知识要点直线的倾斜角与斜率及直线方程.docx
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知识要点直线的倾斜角与斜率及直线方程
第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程
★知识梳理★
1、直线的倾斜角与斜率:
对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时,所转过的最小正角叫倾斜角;倾斜角的取值范用是[0°,180°)
直线的倾斜角α与斜率k的关系:
当α≠90°时,k与a的关系是k=tana;«=90°时,直线斜率不存在:
经过两点PI(XIfy1)P=(x=,y=)(χ1≠χ=)的直线的斜率公式是R=旦二如:
心一召
三点A.B.C共线的充要条件是kAl)=kλc
2.直线方程的五种形式:
点斜式方程是y-y0=ψ-⅞);不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线
斜截式方程为y=kx+bi不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线
两点式方程为=L=上二土:
不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线
y2->,ιv2-西
截距式方程为-+-=1:
不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线•ab
一般式方程为coc+by+c=0.
3.几种特殊直线的方程:
1过点P(a,b)垂直于X轴的直线方程为空;过Pab)垂直于y轴的直线方程为y≡b
2已知直线的纵截距为b,可设其方程为y=kx+b;
3已知直线的横截距为a,可设其方程为x=my+a^
4过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx
★重难点突破★
重点:
理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程
难点:
在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用
重难点:
结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程
(1)倾斜角与斜率的对应关系
涉及这类问题的题型一般有:
(1)已知倾斜角(或范用)求斜率(范由)
(2)已知斜率(或
范围)求倾斜角(或范围),如:
问题1:
直线Xtan-+y+2=O的倾斜角&是
、兀GltCMTXπ
A.—B.—C.—D.——
3633
点拨:
转化为:
已知tana=-tan—,c?
∈[0,λ∙),求α,答案:
C问题2:
求直线XCOS0+√3>-+2=0的倾斜角的取值范用
点拨:
要从k=tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系,
1当α∈[O,-)f⅛,/r∈[0Λ∞),k随α的增大而增大;
2
2当QE(Z+s)时,k∈(-≪>,0)I&随Q的增大而增大.
2
本题可先求出斜率的取值范国,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤.k=--cosθ,故:
心亜
33一一3
当05R≤g时,直线的倾斜角α满足:
0≤α≤兰
36
当_迺“<0时,直线的倾斜角α满足-≤a<π
36
所以,直线的倾斜角的范围:
0≤a≤-和竺SavTr
66
(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置
问题3:
已知函数f(x)=a∖{a>O且a≠l),当xVo时,f(x)>1,方程y=ax+丄表
a
点拨:
这是直线方程中的参数的几何意义问题,可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置,由已知可得a∈(0,1),从而斜率k∈(0,1),截距b>∖,故选C
(3)选择恰当的形式求直线方程
问题4:
过点P(-l,-2)的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点,当IP4I∙IPBI最小时,求直线/的方程。
点拨:
设直线方程要从条件和结论两方而考虑,为更好表示IPAMPB∖,本题用点斜式设出方程最简便。
解:
设直线/的方程为
22
y+2=k(x+l),x=0,得y=k-2,y=0,得X=二一1,.∙.A(二—1,0)”((U-2),
kk
∕JPAI∙IPBI=^ι∣p+4∙√P7T=^2+p-+8≥4,当且仅当疋=右,即k二±1时
等号成立,但k<0,故直线/的方程为:
x+y+3=0:
(4)设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况,如:
问题5:
求过点P(3,4),且在y轴上的截距是在X轴上的截距的2倍的直线方程。
点拨:
设直线方程都要考虑是否丢解的问题,本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线,应警惕。
解:
当直线过原点时,方程为y=-x;当直线不经过原点时,设方程为-+-=L把P(3A)
3a2a
代入得a=5,:
.2x+y=10
4
综上,所求方程为y=—兀或2x+y=10
★热点考点题型探析★
考点1直线的倾斜角和斜率
题型1:
已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)
[例1]已知经过A(g2),B(-加,加-1),的直线的倾斜角为α,且45°VaVI35°,试求实
数川的取值范用。
【解题思路】由倾斜角α的范用得出斜率k的范用,从而求出参数川的取值范用.
