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1、概率论习题集答案概率论习题集答案【篇一：概率论课后题答案整理】xt第一章 6.设a，b，c为三事件，且p（a）=p（b）=1/4，p（c）=1/3且p（ab）=p（bc）=0，?p（ac）=1/12，求a，b，c至少 有一事件发生的概率.? 【解】p（abc）=p(a)+p(b)+p(c)p(ab)p(bc)p(ac)+p(abc) 11113=4+4+312=4 8.?对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设a1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为7

2、5，有利事件仅1个，故 1 5 p（a1）=71=（7 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设a2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故 655 p（a2）=7 6=(7 )5 (3) 设a3=五个人的生日不都在星期日 1 p（a3）=1p(a1)=1(7 )5 15.?掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1） 问正好在第6次停止的概率； （2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 【解】（1） 1115 p1?c52()2()3? 22232(2) 1131c1()()4 ?2p2? 5/325 18.?某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，

3、既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设a=下雨，b=下雪. p(ba)? （1） p(ab)0.1 ?0.2p(a)0.5（2） p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?0.3?0.5?0.1?0.7 19.?已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）. 【解】 设a=其中一个为女孩，b=至少有一个男孩，样本点总数为23=8，故 p(ba)? p(ab)6/86 ?p(a)7/87 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. p(ba)? 67 20.?已知5%的男人和0

4、.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人 数的一半）. 【解】 设a=此人是男人，b=此人是色盲，则由贝叶斯公式 p(ab)? p(a)p(ba)p(ab) ?p(b)p(a)p(ba)?p(a)p(ba) ? 23.?设p（ 0.5?0.0520 ? 0.5?0.05?0.5?0.002521 a）=0.3,p(b)=0.4,p(ab)=0.5，求p（bab） p(ab)p(a)?pab() ? p(a?b)p(a)?p(b)?p(ab) p(ba?b)? 【解】 ? 24.?在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意

5、取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任 意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设ai=第一次取出的3个球中有i个新球，i=0,1,2,3.b=第二次取出的3球均为新球 由全概率公式，有 0.7?0.51 ? 0.7?0.6?0.54 p(b)?p(bai)p(ai) i?0 3 323213 c3c9c1c8c9c6c3c9c369c67 ?3?3?3?3?3?3?3?36c15c15c15c15c15c15c15c15?0.089 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查， 学生中有

6、80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设a=被调查学生是努力学习的，则 a=被调查学生是不努力学习的.由题意知p（a）=0.8，p（a）=0.2，又设b=被 a）=0.9，故由贝叶斯公式知 调查学生考试及格.由题意知p（b|a）=0.9，p（b|（1） p(a)p(ba)p(ab) p(ab)? p(b)p(a)p(ba)?p(a)p(ba) ? 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% 0.2?0.11 ?0.02702 0.8?0.9?0.2?0.137 (2) p(a)p(ba)

7、p(ab) p(ab)? p(b)p(a)p(ba)?p(a)p(ba) ? 0.8?0.14 ?0.3077 0.8?0.1?0.2?0.913 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. 26. 将两信息分别编码为a和b传递出来，接收站收到时，a被误收作b的概率为0.02，而b被误收作a的概率为0.01.信息a 与b传递的频繁程度为21.若接收站收到的信息是a，试问原发信息是a的概率是多少？ 【解】 设a=原发信息是a，则=原发信息是b c=收到信息是a，则=收到信息是b 由贝叶斯公式，得 p(ac)? p(a)p(ca)p(a)p(ca)?p(a)p(ca) ? 28.?某工厂生

8、产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品 的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设a=产品确为合格品，b=产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得 2/3?0.98 ?0.99492 2/3?0.98?1/3?0.01 p(ab)? p(a)p(ba)p(ab)?p(b)p(a)p(ba)?p(a)p(ba) ? 29.?某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率 依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，

9、“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设a=该客户是“谨慎的”，b=该客户是“一般的”， c=该客户是“冒失的”，d=该客户在一年内出了事故 则由贝叶斯公式得 0.96?0.98 ?0.998 0.96?0.98?0.04?0.05 p(a|d)? p(ad)p(a)p(d|a)?p(d)p(a)p(d|a)?p(b)p(d|b)?p(c)p(d|c) ? 30.?加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独 0.2?0.05 ?0.05

10、7 0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.3立的，求加工出来的零件 32.?证明：若p（ab）=p(ab)，则a，b相互独立. 【证】 p(ab)p(ab) ?p(b)p(b) p(a|b)?p(a|b)即 p(ab)p(b)?p(ab)p(b) 亦即 p(ab)1?p(b)?p(a)?p(ab)p(b) 因此 故a与b相互独立. p(ab)?p(a)p(b) 111 33.?三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为5，3，4，求将此密码破译出的概率. 【解】 设ai=第i人能破译（i=1,2,3），则 3 p(?ai)?1?p(a1a2a3)?1?p(a1)p(a2)p(a3

11、) i?1 34.?甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2； 若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设a=飞机被击落，bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 423 ?1?0.6 534 p(a)?p(a|bi)p(bi) i?0 3 57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的 报名表，从中先后抽出两份.? （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；?

