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概率论习题集答案
概率论习题集答案
【篇一：
概率论课后题答案整理】
xt>第一章
6.设a，b，c为三事件，且p（a）=p（b）=1/4，p（c）=1/3且p（ab）=p（bc）=0，?
p（ac）=1/12，求a，b，c至少
有一事件发生的概率.?
【解】p（a∪b∪c）=p（a）+p（b）+p（c）p（ab）p（bc）p（ac）+p（abc）
11113=4+4+312=4
8.?
对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1）求五个人的生日都在星期日的概率；
（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】
（1）设a1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故
1
5
p（a1）=71=（7
）5（亦可用独立性求解，下同）
（2）设a2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
655
p（a2）=7
6=（7
）5
（3）设a3={五个人的生日不都在星期日}
1
p（a3）=1p（a1）=1（7
）5
15.?
掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.
（1）问正好在第6次停止的概率；
（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.
【解】
（1）
1115
p1?
c52（）2（）3?
22232
（2）
1131c1（）（）4
?
2p2?
5/325
18.?
某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：
（1）在下雨条件下下雪的概率；
（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设a={下雨}，b={下雪}.
p（ba）?
（1）
p（ab）0.1
?
?
0.2p（a）0.5
（2）
p（a?
b）?
p（a）?
p（b）?
p（ab）?
0.3?
0.5?
0.1?
0.7
19.?
已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设a={其中一个为女孩}，b={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故
p（ba）?
p（ab）6/86
?
?
p（a）7/87
或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.
p（ba）?
67
20.?
已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人
数的一半）.
【解】设a={此人是男人}，b={此人是色盲}，则由贝叶斯公式
p（ab）?
p（a）p（ba）p（ab）
?
p（b）p（a）p（ba）?
p（a）p（ba）
?
23.?
设p（
0.5?
0.0520
?
0.5?
0.05?
0.5?
0.002521
a）=0.3,p（b）=0.4,p（ab）=0.5，求p（b｜a∪b）
p（ab）p（a）?
pab（）
?
p（a?
b）p（a）?
p（b）?
p（ab）
p（ba?
b）?
【解】
?
24.?
在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任
意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.
【解】设ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.b={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有
0.7?
0.51
?
0.7?
0.6?
0.54
p（b）?
?
p（bai）p（ai）
i?
0
3
323213
c3c9c1c8c9c6c3c9c369c67
?
3?
3?
3?
3?
3?
3?
3?
36c15c15c15c15c15c15c15c15?
0.089
25.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，
学生中有80%的人是努力学习的，试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？
（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？
【解】设a={被调查学生是努力学习的}，则
a={被调查学生是不努力学习的}.由题意知p（a）=0.8，p（a）=0.2，又设b={被
a）=0.9，故由贝叶斯公式知
调查学生考试及格}.由题意知p（b|a）=0.9，p（b|
（1）
p（a）p（ba）p（ab）
p（ab）?
?
p（b）p（a）p（ba）?
p（a）p（ba）
?
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
0.2?
0.11
?
?
0.02702
0.8?
0.9?
0.2?
0.137
（2）
p（a）p（ba）p（ab）
p（ab）?
?
p（b）p（a）p（ba）?
p（a）p（ba）
?
0.8?
0.14
?
?
0.3077
0.8?
0.1?
0.2?
0.913
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
26.将两信息分别编码为a和b传递出来，接收站收到时，a被误收作b的概率为0.02，而b被误收作a的概率为0.01.信息a
与b传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是a，试问原发信息是a的概率是多少？
【解】设a={原发信息是a}，则={原发信息是b}c={收到信息是a}，则={收到信息是b}由贝叶斯公式，得
p（ac）?
p（a）p（ca）p（a）p（ca）?
p（a）p（ca）
?
28.?
某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品
的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设a={产品确为合格品}，b={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得
2/3?
0.98
?
0.99492
2/3?
0.98?
1/3?
0.01
p（ab）?
p（a）p（ba）p（ab）?
p（b）p（a）p（ba）?
p（a）p（ba）
?