【解析】∙.∙45"VαV135".∙.k>∖sSik<-V^n=0,
.∙.也二>]或2川_JV_1或也=0,解得:
OVmVo或也<0或也=0
一2m一2/7?
4
3
・••加的取值范用是(-s,二)
4
【需师指引】根据正切函数在[0,κ)上的单调性,要分
a∈(45°,90°);α=90υα∈(90°,135°)三种情况讨论,特别注意α=90°时容易遗漏.
题型2:
动直线与线段(曲线段、区域)相交
[例2]已知直线i:
y=kx-2和两点P(1,2)、Q(-4,1),若』与线段PQ相交,求k的取值范围;
【解题思路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范用,从而得
出斜率取值范帀
[解析]由直线方程y=kχ-2可知直线过定点(0,-2),
・•k_1-(-2)_3_2-(-2)_
*⅛^(-4)-0^4∙wp^1-0
・••要使直线2与线段PQ有交点,则k的取值范囤
是和k≤-3∕4
【名师指引】
(1)用'‘运动的观点”是解决这类问题的根本方法,注意''两条直线相交”和
“直线与线段相交”的区别
(2)在观察动直线在运动过程中,要特別注意倾斜角是否含有90°角,若含有■则斜率的范围是(y>“]5他若不含有,则斜率的范围是[k^k2](⅛Λ2
分别为线段端点与直线所过立点连线的斜率)
【新题导练】
1.下列多组点中,三点共线的是()
B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)
D.(0,0),(2,4),(一1,3)
A.(1,4),(-1,2),(3,5)
C.(1,0),(0,-i)t(7,2)
3
【解析】C.由KAS二血可得
2.(广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试)若函数/U)=Iogc(x+l)且a>b>c>0,则型、竺的大小关系是
QhC
把迪、型、竺分别看作函数JrcV)=IOg:
(x+l)图像上的点(αj(d)),ej(∕2)),(c,∕(b))abC
与原点连线的斜率,对照草图可得答案
3(华南师大附中2009届高三综合测试"已知直线;二为参数),则下
列说法错误的是()
3
A.直线的倾斜角为arctan-
4
C.直线不经过第二象限
B.直线必经过点(1,-—)
2
D.当E时,昭闵应点5∣J点(1,2)御离为3√Σ
33
[解析ID.将直线方程化为3x-4y-25=0,直线的斜率为:
,直线的倾斜角为arctan丁,
将点(1,--)代入,满足方程,斜率为正,截距为负,直线不经过第二象限
X≤O
4.若A为不等式组{y≥0表示的平面区域,则当"从一2
y-x≤2
连续变化到1时,动直线x+y=α扫过A中的那部分区域的面积为
[解析]如图,当"从一2连续变化到1时,动直线x+y=d扫过A中的那部分(四边形OBCD)
77
区域的面积与区域A(AABO)的而积之比为一,而区域A的而枳为2,故所求的而积为一
84
5.在平而直角坐标系中,点AB,C的坐标分别为(0,1),(4,2),(2,6)如果卩(上),)是
∕∖ABCm成的区域(含边界)上的点,则一二的取值范用是
x+1
V2
[解析]:
把亠看作区域上的点与点(-b0)连线的斜率,结合图形可得结果为[-,2]
x+15
6.已知点A(-2,3),B(3,2),P(0,-2),过P点的直线(与线段AB有公共点,求直线
C的斜率k的变化范围;
5454
[解析]kpA=——,kpB=—,画出图形,数形结合可得结果kw(-s,-=]5-,+s)
2323
考点2求直线方程
题型:
根据题目条件,选择方程的形式求直线方程
[例3]等腰直角三角形磁的直角顶点Q和顶点万都在直线2,r÷y-6=0上,顶点月的坐标是(1,-1),求边AB,EQ所在的直线方程.
