广东省东莞市中考数学试题及答案.docx

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广东省东莞市中考数学试题及答案

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广东省东莞市初中毕业生学业考试

数学

考试用时 100 分钟，满分为 120 分

一、选择题（本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是

正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1．－2 的倒数是（）

A．2B．－2

2 D． -

【答案】D。

【考点】倒数。

【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，直接得出结果。

2．据中新社北京 2010 年 12 月 8 日电，2010 年中国粮食总产量达到 546 400 000 吨，用科学记数

法表示为（）

A．5.464×107 吨B．5.464×108 吨C．5.464×109 吨D．5.464×1010 吨

【答案】B。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a ⨯10n，其中1 ≤ a <10，为整数，

表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。

故选 B。

3．将左下图中的箭头缩小到原来的

，得到的图形是（）

题 3 图A．B．C．D．

【答案】A。

【考点】相似。

【分析】根据形状相同，大小不一定相等的两个图形相似的定义，A 符合将图中的箭头缩小

到原来的

的条件；B 与原图相同；C 将图中的箭头扩大到原来的 2 倍；D 只将图中的箭头

长度缩小到原来的，宽度没有改变。

故选 A。

4．在一个不透明的口袋中，装有 5 个红球 3 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出

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一个球，摸到红球的概率为（）

C．

【答案】C。

【考点】概率。

【分析】根据概率的计算方法，直接得出结果。

5．正八边形的每个内角为（）

A．120ºB．135ºC．140ºD．144º

【答案】B。

【考点】多边形内角和定理。

【分析】根据多边形内角和定理，求出正八边形的内角和为（8-2）×1800=10800，再平均

10800÷8=1350。

二、填空题（本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相

应的位置上．

6．已知反比例函数 y =

的图象经过（1，－2），则 k = ____________．

【答案】－2。

【考点】点的坐标与函数的关系。

【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，只要将（1，－2）代入 y =

，即可求出 k 值。

7．使 x - 2 在实数范围内有意义的 x 的取值范围是______ _____．

【答案】 x ≥ 2 。

【考点】二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，由直接得出结果：

x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 。

8．按下面程序计算：

输入 x = 3 ，则输出的答案是_______________．

输入 x立方－x÷2答案

【答案】12。

【考点】求代数式的值。

x3 - x

9．如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C．若∠ A=40º，则∠ C=_____．

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【答案】250。

【考点】圆切线的性质，三角形内角和定理，圆周角与圆心

角的关系。

【分析】连接 OB。

∵ AB 与⊙O 相切于点 B，∴ ∠ OBA=900。

又∵ ∠ A=40º，∴ ∠ BOA=500。

∴ ∠ C=250。

10．如图

（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 AFBDCE，它的面积为 1；取

△ ABC

DEF 各边中点，连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1，如图

（2）中阴影部分；取△ A1B1C1

D1E1F1 各边中点，连接成正六角星形 A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，

则正六角星形 A4F4B4D4C4E4 的面积为_________________．

FEF

E F

C B

题 10 图

（1）

题 10 图

（2）

题 10 图（3）

【答案】

256

。

【考点】相似形面积比是对应边的比的平方，类比归纳。

【分析】∵ 正六角星形 A2F2B2D2C2E2 边长是正六角星形 A1F1B1D1C1E 边长的

，

256

三、解答题

（一）（本大题 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）

11．计算：

（ 2011 - 1） 0 + 18 sin 45︒ - 2 2 ．

【答案】解：

原式 = 1 + 3 2 ⋅2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0

【考点】0 次幂，二次根式，特殊角三角函数值。

【分析】根据 0 次幂，二次根式化简，特殊角三角函数值，直接得出结果。

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12．解不等式组：

⎨2x + 1 > -3,① ，并把解集在数轴上表示出来．