12、 （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设ai=报名表是取自第i区的考生，i=1,2,3. bj=第j次取出的是女生表，j=1,2. 则 1 p(ai)?,i?1,2,3 3 p(b1|a1)? 375 ,p(b1|a2)?,p(b1|a3)?101525 3 (1) 137529 p?p(b1)?p(b1|ai)?(?)? 310152590 i?1q?p(b1|b2)? (2) 3 p(b1b2)p(b2) p(b2)?p(b2|ai)p(ai) 而 i?1 3 1782061?(?)?310152590 p(b1b2)?p(b1b2|ai)p(ai)

13、i?1 137785202?(?)?3109151425249 2 p(b1b2)20q? 61p(b2)6190故 习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以x表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量x 的分布律. 【解】 x?3,4,5p(x?3)?p(x?4)? 1 ?0.13c5 3 ?0.33c5 c24 p(x?5)?3?0.6 c5 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以x表示取出的次品个数，求： （1） x的分布律； （2） x的分布函数并作图； (3) 133 px?p1?x?

14、,p1?x?p1?x?2 222. 【解】【篇二：概率论课后答案】三、解答题 1设p(ab) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) a和b不相容； (2) a和b相容； (3) ab是不可能事件； (4) ab不一定是不可能事件； (5) p(a) = 0或p(b) = 0 (6) p(a b) = p(a) 解：(4) (6)正确. 2设a，b是两事件，且p(a) = 0.6，p(b) = 0.7，问： (1) 在什么条件下p(ab)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下p(ab)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为p(ab)?p(a)?p(b)?p(a?b)， 又因为p(b)

15、?p(a?b)即p(b)?p(a?b)?0. 所以 (1) 当p(b)?p(a?b)时p(ab)取到最大值，最大值是p(ab)?p(a)=0.6. (2) p(a?b)?1时p(ab)取到最小值，最小值是p(ab)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件a，b满足p(ab)?p(ab)，记p(a) = p，试求p(b) 解：因为p(ab)?p(ab)， 即p(ab)?p(a?b)?1?p(a?b)?1?p(a)?p(b)?p(ab)， 所以 p(b)?1?p(a)?1?p. 4已知p(a) = 0.7，p(a b) = 0.3，试求p(ab) 解：因为p(a b) = 0.3，所以p(a )

16、 p(ab) = 0.3, p(ab) = p(a ) 0.3, 又因为p(a) = 0.7，所以p(ab) =0.7 0.3=0.4，p(ab)?1?p(ab)?0.6. 5 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n?c4 10种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k?c12122 5c4(c2)+c5 其中：c1 2 1 2 5c4(c2)为恰有1双配对的方法数 法二：分两种情况考虑：k?c1c11 8?c6 5 ? 2! +c2 5 1其中：c? 15 c8?c6 2! 11 为恰有1双配对的方法数 1 2 1

17、 2 法三：分两种情况考虑：k?c5(c8?c4)+c5 其中：c5(c8?c4)为恰有1双配对的方法数 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k?c5c8-c5 法五：考虑对立事件：k?c10-c5(c2) 其中：c5(c2)为没有一双配对的方法数 法六：考虑对立事件：k?c 1 1 1410 4 4 4 1 2 2 1 2 1 14 14 ? 1 c10?c8?c6?c4 4! 1111 其中： c10?c8?c6?c4 4! kc 410 为没有一双配对的方法数 所求概率为p? 1321 . 6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码求： (1) 求

18、最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率 解：(1) 法一：p? c5 2 c10c4 32 3 ? 112120 ，法二：p? c3a5a10 31 12 ? 112 (2) 法二：p? c10 ?，法二：p? c3a4a10 3 2 ? 120 7将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率 解：设m1, m2, m3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则 3 2 2 1 p(m1)? a44 3 ? 38 , p(m2)? c3?a4 4 3 ? 916 , p(m3)? c44 3 ? 116 8设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，

19、从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设m2, m1, m0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 p(m2)? 9口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：设m1=“取到两个球颜色相同”，m1=“取到两个球均为白球”，m2=“取到两个球均为黑球”，则 c3c 2 25 ?0.3,p(m1)? c3c2c 25 11 ?0.6,p(m1)? c2c 2 25 ?0.1 m?m1?m2且m1?m2?. 所以p(m)?p(m1?m2)?p(m1)?p(m2)? c5c8 22 ?