【解题思路】从确定直线AB,AC的条件入手,直线月Q满足:
经过点A且垂直于直线
2-r+-y-6=0,
直线M满足:
经过点川且与直线2对厂6二0成工角,(或IAB等于点A到宜线2対厂6二0的4
距离的、伍倍)
解法1:
由条件知直线WC垂直于直线2.r÷y-6=0,设直线XQ的方程为χ-2y+c=0,
把£(1,-1)代入得C二-3,故直线EQ的方程为χ-2y-3=0,
∙.∙∣ACI=A=√5..JABI=ViO,(x,y),则AI(X^I)'+(〉'+】)、】°,
√5[2x+y-6=0
解得B(2,2)或3(4,—2),所以直线AB的方程为3x—y—4=0或x+3y+2=0
解法2:
直线月Q的斜率为丄,由点斜式并化简得,直线HQ的方程为χ-2y-3=0
2
Jr—∙→
考虑直线個M的夹角为一,设直线血"的方向向量分别为加=(2,1)J=(IQ
4
一一12+£I./?
1
ξ⅛πr亍解得心或所以直线“的方程为
3x—y—4=O或X+3y+2=O
【名师指引】求直线方程的一般步骤:
(1)寻找所求直线的满足的两个条件
(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组(3)列方程组求解
[例4]过点P(0,1)作直线厶使它被两直线Λι2x+y-8=0和乙:
χ-3y+10=0所截得的线段被点P平分的直线的方程.
【解题思路1】:
设出直线丄的点斜式方程,分别与直线乙建立方程组,求出交点坐标,再用中点坐标公式求出k,即可求出1的方程;
解析1:
由题意可知直线[的斜率存在,设直线[的方程为y=kx+l
(y=α+l7Qr,,O
联立G+小=。
,解得交点坐标是性TrE)
y=kx+∖
X—3y+lO=O解得交点坐标是3(
77
+1
而点P(0.1)是AB的中点,・•.*土2-3«二1=0,解得心-一,
24
故所求的直线方程为:
x+4y-4=0;
【解题思路2】:
设岀ZZ的交点A坐标(x1,yi),通过中点坐标公式求岀幺与厶的交点B的坐标,然后分别将A,B两点的坐标带入直线儿,A的方程,联立方程组进行求解;
解析2:
设直线2与已知2”Zj的交点A(xι,y1),B(x≡,y≡)
∙∙∙P是AB的中点
Vi+v2_q
2—°fx2=~x∖
•••1Vi÷.y2,1、即Iy9=2-y1,带入Z的方程的.
2
得("Xι)~3(2-yj+10-0,即xrβ3y厂4二0
rx1-3y1-4=0
联立i2X]+yl-8=0解得A(4,0)
故所求的直线方程为:
口=二1,即x+4y-4二0・
1-00-4
【名师指引】(I)解法1思路明显,但运算量较大,解法2使用“设而不求”减少了运算量
(2)中点弦问题和两条曲线关于某点对称的问题,都可以考虑运用解法2中的“设而不求”【新题导练】
7.已知点X(3,4)
(1)经过点川且在两坐标轴上截距相等的直线方程为:
:
(2)经过点川且与两坐标轴围成的三角形而积是1的直线方程为:
(3)经过点川且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为:
:
(4)经过点川且在X轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为:
:
[解析]
(1)4χ-3y=0或x+y—7=0
YV
[当直线经过原点时,方程为4χ-3y=0,当直线不经过原点时,设方程为一+丄=1,代aa入点A的坐标得直线方程x+y-7=0]
XV34
(2)2x—y_2=0或8λ,-9y÷12=0;[设直线方程为一+二=1,由二+—=1和IahI=2abab
求得α"的值]
(3)X—y+l=O或x+y—7=0:
[斜率为1或-1,由点斜式易得]
(4)Λ,÷2y-11=0或4χ-3y=0:
[当直线经过原点时,方程为4χ-3y=0,当直线不经过原点时,设直线方程为-+-=1>由-+-=1和a=2h求得αb的值]
abab
8•已知直线Z经过点P(XA),分别交X轴,y轴正半轴于点A,B,其中0为原点,求
△AOB的而积最小时,直线Z的方程:
[解析]设直线/的方程为y—4=E(X-I),
44
令X=O,得y=4-R,令y=0,得兀=1一:
,・・・A(I—〒Q),3(0,4—幻,
KK
・•・SMM=牙IOAI・IOBl=牙1(1_匚)(4_幻I=牙18+(—灯+(_〒)1二8,
当且仅当k=-9即k二±4时等号成立,但k〈0,故直线/的方程为:
4x+y-8=0k
考点3对称问题
题型1:
求点关于某直线的对称点或求两点的对称直线方程
[例5][例5]已知直线∕2χ-3y+l二0,点AC-2),求:
(1)点A关于直线』的对称点A的坐标;
(2)直线m:
3x-2y-6=O关于直线2的对称直线加方程:
(3)直线』关于点A(-L-2)对称的直线F的方程:
【解题思路】:
求对称直线的方程,方法1是转化为点对称问题,二是用相关点转移法解决:
[解析](1〉设点A关于2的对称点是A(Xyy
