微分几何练习题库及答案docx.docx
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第一部分：
练习题库及答案
一、填空题（每题后面附有关键词;难易度;答题时长）
第一章
1.已知a=（l,l,—l）,b二则这两个向罐的夹角的余弦cos0=—
2.已知a=（O,l,—l）,b=（l,O,—l）,求这两个向量的向量积axb=（-L-l,-l）.
3.过点P（l,l,l）口与向ffla=（1,0,—1）垂直的平面方程为X・Z=04.求两平面陌：
x+y+z二0与7T2:
x-y+2z=1的交线的对称式方程为¥=十=三¥
6.设f（r）=（sint）i+1\,g（r）=（F+i）i+”j,求lim（f（r）-g（r））=_o
rII
7-已知r（见y）=（u+u上一几，其中u=r,v=sinr,则一=（2r+cost.2t-cost,2vt+ucosr）
已知Jr⑴ck=（—1,2,3）,Jr（r）dr=（-2丄2）,求
Jaxr（r）dr+b•Ja•r（t）dt=（3-9,5）,其中a=（2,1,1）,b=（l,-l,0）
10.已知r（t）=a（a为常向量）,求r（r）=fa+c
-A
12.已知f（0=（2+r）j+（logr）k,g（r）=（sinz）i-（cosz）j,r>0,贝叮一（f-g）dr=2-6cos4.
第二章
13•曲线r⑴=⑵,t3,d）在任意点的切向量为（2,3t2,d）
14.曲线r（r）=（acosht,asinht,at）在r=0点的切向量为（0,a9a）
15.曲线r（f）=（acost,asint,bt）在f=0点的切向量为（0,a,b）
_y—_
16.设有曲线C:
x=e\y=e-l9z=t2f当f=1吋的切线方程为兰二£=一=—e12
17.设有曲线尤=elcosr,y=ersinr,z=el,当/=0时的切线方程为x-\=y=z-}
第三章
18.设r=r（w,v）为曲面的参数表示,如果rMxrv^0,则称参数曲面是正则的;如果i•:
Gt「（G）是——的，
则称参数曲面是简单的.
19.如果”-曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的朋标网为—正规坐标网・（坐标网;易;3分钟）
20.平面r（w,v）=（w,v,0）的第一基本形式为du2+dv2,面积元为dudv
21•悬链面r（w,v）=（coshucosv,coshusinm）的第一类基本量是E=cosh2u=0=cosh2u_
0兀0儿
+欣2）（1+°2%2）-23・正螺面r（u,u）=（ucosv,usinv,/?
v）的第一基本形式是d/+（zr+Z?
2）dv2.
24双曲抛物面r（w,v）=（a（u+v）,b（u-v）,2uv）的第一基本形式是
（a2+b，+4v2）dw2+2（6f2-b24-4wv）dwdv+（«2+Z?
2+4w2）dv2
25.正螺Lfilr（w,v）=（ucosv,wsinv,/?
v）的平均till率为0•（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟）
26.方向（d）=dw:
dv是渐近方向的充要条件是0（d）=O或厶d/+2A7dwdv+Ndv2=0
27.两个方向（d）=dw:
dv和（8）=8w:
Sv共轨的充要条件是II（dr,8r）=0或Ldu8u+M（dudv+dv8w）+NdvSv=0
XE-LAF-M
28•函数2是主曲率的充要条件是心厂°
Edu+FdvLdn+MAv
29.方向（d）=d仙是主方向的充要条件是碱+6山说“+M严30.根据罗徳里格定理，如果方向（d）=（du:
dv）是主方向，则dn=—©dr,其屮心是沿（d）方向的法1111率31.旋转极小曲面是半面或悬链面
第四章
32•高斯方程是％二工咖+中」j=l,2,魏因加尔吞方程为比=一工L肿E」,J=l,2
kjyk
线（CJ的曲率
35.K,化间的关系是fC=+.
