旋转模型专题.docx
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旋转模型专题
旋转模型专题
飞等线段共点
共顶点等腰三角形
1、按图形分类
1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，
4、正方形
三、按模型分类
1、手拉手模型2、角含半角模型3、对角互补模型
4、与勾股定理结合5、费马点问题
例题精讲
一、手拉手模型
1、已知：
如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.
常见结论：
（1）ANBM
（2）CDCE
（3）CF平分AFB
（4）△CDE是等边三角形.
（5）ZAFM=60°且保持不变
2、如图，在凸四边形ABCD中，BCD30,DAB60,ADAB.
求证：
AC2CD2BC2
3、已知ABC，以AC为边在ABC外作等腰ACD，其中ACAD。
⑴如图①，若DAC2ABC,ACBC,四边形ABCD是平行四边形，则
ABC
⑵如图②，若ABC30，ACD是等边三角形，AB3，BC4，求BD的长；
⑶如图③，若ACD为锐角，作AHBC于H，当BD24AH2BC2时，
DAC2ABC是否成立？
若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论＜
②
③
、角含半角模型
4、已知：
如图1在RtABC中，BAC90,ABAC，点D、E分别为线段BC
上两动点，若DAE45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是：
把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明;
⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？
说明你的猜想并给予证明.
5、在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且/EAF=/CEF=45°,
（1）将厶ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图1,
求证：
△AEG^AAEF;
（2）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M,N，如图2,
求证：
EF2ME2NF2
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段
EF,BE，DF之间的数量关系。
6在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BDCD，探究：
当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时，BM,NC,MN之间的数量关系及AMN的周长与等边ABC的周长L的关系.
⑴如图①，当点M,N在边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系式；此时Q=
L
⑵如图②，当点M,N在边AB,AC上，且DMDN时，猜想
（1）问的两个结论
还成立吗？
写出你的猜想并加以证明;
⑶如图③，当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时，若AN=x，则
Q=（用x,L表示）
三、对角互补类
7、已知：
MAN,AC平分MAN.
⑴在图1中，若MAN
DCB90，证明：
ABAD2AC.
⑵在图2中，若MAN
120，
DCB60，探究AB、
AD、AC
三者之间的数量
关系，并给出证明；
⑶在图3中：
若MAN
0
180），DCB180
，则AB
AD
AC
（用含的三角函数表示
，直接写出结果，不必证明）
8、如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的对称中心，MN交
AB于F，QM交AD于E.
⑴猜想：
ME与MF的数量关系⑵如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且MB，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明.
⑶如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:
BC1:
2，其它条件不
变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由.
B，AB:
BCm，
⑷如图4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且
四、直角三角形斜边中点
9、在等腰直角ABC中，ACB90o,ACBC,M是AB的中点，点P从B出发
向C运动，MQMP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化.
10、等腰直角三角形ABC，ABC90,AB2,0为AC中点，EOF45，求△BEF的周长.
11、已知RtAABC中，AC=BC,/C=90°D为AB边的中点，/EDF=90°/EDF
绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或延长线）于E、F.
当/EDF绕D点旋转到DE丄AC于E时（如图1），易证SS]S
SDEFSCEF—SABC
2
当/EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述SadefSacEFSaABC
结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明.
图1
图2
五、等线段共点
12、如图所示，P是等边ABC内部一点，PC3,PA4,PB5，求ABC的边长.
SBPC=,SABP=,
SAPC=,SABC=,
13、P为等边ABC内一点，APB113o,APC123°，求证：
以AP、BP、
CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.
14、如图，P为正方形ABCD内一点，FA=1,PD=2,PC=3,将PAD绕着D
点按逆时针旋转90到DCM的位置
六、费马点问题
15阅读下列材料
对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点P，若PAPBPC有最小值，则取到最小值时，点P为该三角形的费马点。
1若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点
2若三角形内角均小于120，贝U满足条件APBBPCAPC120时，点P既为费马点
解决问题：
⑴如图，ABC中，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边ABD、
ACE，连接CD、BE交于点P，
证明：
点P为ABC的费马点。
（即证明APBBPCAPC120）且
PAPBPCCD
⑵如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：
QAQCQBPAPBPC
⑶若ABC30,AB3,BC4，直接写出PAPBPC的最小值
16、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意
点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN.
⑴求证：
AMB也ENB
⑵①当M点在何处时，AMCM的值最小；
②当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由;
⑶当AMBMCM的最小值为31时，求正方形的边长.
17、阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，/ACB=30o，BC=6，AC=5，在厶ABC
内部有一点P，连接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值.
小华是这样思考的：
要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分
离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线
段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了•他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，
发现通过旋转可以解决这个问题•他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60。
得到△EDC,连接PD、BE,贝UBE的长即为所求.
（1请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为;
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3,菱形ABCD中，/ABC=60o，在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.
七、最值问题
18已知：
PA2,PB4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧•
⑴如图，当APB45时，求AB及PD的长；
⑵当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应APB的大小.
D
P
B
19、如图①，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，点D是BC的中点.作
正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG.
⑴试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论.
⑵将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0，小于或等于360。
），如图②，通过观察或测量等方法判断
（1）中的结论是否仍然成立？
如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.
⑶若BCDE2，在②的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值.
八、综合应用
20、已知：
在RtABC中，ABBC，在RtADE中，ADDE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM.
⑴若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
⑵如果将图①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图②，那么⑴中的
结论是否仍成立？
如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.
21、已知：
如图，OAB与OCD为等腰直角三角形，AOBCOD90.
⑴如图①，点C、D分别在边OA、OB上，联结AD、BC，点M为线段BC的中
点，联结OM，请你猜想OM与AD的数量关系：
（直接写出答案，
不必证明）；
⑵如图②，在图1的基础上，将OCD绕点O逆时针旋转一个角度
（090）.
①OM与AD的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；
②求证：
OMAD•
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