⎩8 - 2x ≤ x - 1 ②

【答案】解：

由①得， x > -2 。

由②得， x ≥ 3 。

∴ 原不等式组的解为 x ≥ 3 。

解集在数轴上表示如下：

【考点】无理数。

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：

同大取

。

大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）解集在数轴上表示时注意圆点的空心

和实心的区别。

13．已知：

如图，E，F 在 AC 上，AD//CB 且 AD=CB，∠ D=∠ B．

求证：

AE=CF．

A D

【答案】证：

∵AD//CB，∴∠ A=∠ C。

又∵AD=CB，∠ D=∠ B．

∴△ADF≌△CBE（ASA）。

∴AF =CE 。

题 13 图 C

∴ AF+FE =CE+FE，即 AE=CF。

【考点】全等三角形的判定和性质，等量变换。

【分析】要证 AE=CF，只要 AF =CE 经过等量变换即可得。

而要证 AF =CE，只要证△ADF≌△CBE

即可，△ADF≌△CBE 由已知条件易证。

14．如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为

（－4，0），⊙P 的半径为 2，将⊙P 沿 x 轴向右

平移 4 个单位长度得⊙P1．

（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P 与⊙P1 的位置关

－6 －－4 －－2 －

O 1 2 3 x

系；

（2）设⊙P1 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点

分别为 A，B，求劣弧 AB 与弦 AB 围成的图形的面

积（结果保留 π）．

【答案】解：

（1）画出⊙P1 如下：

－

－2

－3

题 14 图

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⊙P 与⊙P1 外切。

（2）劣弧 AB 与弦 AB 围成的图形的面积为：

⋅ π ⋅ 22 -⋅ 2 ⋅ 2=π - 2

【考点】图形的平移，圆与圆的位置关系，圆和三角形的面积。

（

【分析】 1）将⊙P 沿 x 轴向右平移 4 个单位长度得⊙P1 后，两圆圆心距与两圆半径之和相等，

故⊙P 与⊙P1 外切。

（2）劣弧 AB 与弦 AB 围成的图形的面积实际等于圆的四分之一面积减去∆OAB 的面积，

这样根据已知条件即易求出。

15．已知抛物线 y = 1

x 2 + x + c 与 x 轴没有交点．

（1）求 c 的取值范围；

（2）试确定直线 y = cx + 1 经过的象限，并说明理由．

【答案】解：

（1）∵抛物线 y=x2 + x + c 与 x 轴没有交点，

∴对应的一元二次方程x2 + x + c=0 没有实数根。

∴

以根据一次函数的图象特征，知道直线 y=cx + 1 顺次经过三、二、一象限。

【考点】二次函数与一元二次方程的关系，一次一次函数的图象特征。

（

【分析】 1）根据二次函数与一元二次方程的关系知，二次函数的图象与 x 轴没有交点，对应的

一元二次方程没有实数根，其根的判别式小于 0。

据此求出 c 的取值范围。

（2）根据一次函数的图象特征，即可确定直线 y=cx + 1 经过的象限。

四、解答题

（二）（本大题 4 小题，每小题 7 分，共 28 分）

16．某品牌瓶装饮料每箱价格 26 元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整

箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了 0.6 元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？

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【答案】解：

设该品牌饮料一箱有 x 瓶，依题意，得

1626

-=0.6化简，得 x2 + 3x - 130=0 。

xx + 3

解得x = - 13（不合，舍去），x =10。

经检验：

x=10符合题意。

答：

该品牌饮料一箱有 10 瓶。

【考点】分式方程的应用。

【分析】解题关键是找出等量关系，列出方程求解。

本题等量关系为：

每瓶原价—促销每瓶单价=促销每瓶比原价便宜的金额

1626

-=0.6

xx + 3

最后注意分式方程的检验和实际应用的取舍。

∠

17．如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘

有一条公路 l，AB 是 A 到 l 的小路. 现新修一条路 AC 到

公路 l. 小明测量出∠ ACD=30º， ABD=45º，BC=50m. 请

D B C l

第 17 题图

你帮小明计算他家到公路 l 的距离 AD 的长度（精确到

0.1m；参考数据：

2 ≈ 1.414 ， 3 ≈ 1.732 ）.

【答案】解：

∵∠ ABD=45º，∴ AD=BD。

∴ DC=AD+50。

∴ 在 Rt∆ACD 中，

ADAD3AD

AD + 50AD + 503AD + 50

解之，得 AD=25（ 3 +1）≈68.3m

【考点】解直角三角形，450 角直角三角形的性质，特殊角三角函数，根式化简。

【分析】根据 450 角直角三角形的性质得到 AD=BD，从而在 Rt∆ACD 中应用特殊角三角函数即可求

解。

18．李老师为了解班里学生的作息时间表，调查了班

上 50 名学生上学路上花费的时间，他发现学生所花

时间都少于 50 分钟，然后将调查数据整理，作出如

下频数分布直方图的一部分（每组数据含最小值不含

最大值）．请根据该频数分布直方图，回答下列问题：

（1）此次调查的总体是什么？

（2）补全频数分布直方图；

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（3）该班学生上学路上花费时间在 30 分钟以上（含 30 分钟）的人数占全班人数的百分比是多少？

