八年级数学 第十一章 第1节 全等三角形 人教新课标版.docx

八年级数学 第十一章 第1节 全等三角形 人教新课标版.docx

《八年级数学 第十一章 第1节 全等三角形 人教新课标版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学 第十一章 第1节 全等三角形 人教新课标版.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

八年级数学第十一章第1节全等三角形人教新课标版

初二数学第十一章第1节全等三角形人教新课标版

一、学习目标：

1.通过实例理解全等图形的概念和特征，并能找出全等图形。

2.能叙述全等三角形的定义及相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角。

3.掌握全等三角形的性质，会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。

二、重点、难点：

重点是全等三角形的概念，难点是全等三角形的对应顶点要对应写，对应关系要明确。

三、考点分析：

本讲所涉及的考点是全等三角形的概念与全等三角形的性质。

在这里，全等三角形的概念属于了解范畴，而全等三角形的性质属于掌握范畴，对其性质还要求会运用。

这两个知识点不会单独出大题，只会以小题的形式出现，或在大题中用到。

所以，大家只要在掌握各概念性质的基础上弄清对应关系即可。

1.全等三角形的基本概念:

（1）全等图形的定义：

能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

（2）全等三角形的定义：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边。

重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示方法：

△ABC≌△A’B’C’（如图1）

2.全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）全等三角形的对应角相等。

知识点一：

全等三角形的基本概念

例1.下列说法正确的有（）

①用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形

②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形

③所有的正方形是全等图形

④全等图形的面积一定相等

A.1个B.2个C.3个D.4个

思路分析：

1）题意分析：

本题主要考查全等图形定义中对“能够完全重合”的理解。

2）解题思路：

根据全等图形的定义：

“能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

”来判断题目中每一句话中所谈到的图形是否能完全重合。

解答过程：

用一张底片冲洗出来的10张一寸照片的形状和大小完全相同，它们是全等图形，所以①正确；我国国旗上的四颗小五角星的形状和大小也完全相同，它们也是全等图形；所以②正确；所有的正方形只是形状相同，但大小不一定相同，所以它们不是全等图形，故③不正确；全等图形的形状和大小完全相同，所以面积一定相等，所以④正确。

