人教版数学八年级上册第十一章思维点拨三角形.docx

1、人教版数学八年级上册第十一章思维点拨三角形思维点拨：三角形如图，三角形ABO的边AO、BO分别是三角形DOC的边CO、DO的延长线，则A+B=C+D. 解：在三角形ABO中，A+B+AOB=180，在三角形COD中，C+DDOC=180，所以A+B+AOBC+DDOC.又因为AOBDOC，所以A+B=C+D. 由此我们得到以下结论：如果两个三角形有一个角是对顶角，那么这两个三角形的另外两个角的和相等. 【例1】如图，已知五角星ABCDE，求A+B+C+D+E的度数和. 【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，A+C=CED+EDA，从而把五角星ABCDE的五

2、个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出A+B+C+D+E的度数. 解：连结DE，由以上结论可知：A+C=CED+EDA， 又因为在三角形BED中，B+BEC+BDA+CED+EDA=180， 所以B+BEC+BDA+A+C=180. 即A+B+C+D+E180. 【例2】如图，求12345的度数和. 【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF所构成的图形中，3+4EDC+DCA，这样就把1、2、3、4、5同时放到了三角形BDC中，即可求出12345的度数和. 解：连结CD，则3+4EDC+DCA， 又因为在三角形BDC中，1+52+EDC+DC

3、A=180， 所以1+52+3+4=180，即12345=180. 【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法.【例3】如图，三角形ABC中，AD平分BAC，EGAD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（ ）. 【思考与解】因为EGAD，交点为H，AD平分BAC， 所以在直角三角形AHE中，190 在三角形ABC中，易知BAC180（23）， 所以190180（23）=（3+2）. 又因为1是三角形EBG的外角，所以12G. 所以G12（3+2）2（32）. 所以应选C. 【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点

4、，已知ABD20，ACD25，A35.你能求出BDC的度数吗？ 【思考与解】延长BD，与AC交于E点， 因为DEC是三角形ABE的外角， 所以DEC=A+ABD35+20=55. 又因为BDC是三角形CDE的外角， 所以BDC=DEC+ACD=55+25=80. 【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.【例5】如图，已知B10，C20，BOC110，你能求出A的度数吗？ 【思考与分析】要求A的度数，我们可以设法让A成为某个与已知角相关的三角形的内角.我们可延长BO交AC于D，则A、B即为三角形ABD的两个内角.根据三角形外角的性质，欲求A的度数，可先求ODC的度数，由BOC1

5、10，C20即可求出ODC的度数. 解：延长BO交AC于D. 因为BOC是三角形ODC的外角， 所以BOCODC+C. 因为BOC=110，C20， 所以ODC1102090. 因为ODC是三角形ABD的外角， 所以ODCA+B. 因为B10， 所以A901080. 【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明BDCBAC. 【思考与分析】BDC和BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来.我们延长BD交AC于P，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题. 解：延长BD交AC于P，则BDCDPC，DPCBAC，所以

6、BDCBAC. 【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论. 【例7】已知三角形ABC的一个内角度数为40，且A=B，你能求出C的外角的度数吗？ 【思考与分析】在三角形ABC中，A=B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答. 解：（1）设40，当是等腰三角形的顶角时，则的外角等于18040140，而C，所以C的外角的度数为140. （2）设40，当是等腰三角形的底角时，A=B40，此时C的外角AB80.【例8】已知非直角三角形ABC中，A=45，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出B

7、HC的度数吗？ 【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进行讨论. 解：当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示. 因为BD、CE是三角形ABC的高，A=45， 所以ADB=BEH=90，ABD=904545. 所以BHC=ABH+BEH=45+90=135. （2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示. 因为H是三角形的两条高所在直线的交点，A=45， 所以ABD904545. 所以在直角三角形EBH中，BHC=90ABD904545. 由（1）、（2）可知，BHC的度数为135或45. 【小结

8、】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整【例9】如图，已知三角形ABC中，B=C2A，你能求出A的度数吗？ 【思考与分析】我们由三角形内角和可知，A+B+C=180，又因为B=C2A，可得A+B+C=A2A2A180，即可求出A的度数.我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与B=C2A这两个已知条件求未知量A的度数.用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要抓住题中的不变量，建立等量关系.题中的不变量是三角形内角和等于180，其等量关系是A+B+C=180，然后我们用数学语言把这个等量关系式转

9、化为方程. 设A的度数为x，则可以用2x分别表示B、C的度数，将这个等式转化为方程x2x2x180，即可求出A的度数. 解法一：因为B=C2A，A+B+C=180，所以A+B+C=A2A2A180，即A36. 解法二：设A的度数为x，则B、C的度数都为2x，列方程得x2x2x180，解得x36，即A36.【例10】判断适合下列条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形. （1）A=80，B=25； （2）AB=30，BC=36； 【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了，本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最

10、大角的度数即可.（1）题通过直接计算就可以求出C的度数，（2）（3）题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解. 解：（1）因为A80，B=25，所以C=180-80-25=75，所以三角形ABC是锐角三角形. （2）设Bx，则A（30+x），C（x-36），所以x（30+x）+（x-36）180，解得x62，所以最大角A92，所以三角形ABC是钝角三角形. （3）设Ax，B2x，C6x，则x2x6x180，解得x20，所以C120，所以三角形ABC是钝角三角形. 【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一.在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，且各角之间有相互关系，我们

11、可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解.利用高线与边垂直的性质求度数【例11】 已知ABC的高为AD，BAD=70，CAD=20，求BAC的度数【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论解：（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为BAD=70，CAD=20，所以BAC=BAD+CAD=70+20=90.（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为BAD=70，CAD=20，所以BAC=BAD-CAD=70-20=50所以BAC为90或50【小结】由于三角形可以分为

12、锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.2. 利用三角形面积公式求线段的长度【例12】 如图，ABC中，AD，CE是ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，hb，hc，那么三角形的面积S=aha=bhb=chc.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积SABC=BCAD=ABCE，解决十分方便.

13、解：SABC=BCAD=ABCE53=AB4，解得AB=（cm）【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用【例13】如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB5cm，AC3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为 ，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为 .【思考与解】（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差（AB+BD+AD）（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD，所以上式AB-AC=5-3=2（cm）.（2）因为S三角形ABDBDAE，S三角形ACDCDAE，而BD=CD，所以S三角形ABDS三角形ACD.【例