菱形的判定专项练习30题.docx

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菱形的判定专项练习30题

菱形的判定专项练习30题（有答案）　

1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=

BC，点E为BC的中点．

（1）求证：

四边形ABED是菱形；

（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．

2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．

求证：

BC=2DN．

3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．

（1）求证：

四边形AEDF是菱形；

（2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长．

4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．

求证：

（1）∠E=∠F；

（2）▱ABCD是菱形．

5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．

（1）求证：

AF=DC；

（2）若∠BAC=90°，求证：

四边形AFBD是菱形．

6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：

四边形ABCD是菱形．

7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．

（1）求证：

四边形ADCE是菱形．

（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：

四边形ABCG是什么特殊平行四边形？

为什么？

8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为EF，并且DE=DF．求证：

四边形ABCD是菱形．

9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．

求证：

（1）∠B=∠C；

（2）▱ADFE是菱形．

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．

（1）求证：

△AEG≌△AEC；

（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；

（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．

11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．

求证：

四边形ADEF是菱形．

12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：

四边形MENF为菱形．

13．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：

四边形ABED是菱形．

14．如图，在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证：

四边形AMON是菱形．

15．如图：

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．

求证：

四边形AEFG是菱形．

16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF，AB交EC于点N，CD交AF于点M．

求证：

四边形ANCM是菱形．

17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗？

如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．

18．已知如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？

说明理由．

19．已知：

如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证：

四边形BFDE是菱形．

20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．

（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．

22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF，过点E作EF∥AB．求证：

四边形ABEF为菱形．

23．已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．

（1）求证：

AECF是菱形；

（2）求四边形AECF的面积．

24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？

请说明理由．

25．如图：

在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．

（1）AC与EF互相平分吗？

为什么？

（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？

为什么？

26．已知：

如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：

四边形BFCE是菱形．

27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．

（1）求证：

△BDE≌△CDF；

（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；

（3）在

（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？

并说明理由．

28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求证：

四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？

请回答并证明你的结论．

29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．

求证：

四边形AEDF是菱形．

30．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）探究：

线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？

若是，请证明，若不是，则说明理由．

矩形的判定专项练习30题参考答案：

1．1）证明：

∵点E为BC的中点，

∴BE=CE=

BC，

∵BA=AD=DC=

BC，

∴AB=BE=ED=AD，

∴四边形ABED是菱形；

（2）解：

过点D作DH⊥BC，垂足为H，

∵CD=DE=CE，

∴∠DEC=60°，

∴∠DBE=30°，

在Rt△BDH中，BD=4cm，

∴DH=2cm，

∵AF=DH，

∴AF=2cm．

2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形，

∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，

∵ON=NC，BM=MO，∴MN=

BC，∴BC=2DN

3．

（1）∵D，E分别是BC，AB的中点，

∴DE∥AC且DE=AF=

AC．

同理DF∥AB且DF=AE=

AB．

又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，

∴四边形AEDF是菱形．

（2）∵E是AB中点，∴AE=

AB=6cm，因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm．

4．

（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，

∵BC∥AF，

∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．

（2）∵EF∥BD，

∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴□ABCD是菱形．

5．1）证明：

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵AF∥BC，

∴∠1=∠2，

在△AEF和△DEC中

，

∴△AFE≌△DCE（AAS），

∴AF=DC；

（2）证明：

∵D是BC的中点，

∴DB=CD=

BC，

∵AF=CD，

∴AF=DB，

∵AF∥BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵∠BAC=90°，D为BC中点，

∴AD=

CB=DB，

∴四边形AFBD是菱形．

6．∵对角线BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠3=∠1，

∴∠3=∠2，

∴DC=BC，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

7．

（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，

∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，

∴∠FAC=60°，

∴AD=DC=AC，

又∵△ABC≌△EFC，

∴CA=CE，

又∵∠ECF=60°，

∴AC=EC=AE，

∴AD=DC=CE=AE，

∴四边形ADCE是菱形；

（2）

证明：

由

（1）可知：

△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，

∴∠EDC=∠BAC=

∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，

∴BC=

AC，

∵EC=CB，

∴EC=

AC，

∴E为AC中点，

∴DE⊥AC，

∴AE=EC，

∵AG∥BC，

∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，

∴△AEG≌△CEB，

∴AG=BC，（7分）

∴四边形ABCG是平行四边形，

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCG是矩形

8．在△ADE和△CDF中，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠AED=∠CFD=90°．