因此，①②和④是正确的，故选C。

解题后的思考：

在判断全等图形或全等三角形时，一定要根据定义看我们所要判断的图形是否能够完全重合。

例2.已知：

如图2，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）

A.DBB.BCC.CDD.AD

思路分析：

1）题意分析：

本题一方面考查全等三角形的概念，另一方

面考查全等三角形的对应顶点、对应边、对应角是否对应。

本题通过给出条件AB∥CD，得出∠ADB=∠CBD，从而得出点D和点B是对应顶点。

2）解题思路：

由于AB和DB、BC、AD都不可能相等，所以不可能是对应边。

解答过程：

由于对应边一定是全等三角形能够重合的边，所以对应边必须相等才可能重合，而DB、BC、AD都不等于AB，所以都不是AB的对应边，故AB的对应边是CD。

答案选（C）。

解题后的思考：

本题主要考查全等三角形的定义及全等三角形各顶点的对应关系。

例3.观察图3中的各个图形，其中的全等图形为（图形用编号表示）：

。

图3

思路分析：

1）题意分析：

全等图形是指能够完全重合的两个图形，目前要判断两个图形是否全等，一般是通过观察法，看它们经过平移、翻折、旋转之后能不能完全重合。

2）解题思路：

判断图形是否全等，一般要通过平移、旋转、翻折后看其是否完全重合，在解答本题时，首先找出同类图形，然后看其通过平移、旋转、翻折后能否完全重合。

解答过程：

（1）和（6）通过平移能够重合，所以

（1）和（6）是全等图形；

（2）和（5）通过翻折、平移后能够重合，所以

（2）和（5）是全等图形；（3）和（8）通过旋转、平移后能够重合，所以（3）和（8）是全等图形。

因此，本题中的全等形为

（1）和（6），

（2）和（5），（3）和（8）。

解题后的思考：

本题一方面考虑到全等图形的定义：

“能够完全重合的两个图形叫全等图形。

”另一方面，应考虑到网格图、简笔画图的全等图形一般都是通过对图形的平移、旋转、翻折得到的。

小结：

本题组主要考查了全等图形的基本概念，在判断两个图形是否能够完全重合时，一般要通过平移、翻折、旋转这三种变换。

令学生初步渗透初中平面几何中三种全等变换的意识。

知识点二：

全等三角形的性质

例4.如图4，已知△ABD≌△ACE，AB=AC，写出这对全等三角形的对应边和对应角。

图4

思路分析：

1）题意分析：

要写出全等三角形的对应边和对应角，首先要判断出两个三角形能够重合的边和能够重合的角。

另外，要注意在全等三角形中，对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边。

2）解题思路：

在△ABD与△ACE中，AB=AC，所以AB与AC是对应边，它们所对的角是对应角，即∠ADB与∠AEC是对应角，∠A是公共角，所以∠A与∠A是对应角，剩下的∠B与∠C对应，这些对应角所对应的边是对应边，所以，AD与AE对应，BD与CE对应。

解答过程：

因为AB=AC，所以∠ADB与∠AEC是对应角，因为∠A=∠A，所以∠A与∠A是公共角，根据三角形的内角和定理180°－∠A－∠ADB=180°－∠A－∠AEC，可得∠B=∠C，所以∠B与∠C是对应角；根据对应角所对的边是对应边，可以知道，AD与AE是对应边，BD与CE是对应边。

综上可得，∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∠B与∠C是对应角，AB与AC，BD与CE，AD与AE是对应边。

解题后的思考：

本题除了运用前面介绍的方法外，也可用简便的方法来找出对应角、边。

对照图4，发现条件中的△ABD≌△ACE是按照对应顶点的顺序写的，所以可按顺序写出它们的对应边：

AB与AC，BD与CE，AD与AE；对应角：

∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∠B与∠C。

例5.如图5甲，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角。

甲乙

图5

思路分析：

1）题意分析：

已知两个三角形△ABE和△ACD全等，同时知道了两对角相等：

∠1=∠2，∠B=∠C，要找出其他的对应边和对应角。

2）解题思路：

先将两个全等的三角形分离出来，通过观察，找出能够重合的边和角。

解答过程：

将两个全等的三角形△ABE和△ACD分离出来，如图5乙，因为∠1=∠2，∠B=∠C，所以另一组对应角为∠BAE=∠CAD；又因为∠B和∠C的对边分别是AE，AD，∠1和∠2的对边分别是AB和AC，所以它们的对应边为AB与AC，AE与AD，BE与CD。

解题后的思考：

在复杂图形中找全等三角形的对应边、对应角时，首先要把两个全等的三角形从图形中分离出来，再通过平移、翻折、旋转找出对应顶点，从而找出对应边，对应角。

（变式）如图6，△ABD≌△ACE，试说明∠EBD与∠DCE的关系。

思路分析：

1）题意分析：

已知两个三角形△ABD和△ACE全等，要求∠EBD与∠DCE的关系，注意找出这两个角与已知全等三角形对应角的关系。

2）解题思路：

利用全等三角形的对应角相等得到∠D与∠E，再利用对顶角相等得到∠DOC=∠BOE，再利用三角形的内角和等于180°及等式性质得到∠EBD=∠DCE。

解答过程：

因为△ABD≌△ACE，所以∠D=∠E。

又因为∠DOC=∠BOE，所以180°－∠D－∠DOC=180°－∠E－∠BOE。

即∠EBD=∠DCE。

解题后的思考：

在解决这类问题时，一定要仔细辨析图形，找准全等三角形中的对应元素，并应用全等三角形的性质解决相关问题。

例6.如图7，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于M、N，有如下结论：

①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN，其中正确结论的个数是（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

思路分析：

1）题意分析：

已知两个等边三角形，用学过的方法，即全等三角形的定义判断两个三角形全等：

△ACE≌△DCB，同理可以判断另外两个三角形△MCE≌△NCB，从而得出CM=CN。

2）解题思路：

由△DAC和△EBC均是等边三角形，得到CA=CD，CB=CE，且∠ACD=∠ECB=60°，从而想到把△ACE绕点C旋转60°后与△DCB重合，把△MCE绕点C旋转60°后与△NCB重合。