【答案】解：

（1）“班里学生的作息时间”是总体。

（2）补全频数分布直方图如右：

（3）该班学生上学路上花费时间在 30

以上（含 30 分钟）的人数为 4+1=5 人，占全班人

百分比是 5÷50=10%。

【考点】总体，频数分布直方图，频数、频率与总

关系。

（

【分析】 1）总体表示考察对象的全体，所以班里学生的作息时间”是总体。

（2）该班学生上学路上花费时间在 30 分钟到 40 分钟（含 30 分钟）的人数为：

50—8—24—13—1=4。

据此补全频数分布直方图。

（3）根据频数、频率与总体的关系，直接求出。

19 ．如图，直角梯形纸片ABCD 中， AD//BC，∠ A=90º，

∠ C=30º．折叠纸片使 BC 经过点 D，点 C 落在点 E 处，BF 是

痕，且 BF=CF=8．

（1）求∠ BDF 的度数；

（2）求 AB 的长．

【答案】解：

（1）∵BF=CF，∠ C=30º，∴∠ CBF=∠ C=30º。

又∵∆BEF 是∆BCF 经折叠后得到的，

∴∆BEF≌∆BCF。

∴∠ EBF=∠ CBF=30º。

又∵∠ DFB=∠ CBF+∠ C=60º，∴∠BDF=1800—∠ DFB—∠ EBF=90º。

∴∠ BDF 的度数是 90º。

（2）在 Rt∆BDF 中，∠ DBF=30º，BF=8，

分钟

数的

体的

折

∴ BD = BF ⋅ cos∠DBF = 8cos300 = 8 ⨯

= 4 3 。

在 Rt∆ABD 中，∠ ABD=900—∠ EBF—∠ CBF=30º， BD = 4 3 ，

∴ AB = BD ⋅ cos∠ABD = 4 3cos300 = 4 3 ⨯

= 6 。

∴AB 的长是 6。

【考点】折叠对称，三角形外角定理，三角形内角和定理，解直角三角形，特殊角三角函数。

（

【分析】 1）要求∠ BDF 的度数，由三角形内角和定理只要求出∠ DFB 和∠ DBF 即可，而∠ DFB 和

∠ DBF 都可以由已知的∠ C 和折叠对称以及三角形外角定理求得。

（2）由

（1）的结论，解 Rt∆BDF 和 Rt∆BD 即可求得。

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五、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）

20．如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

234

56789

10111213141516

171819202122232425

2627282930313233343536

…………………………

（1）表中第 8 行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方，第 8 行共

有____________个数；

（2）用含 n 的代数式表示：

第 n 行的第一个数是___________________，最后一个数是

________________，第 n 行共有_______________个数；

（3）求第 n 行各数之和．

【答案】解：

（1）64，8，15。

（2）n2-2n+2，n2，2n-1。

（3）第 n 行各数之和：

（n

- 2n + 2）+ n 2

⋅ （2n - 1）= （n2 - n + 1）（2n - 1）。

【考点】分类归纳。

（

【分析】 1）

（2）由表的构成可以看出：

①每一行的最后一个数是：

行数的平方。

所以第 8 行的

最后一个数是 82=64；第 n 行的最后一个数是 n2。

②每一行的第一个数是：

前一行最后一个数加 1。

所以第 n 行的第一个数是（n-1）2+1=n2-2n+2。

③每一行的个数是：

最后一个数减去的第一个数加

1。

所以第 n 行个数是 n2-（n2-2n+2）=2n-1。

（3）每一行各数之和是：

这一行的第一个数与最后一个数的平均数剩以这一行的个数。

所以第 n 行各数之和为（n

- 2n + 2）+ n 2

⋅ （2n - 1）= （n2 - n + 1）（2n - 1）。

21．如图（1

ABC

EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB=AC=EF=9，∠ BAC=∠ DEF=90º，

ABC

DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开

始和结束时重合的情况，设 DE，DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G，H 点，如图

（2）

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A（D）FA（D）

BC（E）BGC

题 21 图

（1）

题 21 图

（2）

（1）问：

始终与△ AGC 相似的三角形有及；

（2）设 CG=x，BH=y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据图

（2）的情形说明理由）

（3）问：

当 x 为何值时，△ AGH 是等腰三角形.