=_33
A=^^.,A∙(-^±)
41313
y
13
(2)设点P∖x∖yl)是直线In上任意一点,P∖x∖Y)关于直线/的对称点为P(x,y)
VP∖x∖y,)在直线/上,.∙.3^λ^+1i~v~4-212A^V+6-6=0
化简得:
9Λ-46y+102=0
(3)设点Q∖a9b)是直线/上任意一点,点Q,(a,b)关于点A(-l,-2)的对称点为Q(x,y),
a+x
•解得
2
因点Q∖a.b)在直线/上,2(-2-x)-3(-4-y)+l=0>
化简得:
2x-3y-9=O
【需师指引】(I)要抓住两点关于直线对称的特征来列式;
(2)点对称是其它对称问题(曲线的对称等)的基础,务必重点掌握:
题型2:
利用对称知识解决有关问题
[例6J[2008•深一模]如图,已知A(4.0).B(0,4),从点P(2,0)射岀的光线经直线AB
反向后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是
A・2√10B.6C.3√3D・2√5
【解题思路】:
利用对称知识,将折线PMN的长度转化为折线CNMQ的长度
[解析]设点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线
所经过的路程PMN的长=PM+MN+NP=DM+MN+NC≥CD=2^
【名师指引】本例是运用数形结合解题的典范,关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化,一般地,在已知直线上求一点到两个左点的距藹之和的最小值,需利用对称将两条折线由同侧化为异侧,在已知直线上求一点到两个立点的距离之差的最大值,需利用对称,将两条折线由异侧化为同侧,从而实现转化。
【新题导练】
9.(2006中山)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(-2,0)重合,且点(2003,
2004)与点(m,n)重合,那么n-m二;
[解析]1.点(0,2)与点(-2,0)的连线平行于点(2003,2004)与点(m,n)的连线
10.(2007汕头)圆(Λ∙+i)2+(y-4)2=ι关于直线尸X对称的圆是()
A.(χ-l)3+(y+4)2=1B・(χ-4尸+(y+l):
=1
C.(x+4)2+(y-D2=1D・(χ-l)*(y-4)'=1
[解析]B∙点(-1,4)关于直线y二X对称的点为(4,-1)
11•若点P(a.b)与Q(b-l,a+l)关于直线。
对称,则C的方程为
[解析]χ+y-l=O∙
直线C斜率为-1,经过PQ的中点('z+λ"1∕z+λ+1),方程为x+y-l=O
22
12.已知A、〃为X轴上不同的两点,点P的横坐标为1,且∣PΛ∣=∣P冲,若直线P4的方程为Λ-y+l=O,则直线PB的方程为
A.X+y-3=0B.X+3y-7=0C.x+-5=0D.2y-x-3=0
解析:
A.直线PA、PB关于直线x=l对称,P(1,2)
13.入射光线沿直线X+2y+c=0射向直线/:
%+y=0»被直线/反射后的光线所在的直线方程为()
扎2x+y+c=0B.2x+y-c=0C.2x-y+c=OD.2x-y—C=O
解析:
B
在入射光线上取点(0,-£),它关于直线/的对称点为(£,0),可排除A.C
22
在入射光线上取点(-c,0),它关于直线/的对称点为(0,c),可排除D
★抢分频道★
基础巩固训练
1.已知0VdVl,贝IJ直线Z:
y=(2“-l)x+lOgjF不经过
A.第1象限B.第2象限C.第3象限D.第4象限
解析:
∙.∙OV“V1.∙.2a-2O.∙.直线/不经过第3象限
2.函数y=asinχ-bcosx的一条对称轴为X=—>那么直线:
aχ-by+c=O的倾斜角为()
4
A.450B.60oC・120oD.135°
[解析]由函数y=f(x)=asinχ-bcosx的一条对称轴为x=-t^∏,f(O)=f(-),所以-b=a,故
44
倾斜角是135°,因此答案是D:
3.(山东省滨州市2008年髙三第一次复习质量检测)连续掷两次骰子分别得到的点数为m、
n,则点P(m,n)在直线x+y二5左下方的概率为()
A-—B.—C.—D.—
64129
[解析]丄.点P(m,n)的个数有36个,而满足题意的点有以下6
6
个:
(1,1),(1,2)(2,1)(I13),(2,2),(3,1)
所求的概率为丄
6
4.(江苏盐城市三星级髙中2009届第一协作片联考)函数y=logπ(x+3)-1
12
(a>0√z≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+l=0±,英中πm>0,则一+—的
Irln最小值为
[解析]8.函数y=Iogn(X+3)-1图象恒过定点A(-2,-1),
.∖—2m—n+1=0.∙.2ιn+川=1,・••丄+二=(—+—)(2/?