29.?
某保险公司把被保险人分为三类：
“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率
依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？
【解】设a={该客户是“谨慎的”}，b={该客户是“一般的”}，c={该客户是“冒失的”}，d={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得
0.96?
0.98
?
0.998
0.96?
0.98?
0.04?
0.05
p（a|d）?
p（ad）p（a）p（d|a）?
p（d）p（a）p（d|a）?
p（b）p（d|b）?
p（c）p（d|c）
?
30.?
加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独
0.2?
0.05
?
0.057
0.2?
0.05?
0.5?
0.15?
0.3?
0.3
立的，求加工出来的零件
32.?
证明：
若p（a｜b）=p（a｜b），则a，b相互独立.
【证】
p（ab）p（ab）
?
p（b）p（b）p（a|b）?
p（a|b）即
p（ab）p（b）?
p（ab）p（b）
亦即
p（ab）[1?
p（b）]?
[p（a）?
p（ab）]p（b）
因此故a与b相互独立.
p（ab）?
p（a）p（b）
111
33.?
三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为5，3，4，求将此密码破译出的概率.
【解】设ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则
3
p（?
ai）?
1?
p（a1a2a3）?
1?
p（a1）p（a2）p（a3）
i?
1
34.?
甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；
若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：
飞机被击落的概率.【解】设a={飞机被击落}，bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3由全概率公式，得
423
?
1?
?
?
?
0.6
534
p（a）?
?
p（a|bi）p（bi）
i?
0
3
57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的
报名表，从中先后抽出两份.?
（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；?
（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】设ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.
则
1
p（ai）?
i?
1,2,3
3
p（b1|a1）?
375
p（b1|a2）?
p（b1|a3）?
101525
3
（1）
137529
p?
p（b1）?
?
p（b1|ai）?
（?
?
）?
310152590i?
1
q?
p（b1|b2）?
（2）
3
p（b1b2）p（b2）
p（b2）?
?
p（b2|ai）p（ai）
而
i?
1
3
1782061?
（?
?
）?
310152590
p（b1b2）?
?
p（b1b2|ai）p（ai）
i?
1
137785202?
（?
?
?
?
?
）?
3109151425249
2
p（b1b2）20q?
?
?
61p（b2）6190故
习题二
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以x表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量x
的分布律.【解】
x?
3,4,5p（x?
3）?
p（x?
4）?
1
?
0.13c5
3
?
0.33c5
c24
p（x?
5）?
3?
0.6
c5
故所求分布律为
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以x表示取出的次品个数，求：
（1）x的分布律；
（2）x的分布函数并作图；（3）
133
p{x?
p{1?
x?
},p{1?
x?
p{1?
x?
2}
222.
【解】
【篇二：
概率论课后答案】
三、解答题
1．设p（ab）=0，则下列说法哪些是正确的？
（1）a和b不相容；
（2）a和b相容；（3）ab是不可能事件；（4）ab不一定是不可能事件；（5）p（a）=0或p（b）=0（6）p（a–b）=p（a）解：
（4）（6）正确.
2．设a，b是两事件，且p（a）=0.6，p（b）=0.7，问：
（1）在什么条件下p（ab）取到最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下p（ab）取到最小值，最小值是多少？
解：
因为p（ab）?
p（a）?
p（b）?
p（a?
b），又因为p（b）?
p（a?
b）即p（b）?
p（a?
b）?
0.所以
（1）当p（b）?
p（a?
b）时p（ab）取到最大值，最大值是p（ab）?
p（a）=0.6.
（2）p（a?
b）?
1时p（ab）取到最小值，最小值是p（ab）=0.6+0.7-1=0.3.3．已知事件a，b满足p（ab）?
p（ab），记p（a）=p，试求p（b）．解：
因为p（ab）?
p（ab），
即p（ab）?
p（a?
b）?
1?
p（a?
b）?
1?
p（a）?
p（b）?
p（ab），所以p（b）?
1?
p（a）?
1?
p.
