人教版数学八年级上册第十一章思维点拨三角形.docx

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人教版数学八年级上册第十一章思维点拨三角形

思维点拨：

三角形

如图，三角形ABO的边AO、BO分别是三角形DOC的边CO、DO的延长线，则∠A+∠B=∠C+∠D.

   解：

在三角形ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在三角形COD中，∠C+∠D＋∠DOC=180°，所以∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D＋∠DOC.又因为∠AOB＝∠DOC，所以∠A+∠B=∠C+∠D.

由此我们得到以下结论：

如果两个三角形有一个角是对顶角，那么这两个三角形的另外两个角的和相等.

   【例1】如图，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.

   【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

   解：

连结DE，由以上结论可知：

∠A+∠C=∠CED+∠EDA，

   又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°，

   所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°.

   即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.

   【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.

   【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.

   解：

连结CD，则∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，

   又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°，

   所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°.

   【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法.

【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（    ）.

   【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，

   所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－

   在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），

   所以∠1＝90°－［180°－（∠2＋∠3）］=（∠3+∠2）.

   又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G.

   所以∠G＝∠1－∠2＝（∠3+∠2）－∠2＝（∠3－∠2）.

   所以应选C.

   【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？

   【思考与解】延长BD，与AC交于E点，

   因为∠DEC是三角形ABE的外角，

   所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°.

   又因为∠BDC是三角形CDE的外角，

   所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°.

   【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.

【例5】如图，已知∠B＝10°，∠C＝20°，∠BOC＝110°，你能求出∠A的度数吗？

   【思考与分析】要求∠A的度数，我们可以设法让∠A成为某个与已知角相关的三角形的内角.我们可延长BO交AC于D，则∠A、∠B即为三角形ABD的两个内角.根据三角形外角的性质，欲求∠A的度数，可先求∠ODC的度数，由∠BOC＝110°，∠C＝20°即可求出∠ODC的度数.

   解：

延长BO交AC于D.

   因为∠BOC是三角形ODC的外角，

   所以∠BOC＝∠ODC+∠C.

   因为∠BOC=110°，∠C＝20°，

   所以∠ODC＝110°－20°＝90°.

   因为∠ODC是三角形ABD的外角，

   所以∠ODC＝∠A+∠B.

   因为∠B＝10°，

   所以∠A＝90°－10°＝80°.

   【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明∠BDC>∠BAC.

   【思考与分析】∠BDC和∠BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来.我们延长BD交AC于P，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题.

   解：

延长BD交AC于P，则∠BDC>∠DPC，∠DPC>∠BAC，所以∠BDC>∠BAC.

   【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论.

【例7】已知三角形ABC的一个内角度数为40°，且∠A=∠B，你能求出∠C的外角的度数吗？

   【思考与分析】在三角形ABC中，∠A=∠B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40°的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答.

   解：

（1）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的顶角时，则∠α的外角等于180°－40°＝140°，而∠C＝∠α，所以∠C的外角的度数为140°.

（2）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的底角时，∠A=∠B＝∠α＝40°，此时∠C的外角＝∠A＋∠B＝80°.

【例8】已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出∠BHC的度数吗？

   【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进行讨论.

   解：

当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示.

   因为BD、CE是三角形ABC的高，∠A=45°，

   所以∠ADB=∠BEH=90°，∠ABD=90°－45°＝45°.

   所以∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.

（2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示.

   因为H是三角形的两条高所在直线的交点，∠A=45°，

   所以∠ABD＝90°－45°＝45°.

   所以在直角三角形EBH中，∠BHC=90°－∠ABD＝90°－45°＝45°.

   由

（1）、

（2）可知，∠BHC的度数为135°或45°.

   【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整

【例9】如图，已知三角形ABC中，∠B=∠C＝2∠A，你能求出∠A的度数吗？

   【思考与分析】我们由三角形内角和可知，∠A+∠B+∠C=180°，又因为∠B=∠C＝2∠A，可得∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即可求出∠A的度数.

我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与∠B=∠C＝2∠A这两个已知条件求未知量∠A的度数.用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要抓住题中的不变量，建立等量关系.题中的不变量是三角形内角和等于180°，其等量关系是∠A+∠B+∠C=180°，然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程.

   设∠A的度数为x，则可以用2x分别表示∠B、∠C的度数，将这个等式转化为方程x＋2x＋2x＝180°，即可求出∠A的度数.

   解法一：

因为∠B=∠C＝2∠A，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即∠A＝36°.

   解法二：

设∠A的度数为x，则∠B、∠C的度数都为2x，列方程得x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.

【例10】判断适合下列条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.

（1）∠A=80°，∠B=25°；

（2）∠A－∠B=30°，∠B－∠C=36°；

   【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了，本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度数即可.

（1）题通过直接计算就可以求出∠C的度数，

（2）（3）题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解.

   解：

（1）因为∠A＝80°，∠B=25°，所以∠C=180°-80°-25°=75°，所以三角形ABC是锐角三角形.

（2）设∠B＝x°，则∠A＝（30+x）°，∠C＝（x-36）°，所以x°＋（30+x）°+（x-36）°＝180°，解得x＝62，所以最大角∠A＝92°，所以三角形ABC是钝角三角形.

   （3）设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝6x°，则x°＋2x°＋6x°＝180°，解得x＝20，所以∠C＝120°，所以三角形ABC是钝角三角形.

   【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一.在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，且各角之间有相互关系，我们可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解.

利用高线与边垂直的性质求度数

　　【例11】已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．

　　【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论．

　　解：

（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.

（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．

　　所以∠BAC为90°或50°．

　　【小结】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.

　　2.利用三角形面积公式求线段的长度

　　【例12】如图，△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？

　　【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设△ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，hb，hc，那么三角形的面积S=aha=bhb=chc.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积S△ABC=BC·AD=AB·CE，解决十分方便.

　　解：

S△ABC=BC·AD=AB·CE

　　×5×3=AB·4，解得AB=（cm）．

　　【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．

【例13】如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为             ，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为        .

　　【思考与解】

（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差＝（AB+BD+AD）－（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD，所以上式＝AB-AC=5-3=2（cm）.

（2）因为S三角形ABD＝BD×AE，S三角形ACD＝CD×AE，而BD=CD，所以S三角形ABD＝S三角形ACD.

　　【例