σY2, 故证得当a2=σX2σY2时，随机变量W与V相互独立，其中
W=X+aY,V=X+aY.
习题12
设随机变量X的概率密度为
f（x）={0.5x,0求随机变量X的1至4阶原点矩和中心矩.
解答：
由公式vk=E（Xk）=∫-∞+∞xkf（x）dx=∫02xk（0.5x）dx,
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