4．已知p（a）=0.7，p（a–b）=0.3，试求p（ab）．
解：
因为p（a–b）=0.3，所以p（a）–p（ab）=0.3,p（ab）=p（a）–0.3,又因为p（a）=0.7，所以p（ab）=0.7–0.3=0.4，p（ab）?
1?
p（ab）?
0.6.
5．从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
解：
显然总取法有n?
c4
10种，以下求至少有两只配成一双的取法k：
法一：
分两种情况考虑：
k?
c12122
5c4（c2）+c5其中：
c1
2
1
2
5c4（c2）为恰有1双配对的方法数法二：
分两种情况考虑：
k?
c1c11
8?
c6
5
?
2!
+c2
5
1
其中：
c?
15
c8?
c6
2!
11
为恰有1双配对的方法数
1
2
1
2
法三：
分两种情况考虑：
k?
c5（c8?
c4）+c5其中：
c5（c8?
c4）为恰有1双配对的方法数法四：
先满足有1双配对再除去重复部分：
k?
c5c8-c5法五：
考虑对立事件：
k?
c10-c5（c2）其中：
c5（c2）为没有一双配对的方法数法六：
考虑对立事件：
k?
c
1
1
1410
4
4
4
1
2
2
1
2
1
14
14
?
1
c10?
c8?
c6?
c4
4!
1111
其中：
c10?
c8?
c6?
c4
4!
kc
410
为没有一双配对的方法数
所求概率为p?
?
1321
.
6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求：
（1）求最小号码为5的概率；
（2）求最大号码为5的概率．解：
（1）法一：
p?
c5
2
c10c4
32
3
?
112120
，法二：
p?
c3a5a10
31
12
?
112
（2）法二：
p?
c10
?
，法二：
p?
c3a4a10
3
2
?
120
7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．解：
设m1,m2,m3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则
3
2
2
1
p（m1）?
a44
3
?
38
p（m2）?
c3?
a4
4
3
?
916
p（m3）?
c44
3
?
116
8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？
解：
设m2,m1,m0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则p（m2）?
9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．
解：
设m1=“取到两个球颜色相同”，m1=“取到两个球均为白球”，m2=“取到两个球均为黑球”，则
c3c
2
25
?
0.3,p（m1）?
c3c2c
25
11
?
0.6,p（m1）?
c2c
2
25
?
0.1
m?
m1?
m2且m1?
m2?
?
.
所以p（m）?
p（m1?
m2）?
p（m1）?
p（m2）?
c5c8
22
?
c3c8
22
?
1328
.
10．若在区间（0，1）内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．
解：
这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xoy直角坐标系，如图.任取两个数的所有结果构成样本空间?
={（x，y）：
0?
x，y?
1}事件a=“两数之和小于6/5”={（x，y）?
?
：
x+y?
6/5}因此
2
a的面积?
的面积
?
4?
1?
?
?
?
2?
5?
11
2
p（a）?
?
?
1725
．
图？
2
2ax?
x（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求
11．随机地向半圆0?
y?
原点和该点的连线与x轴的夹角小于
?
4
的概率．
解：
这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?
表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xoy直角坐标系，如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间?
={（x，y）：
0?
x?
2a,0?
y?
事件a=“原点和该点的连线与x轴的夹角小于
2
2ax?
x}
?
4
”
2
={（x，y）：
0?
x?
2a,0?
y?
因此
2ax?
x,0?
?
?
?
4
}
1
p（a）?
a的面积?
的面积
?
2
a?
12
2
14
2
?
a
2
?
1
?
a
?
?
1．2
12．已知p（a）?
14
p（ba）?
1314
p（ab）?
?
13?
112
12
，求p（a?
b）．
解：
p（ab）?
p（a）p（ba）?
p（b）?
14
16
p（ab）p（a|b）
112
?
13.
?
112
?
12
?
16
p（a?
b）?
p（a）?
p（b）?
p（ab）?
?
?
13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？
解：
题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。
设a=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，b=“两件均为不合格品”；
2
2
p（a）?
1?
p（a）?