/+/?
)=4+—+≥8,当且仅
HlnmHmn
J?
4√27
当上=划即九=+2,7/时取等号,
Inn
5.(2007东莞)直线/经过A(2,l),B(∖jn2)两点(m∈/?
),那么直线/的倾斜角的取值范
围是()
A.[0,∕r)B.[0,—]UI—
【解析】D.因为^=I-m2≤l
C∙[。
彳
D∙[0,—]U(y,Λ,)
x-y+l≥0
6.如果实数JGy满足条件]y+l≥0
x+y+∖≤0
那么4v(-)v的最大值为
2
A.2
B.1C•丄D•丄
24
【解析】A.
不等式表示的区域是以A(-b0)、B(-2,-1).C(0,-1)为顶点的三角形,
4∖-)v=22v-∖当直线2x-y=t经过点C(0,-1)时,4v(-)v取最大值222
综合提髙训练
7.过点(-5,-4)作一直线厶使它与两坐标轴相交且与两轴所囤成的三角形而积为5.求
此直线的方程.
解:
直线』的方程为y+4=k(x+5),
4
令χ=0得y=5k-4:
令y=0得兀=—一5k
••丄|5比一41・1殳一51=5解得k=-或£=勺
2k55
OQ
・•・所求方程为y==x_2或y==x+4
8.如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪,另外AAEF内部有一文物
保护区域不能占用,经过测量AB=IOOm,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪而
积最大?
[解析]建立如图示的坐标系,则E(30,0)F(0,20),那么线段EF的方程就是
—+—=l(O≤x≤3O),在线段EF上取点P(m,n)作PQ丄BC于Q,作PR丄CD于R,设矩形3020
PQCR的而积是S,则S=IPQ∙PR=(100-m)(80-n),又因为—+—=l(O≤x≤3O),所
3020
以,H=20(1-—),故S=(1∞-∕π)(80-20+-W)=--(W-5)2+(O≤m<30),于是,当In二5时S有最大值,这时旦=巴二!
=
IPFI51
9.已知直线/:
y=√3x和点P(3,l),过点P的直线加与直线/在第一象限交于点Q,与X轴交于点M,若AOMQ为等边三角形,求点Q的坐标解析:
因直线l∙.y=x的倾斜角为60°,要使△OMQ为等边三角形,直线川的斜率应为-巧,设0(x,JL∙),则W二!
=-√J,
x-3
10.
如图,一列载着危重病人的火车从0地岀发,沿射线OA方向行驶,英中Sind=罟
3在距离0地5a(a为正常数)千米,北偏东0角的N处住有一位医学专家,其中sin0=g,现120指挥中心紧急征调离0地正东P千米B处的救护车,先到N处载上医学专家,再全速赶往乘有危重病人的火车,并在C处相遇。
经计算,当两车行驶的路线与OB所围成的三角形OBC而积S最小时,抢救最及时。
(1)在以0为原点,正北方向为y轴的直角坐标系中,求射线OA所在的直线方程;
(2)求S关于P的函数关系式S二/(〃);
(3)当P为何值时,抢救最及时?
(2)设点N(X八儿),则Xa=5αsin0=3/儿=5GCoS0=4α,.∙.N(3α,4α)又B(/儿0),
n'ψ(P