36.如果Illi面上存在直线，则此直线的测地汕率为0.
37•测地线的方程为驾+yr'——=0,^=1,2
d厂7；dsds
k
38.高斯■波涅公式为JjKdcr+$兀&+工（兀-匕）=2龙
G3G匸1
k
39.如果dG是由测地线组成，则高斯■波涅公式为口用/+£（龙-0）=2龙・
Gi=l
二、单选题
第一章
40.已知a=（_l,0厂1）,b=（l,2厂1）,则这两个向量的内积a・b%（C）・（内积；易；2分钟）
A2B-1C0D1
41.求过点P（l,l,l）且与向最a=（-l,0,-l）平行的直线0的方程是（A）.（直线方程；易；2分钟）
x=z
b-1
Cx+l=y=z+l42.已知a=（l丄一l）,b=（l，0,—l）,c=（l,l,l），则混合积为（D）•（混合积；较易；2分钟）
D-2
43•已知r（/）=（R仏丘一）贝扛"（0）为（A）.（导数；易；2分钟）
（-1,0,1）
（1,0,-1）
C）.（导数；易；2分钟）
A（1,0,1）B
C（0,1,1）D
44.已知r'（f）=Qr⑴，2为常数,则r⑴为
第二章
X2y2z2_
55.椭球面一+牙"—1=1的参数表不为（C）•（参数表7F；易；2分神）
A（x,y,z）=（cos（pcos0.cos^sin0,sin（p）B（x,y.z）=（acos（pcos0,bcos（psin0.sincp）
C（x,y,z）=（acos（pcos0,bcos（ps\nO,csin（p）D（x,y,z）=（acos（pcos0.bsin（pcos0,csin20）
222
56-以下为单叶双曲裁+斧汁1的参数表示的是（D）•（参数表示；易；2分钟）
A平行
A（兀,y,z）=（acoshusinv,bcoshucosv,sinhw）B（兀,y,z）=（coshucosv,coshusinv,sinhu）
C（X,y,z）=（asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu）D（x,y,z）=（acoshucosv,bcoshusin几csinhu）
222
57.以卜为双叶双曲而十"+=一1的参数农不的是（A）.（参数表7F；易；2分钟）
A（X,y,z）=（asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu）B（x,y,z）=（acoshucosv,bsinhusinccoshu）
C（x,y,z）=（acoshucosv,bcoshusinv5csinhw）D（x,y,z）=（coshucoscoshusinv,sinhu）
58.以下为椭圆抛物面2+匚=2z的参数表示的是（B）.（参数表示；易；2分钟）a/r
比2%2
A（x,y,z）=（ucosv,usinv,—）B（x5y,z）=（aucosv,husinv,—）
C（x,y,z）=（aucoshv,businhv,—）D（x,y,z）=（acosv,bsinv,v）
A（x,y,z）=（acoshu,hsinhu,u）B（x9y,z）=（coshw,sinhu.u）
C（x,y,z）=（a（u+v）9b（u-v）,2uv）D（x,y,z）=（au,bv.u-v）
60.曲面r（u,v）=（2u-v9u2+v29u3-v3）在点M（3,5,7）的切平面方程为（B）・（切平面方程；易；2分钟）
A21x+3y-5z+20=0B18x+3），—4z-41=0
C7x+5y-6z-18=0D18x+5y-3z+16=0
61.球而r（w,v）=（/?
cosucosv,Rcosusinv,Rsinu）的第一基本形式为（D）.（第一基本形式；中；2分钟）
AR2（du2+sin2udv2）BR2（dw2+cosh2udv2）
CR2（du2+sinh2udv2）D/?
2（dw24-cos2wdv2）
62.正圆柱面r（w,v）=（Rcosv,Rsinv,w）的第一基本形式为（C）.（第一基本形式；中；2分钟）
Adw2+dv2Bdw2-dv2Cdu2+/?