又∵DE=DF，

∴△ADE≌△CDF（AAS）

∴DA=DC，

∴平行四边形ABCD是菱形

9．

（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF，

∴∠EHC=∠B（两直线平行，同位角相等）．

∵EH=EC（已知），

∴∠EHC=∠C（等边对等角），

∴∠B=∠C（等量代换）；

（2）∵DE∥BC（已知），

∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．

∵∠B=∠C，

∴∠AED=∠ADE，

∴AD=AE，

∴▱ADFE是菱形．

10．1）证明：

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥EC．

又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，

∴GE=CE．

在Rt△AEG与Rt△AEC中，

，

∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；

（2）解：

△CEF是等腰三角形．理由如下：

∵CD是AB边上的高，

∴CD⊥AB．

又∵EG⊥AB，

∴EG∥CD，

∴∠CFE=∠GEA．

又由

（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，

∴∠GEA=∠CEA，

∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；

（3）解：

四边形GECF是菱形．理由如下：

∵由

（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由

（2）知，CE=CF，

∴GE=EC=FC．

又∵EG∥CD，即GE∥FC，

∴四边形GECFR是菱形．

11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，

∴DE

AC，EF

AB，

∴四边形ADEF为平行四边形．

又∵AC=AB，

∴DE=EF．

∴四边形ADEF为菱形．

12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，

∴ME∥AB，ME=

AB，

同理：

FH∥AB，FH=

AB，

∴四边形MENF是平行四边形，

∵M．F是AD，AC中点，

∴MF=

DC，

∵AB=CD，

∴MF=ME，

∴四边形MENF为菱形

13．∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，…（1分）

在△BAE和△DAE中，

∵

，

∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）

∴BE=DE，…（3分）

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，…（4分）

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，…（5分）

∴AB=BE=DE=AD，…（6分）

∴四边形ABED是菱形．

14．∵AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点，

∴AM=

AB=

AC=AN，

M0∥AC，NO∥AB，且MO=

AC=AN，

NO=

AB=AM（三角形中位线定理），

∴AM=MO=AN=NO，

∴四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）

15．证法一：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），

∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵CE=CE，

∴由勾股定理得：

AC=CF，

∵△ACG和△FCG中

，

∴△ACG≌△FCG，

∴∠CAD=∠CFG，

∵∠B=∠CAD，

∴∠B=∠CFG，

∴GF∥AB，

∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴AD∥EF，

即AG∥EF，AE∥GF，

∴四边形AEFG是平行四边形，

∵AE=EF，

∴平行四边形AEFG是菱形．

证法二：

∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，

∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，

∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，

∴∠1=∠2，

∵AD∥EF，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴AG=AE，

∵AE=EF，

∴AG=EF，

∵AG∥EF，

∴四边形AGFE是平行四边形，

∵AE=EF，

∴平行四边形AGFE是菱形．

16．∵CD∥AB，

∴∠FMC=∠FAN，

∴∠NAE=∠MCF（等角的余角相等），

在△CFM和△AEN中，

，

∴△CFM≌△AEN（ASA），

∴CM=AN，

∴四边形ANCM为平行四边形，

在△ADM和△CFM中，

，

∴△ADM≌△CFM（AAS），

∴AM=CF，

∴四边形ANCM是菱形

17．四边形BMDN是菱形．

∵AM∥BC，

∴∠AMB=∠MBN，

∵BM∥FN

∴∠MBN=∠BNF，

∴∠AMB=∠BNF，

又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，

∴△ABM≌△BFN，

∴BM=BN，

同理，△EMD≌△CND，

∴DM=DN，

∵ED=BF=AB，∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，

∴△ABM≌△EDM，

∴BM=DM，

∴MB=MD=DN=BN，

∴四边形BMDN是菱形

18．如图，由于DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF为平行四边形．

∵DE∥AC，∴∠3=∠2，

又∠1=∠2，∴∠1=∠3，

∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形．

19．∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB=ED，

∴∠EBD=∠EDB．

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠EBD=∠FBD．

∴∠FBD=∠EDB，

∴ED∥BF．

同理，DF∥BE，

∴四边形BFDE是平行四边形．

又∵EB=ED，

∴四边形BFDE是菱形．

20．方法一：

∵AE∥FC．

∴∠EAC=∠FCA．（2分）

又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴△AOE≌△COF．（5分）

∴EO=FO．

又EF⊥AC，

∴AC是EF的垂直平分线．（8分）

∴AF=AE，CF=CE，

又∵EA=EC，