1?
c6c
210
?
23
，p（b）?
c4c
210
?
215
，
p（b|a）?
p（ab）p（a）
?
p（b）p（a）
?
215
/
23
?
15
14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？
已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：
设a=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，b=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则
11
p（a）?
c2c5
?
35
p（a）?
25
，由全概率公式得
3
p（b）?
p（a）p（b|a）?
p（a）p（b|a）?
由贝叶斯公式得
35
?
c5c
1
19
?
25
?
c4c
1
19
?
2345
p（a|b）?
p（a）p（b|a）
p（b）
?
35
?
c5c
1
19
/
2345
?
1523
.
15．将两信息分别编码为a和b传递出去，接收站收到时，a被误收作b的概率为0.02，而b被误收作a的概率为0.01，信息a与信息b传送的频繁程度为2：
1，若接收站收到的信息是a，问原发信息是a的概率是多少？
解：
设m=“原发信息是a”，n=“接收到的信息是a”，已知
p（n|m）?
0.02,p（n|m）?
0.01,p（m）?
所以
2313
.
p（n|m）?
0.98,p（n|m）?
0.99,p（m）?
由贝叶斯公式得
p（m|n）?
p（m）p（n|m）
p（m）p（n|m）?
p（m）p（n|m）
?
2
21196
?
0.98?
（?
0.98?
?
0.01）?
.333197
111
,，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是534
16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为多少？
解：
设ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.已知p（a1）?
15
p（a2）?
13
p（a3）?
14
所以p（a1）?
45
p（a2）?
23
p（a3）?
3434
至少有一人能将此密码译出的概率为
1?
p（a1a2a3）?
1?
p（a1）p（a2）p（a2）?
1?
17．设事件a与b相互独立，已知p（a）=0.4，p（a∪b）=0.7，求p（ba）.解：
由于a与b相互独立，所以p（ab）=p（a）p（b）,且
45
?
23
?
?
35
.
p（a∪b）=p（a）+p（b）-p（ab）=p（a）+p（b）-p（a）p（b）
将p（a）=0.4，p（a∪b）=0.7代入上式解得p（b）=0.5，所以
p（ba）?
1?
p（ba）?
1?
p（ab）p（a）
?
1?
p（a）p（b）p（a）
?
1?
p（b）?
1?
0.5?
0.5.
或者,由于a与b相互独立,所以a与b相互独立，所以
p（ba）?
p（b）?
1?
p（b）?
1?
0.5?
0.5.
18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？
解：
设a=“甲射击目标”，b=“乙射击目标”，m=“命中目标”，已知p（a）=p（b）=1,p（ma）?
0.6,p（mb）?
0.5,所以
p（m）?
p（ab?
ab?
ab）?
p（ab）?
p（ab）?
p（ab）.
由于甲乙两人是独立射击目标，所以
p（m）?
p（a）p（b）?
p（a）p（b）?
p（a）p（b）?
0.6?
0.5?
0.4?
0.5?
0.6?
0.5?
0.8.
4
p（a|m）?
p（am）p（m）
?
p（a）p（m|a）
p（m）
?
1?
0.60.8
?
0.75
19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问：
（1）用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？
（2）第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？
解：
设ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3；bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.
（1）根据题意，p（a1）=0.7，p（a2）=0.8，p（a3）=0.9，p（b1）=0.7,p（b2）=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为
p（a1a2a3）=p（a1）p（a2）p（a3）=0.7?
0.8?
0.9?
0.504,
第二种工艺加工得到合格品的概率为
p（b1b2）=p（b1）p（b2）=0.7?
0.8?
0.56,
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而p（b1）=p（b2）=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为
p（b1b2）=p（b1）p（b2）=0.7?
0.7?
0.49.
可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。
p（a）?
p（b）?
p（c）?
1．设两两相互独立的三事件a，b和c满足条件abc=?
，
求p（a）．
解：
因为abc=?
，所以p（abc）=0,
因为a，b，c两两相互独立，p（a）?
p（b）?
p（c）,所以
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