2dv2Ddw2-/?
2dv2
63.在第一基本形式为I（dw,dv）=dM2+sinh2wdv2的曲面上,方程为w=v（v1长；中；2分钟）
64.设M为R‘屮的2维C?
正则曲血，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）.
AE=QBF=QCG=0DM=0
65.以下正确的是（D）.（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）
Adn=W（dr）Bdn=W（dra）
Cdn;/=W（drv）Ddn=-W（dr）
66.以下正确的是（C）.（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）
AI（dr,W（5r））=-II（dr,5r）BI（dr,W（8r））=-I（W（Sr）,dr）
CI（dr,W（Sr））=I（W（dr）,8r）DI（dr,W（8r））=II（W（dr）,Sr）
67.以下正确的是（A）.（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）
AI（dr,W（8r））=II（dr,Sr）BI（dr,W（5r））=II（W（dr）,5r）
CI（dr,W（8r））=-I（W（dr）,8r）DII（dr,W（8r））=II（W（dr）,8r）
68.高斯曲率为常数的的曲而叫（C）.（高斯曲率；易；2分钟）
A极小曲面B球面C常高斯曲率曲面D平面
第四章
B69.工gijgji=•（第一基本形式；易；2分钟）
••
A1B2C0D・1
B70.口角二•（第一基本形式；易；2分钟）
J
AgkjB甌CgkiD比
A71.巧j=
・（克氏符号；较易；2分钟）
A步塢
?
//|血〃卞
B戻喘
dSj!
讷「
uJdu1du1
uJdu1du1
c宾吗
uJdu1du1
D寓熾
咯1叫
du1du1
A72.曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于
•
A0
B1
C2
D3
B73.当参数曲线构成正交网吋，参数曲线u•曲线的测地曲率为・（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）
131n£1dln£
AB
2VEdu2>/G3v
C_丄遊D丄皿
2a/edv2VGdu
A74.如果测地线同时为渐进线，则它必为.（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟）
A肓线B平而曲线C抛物线D圆柱螺线
B75.在伪球面（K三-1）上，任何测地三角形的内角之和.（高斯•波涅定理；中；4分神）
A等于龙B小于兀C大于兀D不能确定
三、多选题
第一章
76.rz（t）=（x,.（Z）,x（Z）,zy（/））,z=1,2,3为向量函数，贝ij下列论述正确的是（AD）.（导数；易；4分钟）
A<（/）=（%；（/）,>；（/）,z；（/））
Br；（0=W刃（r）,Z］⑴）+（X）（r）,X（0,Z］（0）+（X｛⑴,）［⑴,z：
（r））
C（r,（/）,r2（/）,r3⑴）'=（r：
（/）,r；（/）,r；（/））
D（r,（0,r2⑴,r3⑴）’=（r；（r）,r2（r）,r3（r））+（r,（f）,r；（/）,r3⑴）+（首（/）,r2（r）,r；（f））
E（r,⑴,r2（/）?
r3（r））z=«（;）,r2（r）,r3（/））
hb
Ej（m,n,r（r））dr=（mxn）xjr（r）dr
aa
第二章
78.下列曲线中为正则曲线的冇（ACDE）。
（曲线的概念；易；4分钟）
Cr（x）=（x2,x3）,xw（0,+oo）Dr（x）=（cosx,x）,xg（-oo^+oo）Er（x）=（x,x）,xe（-1,2）
79.下列曲线中是正则曲线的冇（ABCDE）0（曲线的概念；易；4分钟）
Ar=（cost.sint.t）,te（-oo5+oo）
c
r=（cosr,cos2r.sint）,
ZG（_oo,+8）
D
r=（cost,1-cost-sint,-sint）,
te（—oo^+oo）
E
r=（2sin21.2sin21tan1.1）,
te（—g,+oo）
80•下列式子正确的是（ABCE）.（伏雷内公式；中；4分钟）
A丫=axpBy丄a
Cp=-ka+Dy丄卩
ey〃卩.
