高考数学总复习压轴题突破导数与零点个数附解析与综上可高考数学总复习压轴题突破.docx
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高考数学总复习压轴题突破导数与零点个数附解析与综上可高考数学总复习压轴题突破
2019年高考数学总复习压轴题突破--导数与零点个数（附解析）与综上可2019年高考数学总复习压轴题突破--极值点的关系证明（含解析）
2019年高考数学总复习压轴题突破--导数与零点个数（附解析）
专题02导数与零点个数
导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。
【题型示例】
1、设为实数,函数．
（1）求的极值点；
（2）如果曲线与轴仅有一个交点,求实数的取值范围．
【答案】
（1）的极大值点为,极小值点为．
（2）或．
2、已知函数.
（1）求的极值；
（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围.
【答案】
（1）极大值，无极小值；
（2）.
【解析】
（1）的定义域为, ,令得，
当时，，是增函数；
当时，，是减函数，
所以在处取得极大值,
无极小值.
（2）①当时，即时，
由
（1）知在上是增函数，在上是减函数，
所以 ，
因为的图象与的图象在上有公共点,
所以，解得，又，所以.
②当时，即时，在上是增函数，
所以在上最大值为，
所以原问题等价于,解得.
又，所以此时无解.
综上,实数 的取值范围是.
3、设函数（其中）．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）求函数在上的最小值；
（Ⅲ）若，判断函数零点个数．
【答案】
（1）极小值，不存在极大值；
（2）
（3）1个．
【解析】
（Ⅰ） ，
由得，由得，
在单调递增，在单调递减．
极小值，不存在极大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在单调递增，在单调递减．
当时，在单调递减，单调递增，
∴．
当时，在单调递增，
；
（Ⅲ）由题意
求导得，
由得或，由得
所以在上单调递增，在上单调递减
当 时，，
故函数只有一个零点．
4、已知函数 .
（I）若，求的极值；
（II）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】
（I）的极小值为；（II）或.
【解析】
（I）时，，其中
则得
当时，单调递减，当时，单调递增，
因而的极小值为 ；
（II）若有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个实数根，
分离参数得，设 ，则，
又设，，而
因而当时，当时，
那么当时，单调递增，
当时，单调递减，，
又时，且时
从而或 ，即或时函数有且只有一个零点.
【题型专练】
1、已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】
（1）有得极大值，无极小值；
（2）.
2、设函数, .关于的方程在区间上有解,求的取值范围;
【答案】的取值范围.
【解析】
方程即为,
令,则,
∴当时,,随变化情况如表:
, , ,
∴当时, ,∴的取值范围.
3、已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时（其中），不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.
【答案】
（1）的单调减区间为，增区间；
（2）；
（3）.
【解析】
∵,所以
（1）∵,令, 得：
，所以的单调减区间为，增区间；
（2）由
（1）知, 得，函数在上是连续的，又
所以，当时，的最大值为
故时，若使恒成立，则
（3）原问题可转化为：
方程在区间上恰有两个相异实根.
令，则，令，解得：
.
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增.
在和处连续，
又
且 当时，的最大值是，的最小值是
∴在区间上方程恰好有两个相异的实根时，实数的取值范围是：
4、设函数,其中为实数.
（1）若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围；
（2）若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
【答案】
（１）；（２）当或时，有个零点，当时,有个零点，证明见解析．
（2）在上恒成立,则,故.
①若,令得增区间为；令得减区间为,
当时, ；当时, ；当 时, ,
当且仅当时取等号.故:
时, 有个零点；当时, 有个零点.
5、已知函数在处的切线斜率为2.
（1）求的单调区间和极值;
（2）若在上无解,求的取值范围.
【答案】
（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
函数的极小值为，极大值为.
（2）
【解析】
（1）∵，∴，
∴，
令，解得或..
当变化时，的变化情况如下表:
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
∴函数的极小值为，极大值为.