进一步得到△ACE≌△DCB，△MCE≌NCB。

进而得出结论①和②正确；由于CM=CN，∠MCN=60°，所以，△CMN是等边三角形，所以，△CDN不是等边三角形，所以CD≠DN，从而AC≠DN。

解答过程：

∵△DAC和△EBC均是等边三角形，

∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，

∴把△ACE绕点C顺时针旋转60°后与△DCB重合

∴△ACE≌△DCB

∴∠AEC=∠DBC

∵∠DCN=60°，∠BCN=∠ECM=60°，

∴180°－∠AEC－∠DCE=180°－∠DBC－∠ECB

∴∠CME=∠CNB

又因为CE=CB

∴把△MCE绕点C顺时针旋转60°后与△NCB重合

∴△MCE≌△NCB

∴CM=CN

∴选B。

解题后的思考：

在没有学习全等三角形的判定方法之前，要会运用全等三角形的定义判定两个三角形全等，从而根据全等三角形的性质得到全等三角形的对应边相等，对应角相等，在运用定义判断两个三角形全等时，会灵活运用平移、旋转、翻折这三种几何变换，注意经过平移、旋转、翻折后的图形与原图形全等。

例7.如图8，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B=20°，∠C=50°。

（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上；

（2）原△ABC再继续旋转多少度时，C，A，C’在同一直线上（原△ABC是指开始位置）。

思路分析：

1）题意分析：

已知在△ABC中，∠B=20°，∠C=50°，要求△ABC绕顶点A顺时针旋转多少度时，使得点C’落在线段AB上。

第二问要使得C，A，C’在同一直线上，即AC’落在CA的延长线上。

2）解题思路：

要求△ABC绕顶点A顺时针旋转多少度时，使得点C’落在线段AB上，则关键应抓住三角形中的重要线段AC绕A点顺时针旋转多少度时，使得AC’落在AB上，即∠CAC’，根据三角形的内角和求出∠CAC’的度数即可。

第二问，要使得C，A，C’在同一直线上，即使得∠CAC’成为一个平角。

如图10所示。

解答过程：

（1）如图9所示：

∵∠B=20°，∠C=50°，且∠B+∠C+∠CAB=180°

∴∠CAB=180°－20°－50°=110°

∴△ABC绕顶点A顺时针旋转110°时，旋转后的△AB’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上。

（2）如图10所示：

∵C，A，C’在同一直线上

∴∠CAC’=180°，180°－110°=70°

∴△ABC绕顶点A再继续旋转70°时，C，A，C’在同一直线上。

解题后的思考：

在运用旋转变换时，注意对应线段的夹角即为旋转的角度。

例8.如图11，若△ABC≌△DCB，且A与D，B与C是对应点，进行怎样的图形变换可使这两个三角形重合呢？

思路分析：

1）题意分析：

已知两个全等三角形的边角对应关系，判断怎样运用几何变换的方法，使得这两个三角形重合。

2）解题思路：

根据两个全等三角形的边角对应关系，首先将△ABC沿BC翻折180°，再把△ABC绕点C顺时针旋转180°，最后将△ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位就可使得两个三角形重合。

解答过程：

先将△ABC沿BC翻折180°，如图12，再将△ABC绕点C顺时针旋转180°，如图13，最后将△ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位长度，如图14，△ABC和△DCB重合。

解题后的思考：

根据两个全等三角形边、角的对应关系及两个三角形的位置关系，正确地选择适当的变换方法，将两个三角形变换到如图14所示的重合位置。

小结：

本题组主要考查了全等三角形的基本性质，在运用全等三角形的基本性质时，其关键是找对应边，对应角，找对应边和对应角通常有以下几种方法：

①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

③有公共边的，公共边是对应边；

④有公共角的，公共角是对应角；

⑤有对顶角的，对顶角是对应角；

⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。

本节课在讲述全等三角形的概念时，充分强调了能够完全重合；在讲述全等三角形的性质时，充分强调了对应。

注意：

对应边，对应角，对边，对角，夹边，夹角这几个概念容易混淆。

对应边或对应角是对对应的两个三角形来说的，是两条边之间或两个角之间的关系，而对边、对角是对同一个三角形中的边和角来说的，对边是对某个角来说的，对角是对某条边来说的，夹边是已知两个角的公共边，夹角是已知两条边所形成的角。