第三章
81.1111面z=+h在点M（l,2,9）的（AD）.（切平面、法线；中；4分钟）
A切平面方程为3x+12y-z—18=0
B切平而方程为3x+14y-z+8=0C法线方程为□=□=二
312-1
D法线方程为口二上二2二三
312-1
、I八、、m、rX~\-2Z—9
E法线方程为——二——=——
412-1
82•正螺面r=（wcosv,usinv,av）的（AC）.（切平面、法线；中；4分钟）
A切平而方程为xasinv-yacoszu-auv=0
B切平面方程为xczsinu一yacosu+zv-auv=0
C切平而方程为xasinu-yacosu-zv-auv=0
♦丄八、、tmmx~ucosvy-wsinvz-av
D法线方程为——；==
asinv-tvcosvu
E法线方程为==m
asinu-acosuv
83.下列二次形式中，（ABD）不能作为曲面的第一基本形式.（第一基本形式；易；4分钟）AI（du,dv）=du2+4d«dv+dv2
BI（dw,dv）=du2+4d^dv+4dv2
CI（dw,dy）=du2-4dwdv+6dv2
DI（dw,dv）=du2+4dwdv-2dv2
EI（d",dv）=Au~+4dwdv+5dv2
84.一般螺面r（u,v）=（ucosv,usinv,/（w）4-av）的第一类基本量是（BCD）.（第一基本量；易；4分钟）
AE=l+（/（W））2BE=l+（/«
CF=cif\u）DG=a24-w2
EG=a2-u2
85.下列曲面中，（BCD）是旋转常高斯曲率曲面.（常高斯曲率曲面；易；4分钟）
A正螺面B平面C球面D圆柱面E悬链面
第四章
ABC86.对于曲血上的正交坐标网，测地曲率©二（设曲线的切方向与I；的夹角为&）・
^~2E^C°S^2C4ESm0
理-斗攀罰+斗警辭
ds2jG9v2』Edu
—COS&+©sin&ds8tt8v
—+k,sin&+Kcos&ds乩gv
空+匕cos&-乓sin&ds纵
87.曲血上的曲线是测地线的充分必要条件是ABCD（测地线的概念;中；4分钟）
A满足方程勢+工巧竽字=0的曲线
ds~77dsds
B满足气=0的曲线
C除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线
D满足0的曲线
E满足心=0的曲线
四、叙述题
第三章
88・曲而。
［解］设G是初等区域，SuRS如果存在一•个连续一一•映射r:
GTR3使得r（G）=S,则称S是一张曲
面,而r=r（x）叫S的参数表示.
89.坐标曲线。
【解】曲面S:
r=r（u,v）,（w,v）eG,r（w,v0）的像叫"一曲线,r（w0,v）的像叫v-ill］线,曲线和u-
曲线都叫坐标曲线.
90.第一基本形式。
【解】称二次型I（dw,dv）=Edw2+2Fdwdv+Gdv2（其中E=几弋,F=几•几,G=rv-rv）为曲而的第一基本形式・IfuE、F、G叫曲面的第一类基本量.
91.内蕴量。
【解】由曲面的第一类基本量所决定的量叫曲面的内蕴量.
92.第二基本形式。
【解】称二次型II（dw,dv）=Ldu2+2Mdudv+Ndv2（其中厶=rMMn,M=rwvn,2V=rvv-n）为曲面的笫二基本形式.而厶，M,N为曲面的第二类基本量.
93.【解】若在P点有厶N-M2>0,则称P点为曲面的椭圆点.
94.法曲率。
【解】给定一点P处的一个切向>（d）=dw:
dv,则P点沿方向（〃）的法曲率定义为
Kn（d）=II（dr,dr）/I（dr,dr）.
95.主曲率。
【解】使法曲率心（d）达到极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率.
