中考数学综合题专题复习几何中的动点问题专题解析doc.docx
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中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析
【真题精讲】
【例1】如图，在梯形ABCD中，AD//BC,=DC=5,BC=\O，梯形的高为4.动
点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为f（秒）.
（1）当MN//AB吋，求Z的值；
（2）试探究：
/为何值时，△M7VC为等腰三角形.
【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间,就本题而言，M,N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。
但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。
由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】
解：
（1）由题意知，当M、N运动到r秒时，如图①，过D作DE〃佔交于E•点，则四边形A3劭是平行四边形.
VAB//DE,AB//MN.
・・・DE//MN.（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形
内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）・・・归竺=£.解得/=—.
10-3517
【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN二MC,MC=CN这两种情况。
在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。
具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解
【解析】
（2）分三种情况讨论：
①当=时，如图②作NF丄BC交BC于F,则有MC=2FC即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）
sinZC=
DF_4
CD~5
10-2z=2x—,
2S解得心仝
8
②当MN=MC时，如图③，过M作MH丄CD于II.则CN=2CH,
Ar=2（10-2/）x-・
.60
9•t—■
17
③当MC=CN时，则10-2/=/.
10
t=—.
3
综上所述，当/=耳、色或巴时，HMNC为等腰三角形.
8173
【例2】在厶ABC小，ZACB二45°.点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
（1）如果AB-AC.如图①，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论.
（2）如果ABHAC,如图②，且点D在线段BC上运动.
（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=4血，BC=3,
CD二兀，求线段CP的长.（用含X的式子表示）
F
F
【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。
由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。
【解析】：
（1）结论：
CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
TAB二AC,ZACBM50,AZABC=45°.
由正方形ADEF得AD二AF,VZDAF=ZBAC=90°,
・・・ZDAB=ZFAC,AADABAFAC,AZACF=ZABD.
AZBCF=ZACB+ZACF=90°・即CF丄BD.
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后—样求解。
A
A
（2）CF丄BD.
（1）中结论成立.■口
理由是：
过点A作AG丄AC交BC于点G,・・・AC二AG可证：
ZXGAD仝ZkCAFAZACF=ZAGD=45°
ZBCF二ZACB+ZACF二90°.即CF丄BD
【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。
分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.
（3）过点A作AQ丄BC交CB的延长线于点Q,
.CPx
•—
4-x4
DQ二4+x.
则AAGD=AACF•
•••CF丄BD,
②点D在线段BC延长线上运动吋，
VZBCA=45°,可求出AQ=CQ=4,A过A作AG丄AC交CB延长线于点G,
①点D在线段BC上运动时，
TZBCA二45°,可求出AQ二CQ二4.DQ二4-x,
易证△AQD^ADCP,・••竺=££
DQAQ
【例3】已知如图，在梯形ABCD+,AD//BC.AD=2,BC=4,点M是4D的屮点,
△MBC是等边三角形.
（1）求证：
梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且ZMPQ=60°保持不变.设
PC=xMQ^，:
求y与兀的函数关系式；
（3）在
（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由・
【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。
第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。
第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。
题目给定ZMPQ=60°,这个度数的意义在哪里？
其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来•因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢？
当然是利用角度咯.于是就有了思路.
【解析】
（1）证明：
是等边三角形
MB=MC,ZMBC=ZMCB=60°
・・・M是AD中点
・・・AM=MD
・・・AD//BC
・・・ZAMB=ZMBC=60°f
ZDMC=ZMCB=60°
:
.AB=DC
・・・梯形ABCD是等腰梯形.
（2）解：
在等边△MBC中，MB=MC=BC=4,ZMBC=/MCB=60。
ZMPQ=60°
ZBMP+ZBPM+ZQPC=120°（这个角度传递非常重要,大家要仔细揣
摩）
・・・ZBMP=ZQPC:
.HBMPsHCQP
.PCCQ•:
PC=x,MQ=y・・・BP=4—x,QC=4-y
—=y——x—x+4
44-兀*4（设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子）
【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。
由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。
接下来就变成了“给定PC=2,求APQC形状”的问题了。
由已知的BC=4,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。
（3）解：
APOC为直角三角形
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丁37=-（^-2）'+3
当y取最小值吋，x—PC=2
・・・P是BC的中点，MP丄BC,而ZMPQ=60°,
:
.ZCPQ=30°,:
.ZPQC=90°
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中岀现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。
如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。
当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?
接下来我们看另外两道题.
【例4】己知正方形ABCD中，E为对角线加上一点，过E点作EF丄交BC于F,连接DF,G为DF^点，连接EG,CG・
（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；
（2）将图1中绕B点逆吋针旋转45。
，如图2所示，取DF中点G,连接EG,CG你在
（1）中得到的结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明.
（3）将图1中遊F绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问
（1）中的
结论是否仍然成立？
（不要求证明）
【思路分析1］这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。
从旋转45。
到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。
第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。
第二问将ABEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。
事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。
连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。
于是两个全等的三角形出现了。
（1）CG=EG
（2）
（1）中结论没有发生变化，即CG=EG.
证明：
连接AG,过G点作丄AD于与EF的延长线交于”点.
在\DAG与\DCG中，
・・•AD=CD,ZADG=乙CDG,DG=DG,
:
.\DAG9\DCG.
:
.AG=CG.
在\DMG与4FNG屮，
・.・ZDGM=ZFGN,FG=DG,ZMDG=ZNFG,
.・・ADMG竺NFNG.
・・・MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN
在Rt\AMG与Rt'ENG屮，
•・・AM=EN,MG=NG,
:
.AAMG竺\ENG.
・・・AG=EG.
:
.EG=CG
【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。
但是我们不应该止步于此。
将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果ABEF任意旋转,哪些量在变化，哪些量不变呢？
如果题目要求证明，应该如何思考。
建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：
在ABEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。
可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE二EF这一条件将全等过渡。
要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。
（3）
（1）中的结论仍然成立.
【例51己知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F,将△八BE沿直线AE翻折，点B落在点处.
（1）当—=1时，CF二cm,
CE
BE
（2）当——二2时，求sinZDABz的值；
CE
RF
（3）当壬二x时（点C与点E不重合）,请写H1AABE翻折后与正方形ABCD公共部
CE
分的面积y与X的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）.
AB
DC
【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。
这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。
同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。
一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对
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