20、 c3c8 22 ? 1328 . 10 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示任取两个数，在平面上建立xoy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = (x，y)：0 ? x，y ? 1 事件a =“两数之和小于6/5”= (x，y) ? ? ： x + y ? 6/5 因此 2a的面积?的面积 ?4? 1? 2?5? 11 2 p(a)? 1725 图？ 2 2ax?x（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求 11随机地向半圆0?y? 原点和该点的连线与x轴的夹角小于 ? 4 的

21、概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xoy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ?=(x，y)：0?x?2a,0?y? 事件a =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 2 2ax?x ? 4 ” 2 =(x，y)：0?x?2a,0?y?因此 2ax?x,0? ? 4 1 p(a)? a的面积?的面积 ?2 a?12 2 14 2 ?a 2 ? 1 ?a ? ? 1 2 12已知p(a)? 14 ,p(ba)? 1314 ,p(ab)?13?112 12 ，求p(a?b) 解：p(ab)?p

22、(a)p(ba)?,p(b)?14 16 p(ab)p(a|b) 112 ?13. ? 112 ? 12 ? 16 , p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)? 13设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设a=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，b=“两件均为不合格品”； 2 2 p(a)?1?p(a)?1? c6c 210 ? 23 ，p(b)?

23、 c4c 210 ? 215 ， p(b|a)? p(ab)p(a) ? p(b)p(a) ? 215 / 23 ? 15 14有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：设a=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，b=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则 11 p(a)? c2c5 ? 35 ,p(a)? 25 ，由全概率公式得 3p(b)?p(a)p(b|a)?p(a)p(b

24、|a)? 由贝叶斯公式得 35 ? c5c 1 19 ? 25 ? c4c 1 19 ? 2345 , p(a|b)? p(a)p(b|a) p(b) ? 35 ? c5c 1 19 / 2345 ? 1523 . 15将两信息分别编码为a和b传递出去，接收站收到时，a被误收作b的概率为0.02，而b被误收作a的概率为0.01，信息a与信息b传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是a，问原发信息是a的概率是多少？ 解：设m=“原发信息是a”，n=“接收到的信息是a”， 已知 p(n|m)?0.02,p(n|m)?0.01,p(m)? 所以 2313 . p(n|m)?0.98,p(n|m)

25、?0.99,p(m)? 由贝叶斯公式得 , p(m|n)? p(m)p(n|m) p(m)p(n|m)?p(m)p(n|m) ? 2 21196 ?0.98?(?0.98?0.01)?. 333197 111 ,，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是534 16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为多少？ 解：设ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知p(a1)? 15 ,p(a2)? 13 ,p(a3)? 14 ,所以p(a1)? 45 ,p(a2)? 23 ,p(a3)? 3434 , 至少有一人能将此密码译出的概率为 1?p(a1a2a3)?1?p(a1)p

26、(a2)p(a2)?1? 17设事件a与b相互独立，已知p(a) = 0.4，p(ab) = 0.7，求p(ba). 解：由于a与b相互独立，所以p(ab)=p(a)p(b),且 45 ? 23 ? 35 . p(ab)=p(a)+ p(b) - p(ab)= p(a)+ p(b) - p(a)p(b) 将p(a) = 0.4，p(ab) = 0.7代入上式解得 p(b) = 0.5，所以 p(ba)?1?p(ba)?1? p(ab)p(a) ?1? p(a)p(b)p(a) ?1?p(b)?1?0.5?0.5. 或者,由于a与b相互独立,所以a与b相互独立，所以 p(ba)?p(b)?1?p

27、(b)?1?0.5?0.5. 18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设a=“甲射击目标”，b=“乙射击目标”，m=“命中目标”， 已知p(a)=p(b)=1,p(ma)?0.6,p(mb)?0.5,所以 p(m)?p(ab?ab?ab)?p(ab)?p(ab)?p(ab). 由于甲乙两人是独立射击目标，所以 p(m)?p(a)p(b)?p(a)p(b)?p(a)p(b)?0.6?0.5?0.4?0.5?0.6?0.5?0.8. 4p(a|m)? p(am)p(m) ? p(a)p(m|a) p(m) ? 1?0.6

28、0.8 ?0.75 19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？ (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？ 解：设ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2. （1）根据题意，p(a1)=0.7，p(a2)=0.8，p(a3)=0.9，p(b1)=0.7,p(b2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

29、p(a1a2a3)= p(a1)p(a2)p(a3)=0.7?0.8?0.9?0.504, 第二种工艺加工得到合格品的概率为 p(b1b2)= p(b1)p(b2)=0.7?0.8?0.56, 可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。 （2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而p(b1)=p(b2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为 p(b1b2)= p(b1)p(b2)=0.7?0.7?0.49. 可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。 p(a)?p(b)?p(c)? 1设两两相互独立的三事件a，b和c满足条件abc = ?， 求p(a) 解：因为abc = ?，所以p(abc) =0, 因为a，b，c两两相互独立，p(a)?p(b)?p(c),所以 1