96.高斯曲率。
【解】曲面的两个主曲率之积K=K\・K2叫曲面的高斯曲率.
97.极小曲面。
【解】平均曲率H=0的曲面叫极小曲面.
五、计算题
第二章
98.求旋轮线x=a（t-sinr）,y-^（1-cost）的05/52乃一・段的弧长.（弧长；中；5分钟）
【解】旋伦线r（r）=（cz（r-sinr）,g（1-cosr））的切向量为rz（r）=（a-acost.asint）,则它的05fW2龙一段的弧长为:
2兀1TC
5=jr\t）dr=jV2rzVl-cosrdr=8a.
00
99.求ill］线x=tsint,y=tcost^z=te1在原点的切向量、主法向量、副法向量.（基本向量；中；10分钟
rz（r）=（sint+tcost,cos/-/sint,e'+/”），
r\r）=（2cost-tsint,一2sinr-zcosr,2d+ter）f
rz（0）=（0丄1）,{（0）=（2,0,2）。
100•圆柱螺线为r（r）=（acost,asint.bt）o（基本向量、曲率、挠率；中；15分钟）
1求基本向量a,p,丫；
2求曲率K和挠率万；
【解】①由题意有
rz（Z）=（-asint,acost,b）,丫"（/）=（-acost.-asint,0）,
第三章
101.求正螺|ft|r（w,v）=（wcosv?
wsinv,Z?
v）的切平而和法线方程.（切平面、法线；中；5分钟）
【解】ru=（cosv,sinv50）,rv=（-usinv,ucosv,b）,切平而方程为
【解】
r=（-asin0cos0.-asin0sin0,acos（p）,
r0=（-acos^sin0,acos（pcos0,O）,
=a2cos°（-cos0cos0,-cos°sin&，-sin©）
•••球面上任意点的切平面方程为
（X一acoscosO.y-acos©sinz—asin（p）・c『cos0（-cos0cos0，-cos0sing-sincp）-0,
即cos&cos©x+cospsin&・y+sin^z-tz=0,
法线方程为
（x-acos/cos0,y-acos^sinO.z-asin（p）=a1cos（p（-cos0cos一cos0sin0,一sin（p）,
x-acos（pcos0_y-dcos°sin&_z-asin（p
即==.
cos©cos0cos0sin&sin（p
103.求旋转抛物而z=a（x2-^y2）的第一•基本形式.（第一基本形式；中；5分钟）
【解】参数表示为r（x,y）=（x,y,a（x2+天）），
rv=（l,0,2ar）,ry=（0,\,2ay）,
E=rv•rv=14-4a2x2,F=rv•rv二4a*,
G=rv-rv=\+4a2y2,
/.I（dx,d^）=（14-4a2x2）dx24-Sa2xydxdy4-（1+4a2y2）dy2.
104.求正螺面r（u,v）=（ucosv,usinv,bv）的第一基本形式.（第一基本形式;中;5分钟）
【解】ru=（cosv,sinv,0）,rv=（-wsinv,ucosv,h）,
£=rn•rH=1,F=rH•rv=0,G=rv-rv=w2+b2,
/.I（dw,dv）=dw2+（w2+/?
2）dv2.
105.计算正螺ffir（u,v）=（ucosv,usinv,bv）的第一、第二基本量.（第一基本形式、第二基本形式；中；15分钟）
【解】ru=（cosv,sinv,0）,rv=（-usinv,ucosv,b）,
ruu=（0,0,0）‘ruv=（-sinv,cosv,0）,rvv=（-ucosv-usinv,0）,
ijk
ruxrv=cosvsinv0=（/?
sinv,-/?
cosv,w）,
-usinvucosvb
_r“xrv_（bsinv,-bcosv,w）
11|r“xr」Jy'
E=rH-rK=1,F=rK-rv=0,G=rv-rv=u2+b2,
106.计算抛物f
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