【答案】解：

（

）HAB ，△HGA。

（2）∵△AGC∽△HAB，∴

∴ y= 81

。

AC GC

HB AB

9 x

，即 = 。

y 9

又∵ BC= 92 + 92 = 9 2 ， 0 < x < 9 2 。

0 < x< 9 2 。

（3）①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图 1，

BC9

可知 x = CG ==2 。

②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图 2，

在△HGA 和△AGC 中

∵ ∠ AGH=∠ CGA，∠ GAH=∠ C=450，

∴△HGA∽△AGC。

∵ AG=AH，∴ x = CG = AC = 9

∴当 x =2 或 x = 9 时，△ AGH 是等腰三角形。

【考点】三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，几何问题列函数关系式，等腰

三角形的判定。

（

【分析】 1

AGC 和△HAB 中，

∵ ∠ AGC=∠ B+∠ BAG=∠ B+900—∠ GAC=1350—∠ GAC，

∠ BAH=∠ BAC+∠ EAF—∠ EAC=900+450—∠ GAC，

∴∠ AGC=∠ BAH。

又∵ ∠ ACG=∠ HBA=450

AGC∽△HAB。

AGC 和△HGA 中，

∵ ∠ CAG=∠ EAF—∠ CAF=450—∠ CAF，

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∠ H=1800-∠ ACH—∠ CAH=1800—1350—∠ CAF=450—∠ CAF，

∴∠ CAG=∠ H。

又∵ ∠ AGC=∠ HGA

AGC∽△HGA。

（

）利用AGC∽△HAB 得对应边的比即可得。

（3）考虑∠GAH 是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。

517

22．如图，抛物线 y = -x2 +x + 1 与 y 轴交于 A

点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作

BC⊥x 轴，垂足为点 C（3，0）.

（1）求直线 AB 的函数关系式；

（2）动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单

位的速度向 C 移动，过点 P 作 PN⊥x 轴，交直线 AB

于点 M，交抛物线于点 N. 设点 P 移动的时间为 t 秒，

MN 的长度为 s 个单位，求 s 与 t 的函数关系式，并写

出 t 的取值范围；

（3）设在

（2）的条件下（不考虑点 P 与点 O，点 C 重合的情况），连接 CM，BN，当 t 为何值

时，四边形 BCMN 为平行四边形？

问对于所求的 t 值，平行四边形 BCMN 是否菱形？

请说明理由.

517

【答案】解：

（1）∵ A、B 在抛物线 y = -x2 +x + 1 上，

设直线 AB 的函数关系式为 y=kx + b ， ∴ 得方程组：

b = 1

3k + b =

5 ，解之，得

k =

b = 1

直线 AB 的解析式为 y=x + 1 。

（2）依题意有 P、M、N 的坐标分别为

1517

P（t，0），M（t， t + 1），N（t， - t 2 +t + 1 ）

244

∴ s = MN = NP - MP

517⎛ 1⎫

44⎝ 2⎭44

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（3）若四边形 BCMN 为平行四边形，则有 MN=BC，此时，有

5155

-t 2 +t =，解得 t = 1 ， t = 2

所以当 t=1 或 2 时，四边形 BCMN 为平行四边形。

当 t=1 时， MP =

3 5

， NP = 4 ，故 MN = NP - MP = 。

2 2

又在

MPC 中， MC =

此时四边形 BCMN 为菱形。

MP 2 + PC 2 = 5

，故 MN=MC，

当 t=2 时， MP = 2 ， NP =

9 5

，故 MN = NP - MP = 。

2 2

又在 Rt△MPC 中， MC =

MP 2 + PC 2 = 5 ，故 MN≠MC。

此时四边形 BCMN 不是菱形。

【考点】点的坐标与方程的关系，待定系数法，列二次函数关系式，平行四边形的性质，菱形的

判定，勾股定理。

（

【分析】 1）由 A、B 在抛物线上，可求出 A、B 点的坐标，从而用待定系数法求出直线 AB 的函

数关系式。

（2）用 t 表示 P、M、N 的坐标，由等式 MN = NP - MP 得到函数关系式。

（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出 t。

再讨论邻边是否相等。

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