一、预习新知

1.如果△ABC≌△A'B'C'，A与A'是对应顶点，AB与A'B'是对应边。

c

请找出其他的对应顶点、对应边和对应角。

2.由第一题可以知道，若两个三角形全等，则有三对对应边相等，三对对应角相等。

即AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'

请问：

如果两个三角形满足上述条件中的部分相等关系，能保证两个三角形全等吗？

三条边，两边一角，两角一边，三个角

二、预习点拨

探究与反思

探究任务一：

（1）如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的一个相等关系，是否能保证两个三角形全等？

（2）如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的两个相等关系，是否能保证两个三角形全等？

【反思】

（1）两个三角形只有一条边等或一个角等，这两个三角形全等吗？

（2）两个三角形只有两条边等、两个角等或一边一角等，这两个三角形全等吗？

探究任务二：

如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的三个相等关系呢？

三条边，两边一角，两角一边，三个角

【反思】

（1）三条边对应相等的两个三角形全等吗？

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等吗？

（3）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？

（4）三个角对应相等的两个三角形全等吗？

探究任务三：

对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？

【反思】任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A’B’C’，使∠C’=90°，B’C’=BC，A’B’=AB。

把画好的Rt△A’B’C’剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？

（答题时间：

60分钟）

一、选择题：

*1.如图，在①AB=AC，②AD=AE，③∠B=∠C，④BD=CE四个条件中，能根据“SSS”证明△ABD与△ACE全等的条件顺序是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

*2.如图，AC、BD交于点O，BO=DO，AO=CO，那么下列判断中正确的是（）

A.只能证明△AOB≌△COD

B.只能证明△AOD≌△COB

C.只能证明△ABD≌△CBD

D.能证明四对三角形全等

3.在下列条件中，不能判定直角三角形全等的是（）

A.两条直角边分别对应相等B.斜边和一个锐角分别对应相等

C.两个锐角分别对应相等D.斜边和一条直角边分别对应相等

4.如图，已知AB=CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE=CF，则图中的全等三角形有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

5.如图18，已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（）

A.甲、乙B.乙、丙C.只有乙D.只有丙

二、填空题：

6.如图，AB=AC，BE=CD，要使△ABE≌△ACD，依据“SSS”，则还需添加条件：

。

**7.如图，AD和A’D’分别是锐角△ABC和锐角△A’B’C’中BC和B’C’边上的高，且BC=B’C’，AD=A’D’，若使△ABC≌△A’B’C’，请你补充条件。

（填一个你认为适当的条件）

**8.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个。

三、解答题：

9.已知：

如图，

是

和

的平分线，

。

求证：

（1）△OAB≌△OCD；

（2）

。

**10.如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面四个论断：

（1）AD=CB；

（2）AE=CF；（3）∠B=∠D；（4）AD∥BC。

请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。

一、选择题：

1.C2.D3.C4.C5.B

二、填空题：

6.AD=AE；7.∠B=∠B'；8.4

三、解答题：

9.证明：

（1）

∵OP平分∠AOC和∠BOD

∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP

∴∠AOP－∠BOP=∠COP－∠DOP

∴∠AOB=∠COD

在△AOB和△COD中，∵

∴△AOB≌△COD（SAS）

（2）由

（1）得△AOB≌△COD（SAS）

∴AB=CD

10.已知，如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上，且AD=CB，AE=CF，AD∥BC。

求证：

∠B=∠D。

证明：

∵AD∥BC

∴∠A=∠C

∵AE=CF

∴AE+EF=CF+EF

∴AF=CE

在△ADF和△CBE中，∵

∴△ADF≌△CBE（SAS）

∴∠B=∠D