【例题4】
【题干】设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
【答案】3或4
【解析】x=
=2±
,因为x是整数,即2±
为整数,所以
为整数,且n≤4,又因为n∈N*,取n=1,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意,所以n=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根.
五、课堂运用
【基础】
1.(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC有一内角为
,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )
A.与原命题同为假命题
B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
2.(2013·日照模拟)已知直线l1:
x+ay+1=0,直线l2:
ax+y+2=0,则命题“若a=1或a=-1,则直线l1与l2平行”的否命题为( )
A.若a≠1且a≠-1,则直线l1与l2不平行
B.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2不平行
C.若a=1或a=-1,则直线l1与l2不平行
D.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2平行
3.(2012·安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【巩固】
4.(2013·南京模拟)有下列几个命题:
①“若a>b,则a2>b2”的否命题;
②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
③“若x2<4,则-2其中真命题的序号是________.
5.已知α:
x≥a,β:
|x-1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.
【拔高】
6.已知集合A=
,B={x|-1
7.已知集合A=
,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
课程小结
1、对“四种命题”的理解
由于原命题和它的逆否命题是等价的,所以当一个命题的真假不易判断时,往往可以转化为判断它的逆否命题的真假;有的命题不易直接证明时,就可以改证它的逆否命题成立,所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”.
要注意:
否命题与命题的否定是不同的.
2、判断命题充要条件的三种方法是:
①定义法.
②等价法:
即利用A⇒B与綈B⇒綈A;B⇒A与綈A⇒綈B;A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题,一般运用等价法;
③利用集合间的包含关系判断,若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.