∴AF=AE=CE=CF．

∴四边形AFCE为菱形．（10分）

方法二：

同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）

∴AE=CF．

∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）

又∵EF是AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴四边形AFCE是菱形．（10分）

方法三：

同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）

又EF⊥AC，（9分）

∴四边形AFCE为菱形

21．

（1）四边形BEDF是菱形．

在△DOF和△BOE中，

∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，

所以△DOF≌△BOE，

所以OE=OF．

又因为EF⊥BD，OD=OB，

所以四边形BEDF为菱形．（5分）

（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，

则DO=10，EO=7.5．

由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．

S菱形EBFD=

EF•BD=BE•AD，

即

所以得AD=12．

根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．

由2（AB+AD）=2（16+12）=56，

故矩形ABCD的周长为56

22．∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AF∥BE，

又∵EF∥AB，

∴四边形ABEF为平行四边形，

∵AE平分∠BAF，

∴∠BAE=∠FAE，

∵∠FAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴BA=BE，

∴平行四边形ABEF为菱形

23．

（1）证明：

在矩形ABCD中，

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠DCA，

又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，

∴∠EAC=∠FCA．

∴AE∥CF．

∴四边形AECF为平行四边形，

又∠CAE=∠ACE，

∴AE=EC．

∴▱AECF为菱形．

（2）设BE=x，则EC=AE=8﹣x，

在Rt△ABE中，

AB2+BE2=AE2，

即42+x2=（8﹣x）2．

解之得x=3，

所以EC=5，

即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20．

24．四边形AFCE是菱形，理由是：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴

=

，

∵AO=OC，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴平行四边形AFCE是菱形

25．

（1）AC与EF互相平分，连接CE，AF，

∵平行四边形ABCD，

∴AB∥CD，AB=CD，

又∵BE=DF，

∴AB+BE=CD+DF，

∴AE=CF，

∴AE∥CF，AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AC与EF互相平分；

（2）条件：

EF⊥AC，

∵EF⊥AC，

又∵四边形AECF是平行四边形，

∴平行四边形AECF是菱形．

26．∵AB=DCAC=BDBC=CB，

∴△ABC≌△DCB，

∴∠DBC=∠ACB，

∴BE=CE，

又∵∠BEC的平分线是EF，

∴EO是中线（三线合一），

∴BO=CO，

∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），

又∵BE=CE，

∴四边形BFCE是菱形．

27．

（1）证明：

∵CF∥BE，∴∠EBD=∠FCD，

D是BC边的中点，则BD=CD，∠BDE=∠CDF，

∴△BDE≌△CDF．

（2）如图所示，由

（1）可得CF=BE，又CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形；

（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC，理由：

当AB=AC时，则有AD⊥BC，又

（2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．

28．

（1）∵DE为BC的垂直平分线，

∴∠EDB=90°，BD=DC，

又∵∠ACB=90°，

∴DE∥AC，

∴E为AB的中点，

∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，

∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，

∠DEC=∠DFA，

∴AF∥CE，

又∵AF=CE，

∴四边形ACEF为平行四边形；

（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，

∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，

又∵∠BED=∠DEC，

∴∠EAC=∠ECA，

∴AE=EC，又EB=EC，

∴AE=EC=EB，

∵CE=

AB，

∴AC=

AB即可，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴当∠B=30°时，AB=2AC，

故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．

29．∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

又∵EF⊥AD，

∴∠AOE=∠AOF=90°

∵在△AEO和△AFO中

，

∴△AEO≌△AFO（ASA），

∴EO=FO

即EF、AD相互平分，

∴四边形AEDF是平行四边形

又EF⊥AD，

∴平行四边形AEDF为菱形

30．1）解：

OE=OF．理由如下：

∵CE是∠ACB的角平分线，

∴∠ACE=∠BCE，

又∵MN∥BC，

∴∠NEC=∠ECB，

∴∠NEC=∠ACE，

∴OE=OC，

∵OF是∠BCA的外角平分线，

∴∠OCF=∠FCD，

又∵MN∥BC，

∴∠OFC=∠ECD，

∴∠OFC=∠COF，

∴OF=OC，

∴OE=OF；

（2）解：

当∠ACB=90°，点O在AC的中点时，

∵OE=OF，

∴四边形AECF是正方形；

（3）答：

不可能．

解：

如图所示，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECF=

∠ACB+

∠ACD=

（∠ACB+∠ACD）=90°，

若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，

但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．