（2）令，
∵在上无解,
∴在上恒成立,
∵，
记，
∵在上恒成立,
∴在上单调递减,
∴，
若，则，
∴，
∴单调递减,
∴恒成立,
若，则，存在，使得，
∴当时，，即，
∴在上单调递增,
∵，
∴在上成立,与已知矛盾,故舍去,
综上可2019年高考数学总复习压轴题突破--极值点的关系证明（含解析）
2019年高考数学总复习压轴题突破--极值点的关系证明（含解析）
专题01极值点的关系证明
极值点的关系证明是今年高考的热点和难点，其关键在于根据极值的必要条件确定极值点的关系，再通过极值的加减，运算整理，构造函数，再利用导数求最值即可证明。
以下给出四个例子及两个练习。
【题型示例】
1、已知函数,其中为正实数．
（1）若函数在处的切线斜率为，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数有两个极值点，求证：
．
【答案】
（1）
（2）单调减区间为, ,单调减区间为．
（3）见解析
【解析】
（1）因为，所以，
则,所以的值为．
（2） ，函数的定义域为，
若,即,则,此时的单调减区间为;
若,即,则的两根为,
此时的单调减区间为, ,
单调减区间为．
（3）由
（2）知，当时，函数有两个极值点,且．
因为
要证,只需证．
构造函数，则，
在上单调递增,又,且在定义域上不间断,
由零点存在定理，可知在上唯一实根,且．
则在上递减, 上递增,所以的最小值为．
因为,
当时, ,则,所以恒成立．
所以,所以，得证．
2、已知。
（1）若 时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.
（2）若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.
【答案】
（1）;
（2）.
【解析】
（1）当时, ,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.
（2）,,∴,
令,时,,,无极值点,
时,令得:
或,
由的定义域可知,且,
∴且,解得:
∴,为的两个极值点,
即, ,且, ,得:
,
令, ,
②时,,∴,
在递减, ,∴时, ,不合题意,
综上,.
3、已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）设有两个极值点，，若过两点，的直线与 轴的交点在曲线上，求的值．
【答案】
（1）当时，的极大值为；当时，的极小值为；
（2）见解析；
（3）或或．
【解析】
（1）当时，，则
则的关系如下：
增
减
增
所以，当时，的极大值为；当时，的极小值为．
（2）∵，∴
①当 时，，且仅当时，所以在R是增函数
②当 时，有两个根
当时，得或，所以的单独增区间为：
；
当时，得，所以的单独减区间为：
．
（3）由题设知，，是的两个根，∴，且
所以
同理，
所以，直线的解析式为
设直线与轴的交点为则，解得
代入得
因为在轴上，所以
解得，或或．
4、已知。
（1）若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.
（2）若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.
【答案】
（1）;
（2）.
【解析】
（1）当时, ,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.
（2）,,∴,
令,时,,,无极值点,
时,令得:
或,
由的定义域可知,且,
∴且,解得:
∴,为的两个极值点,
即, ,且, ,得:
,
令 , ,
②时,,∴,
在递减, ,∴时, ,不合题意,
综上,.
【专题练习】
1、设函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数有两个极值点，且，求证：
.
【答案】
（1）；
（2）函数在，单调递增，在单调递减．
（3）当函数有两个极值点时，，，
故此时，且，即，
所以，
设，其中，则，
由于时，，故在是增函数，故，所以.
②当，即时，的两个根为，，
当，即时，，当时，．
故当时，函数在单调递减，在单调递增；
当时，函数在，单调递增，在 单调递减．
（3）当函数有两个极值点时，，，
故此时，且，即，
所以，
设，其中，则，
由于时，，故在是增函数，故，所以.
2、已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求的取值范围.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】
（1）当时，，，所以.
因此曲线在点处的切线方程为.
（2）由题意得，
故的两个不等的实数为.
由韦达定理得，解得.
故，
设.
则，
所以在上单调递减，
所以.
因此的取值范围为.
知，.
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