知识要点直线的倾斜角与斜率及直线方程.docx

1、知识要点直线的倾斜角与斜率及直线方程第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程知识梳理1、 直线的倾斜角与斜率：对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转 到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范用是0, 180）直线的倾斜角与斜率k的关系：当 90时，k与a的关系是k = tana； = 90 时，直线斜率不存在：经过两点PI（XIf y1）P=（x=,y=） （1=）的直线的斜率公式是R =旦二如:心一召三点A.B.C共线的充要条件是k Al） = kc2.直线方程的五种形式：点斜式方程是y-y0 = -）;不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线斜截式

2、方程为y = kx+bi不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线两点式方程为=L =上二土 ：不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线y2 - , v2 -西截距式方程为- + - = 1：不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线 a b一般式方程为coc+by + c = 0 .3.几种特殊直线的方程：1过点P（a,b）垂直于X轴的直线方程为空;过Pab）垂直于y轴的直线方程为yb2已知直线的纵截距为b ,可设其方程为y = kx+b ；3已知直线的横截距为a,可设其方程为x = my + a4过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx重难点突破重点：理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求

3、直线方程难点:在求直线方程时，条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角（或范用）求斜率（范由）（2）已知斜率（或范围)求倾斜角(或范围),如: 问题1：直线Xtan-+ y + 2 = O的倾斜角&是、兀 GltCM TX A. B. C. D.3 6 3 3点拨:转化为：已知tana =-tan,c? 0,),求 ,答案：C 问题2:求直线XCOS0 + 3- + 2 = 0的倾斜角的取值范用点拨：要从k = tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系

4、，1当O,-)f, /r0), k随的增大而增大；22当QE(Z+s)时，k (-,0) I &随Q的增大而增大.2本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤. k=-cos,故：心亜3 3 一 一 3当05Rg时，直线的倾斜角满足：0兰3 6当_迺“0时,直线的倾斜角满足-a O且al),当xVo时,f(x) 1,方程y = ax +丄表a点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直 线的位置，由已知可得a (0,1),从而斜率k (0,1),截距b,故选C(3)选择恰当的形式求直线方程问题4:过点P(-l,-2)的宜

5、线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4IIPBI最小 时，求直线/的方程。点拨:设直线方程要从条件和结论两方而考虑，为更好表示I PAM PB,本题用点斜式设出 方程最简便。解：设直线/的方程为2 2y + 2 = k(x + l), x = 0,得y = k-2, y = 0,得X =二一1, . A(二 1,0)”(U-2),k kJPAIIPBI=p + 4P7T = 2+p- + 84,当且仅当疋=右，即 k二1 时等号成立，但ksSik 或2川_ J V _1或也=0 ,解得：OVmVo或也“5他若不含有,则斜率的范围是kk2 ( 2分别为线段端点与直线所过立点连线的斜率)

6、【新题导练】1.下列多组点中，三点共线的是()B. (-2, -5), (7,6), (-5, 3)D. (0, 0), (2, 4), (一 1, 3)A. (1, 4), (-1, 2), (3, 5)C. (1,0), (0,-i)t (7, 2)3【解析】C.由KAS二血可得2.(广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试)若函数/U) =Iogc (x+l)且abc 0,则型、竺的大小关系是QhC把迪、型、竺分别看作函数JrcV)=IOg：(x+l)图像上的点(j(d),ej(2),(c,(b) a b C与原点连线的斜率,对照草图可得答案3 (华南师大附中2009届高三综合测

7、试已知直线;二 为参数),则下列说法错误的是 ( )3A.直线的倾斜角为arctan -4C.直线不经过第二象限B.直线必经过点(1,-)2D.当E时，昭闵应点5J点(1,2)御离为33 3解析ID.将直线方程化为3x-4y-25 = 0,直线的斜率为:，直线的倾斜角为arctan 丁 ,将点(1,-)代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限X O4.若A为不等式组y0 表示的平面区域，则当从一 2y-x2连续变化到1时，动直线x+y = 扫过A中的那部分区域的面积为 解析如图，当从一2连续变化到1时,动直线x+y = d扫过A中的那部分(四边形OBCD)77区域的面积与区域A(

8、AABO)的而积之比为一，而区域A的而枳为2,故所求的而积为一845.在平而直角坐标系中，点A B, C的坐标分别为(0,1),(4,2),(2,6)如果卩(上),)是ABCm成的区域(含边界)上的点，则一二的取值范用是x + 1 V 2解析:把亠 看作区域上的点与点(-b 0)连线的斜率,结合图形可得结果为-,2x + 1 56.已知点A (-2, 3), B (3, 2), P (0, -2),过P点的直线(与线段AB有公共点，求直线C的斜率k的变化范围；5 4 5 4解析kpA= ，kpB= ,画出图形，数形结合可得结果kw(-s,-=5-,+s)2 3 2 3考点2求直线方程题型：根据

9、题目条件，选择方程的形式求直线方程例3等腰直角三角形磁的直角顶点Q和顶点万都在直线2,ry- 6=0上，顶点月的坐标 是(1, - 1),求边AB, EQ所在的直线方程.【解题思路】从确定直线AB, AC的条件入手，直线月Q满足：经过点A且垂直于直线2-r+-y- 6=0,直线M满足:经过点川且与直线2对厂6二0成工角,(或IAB等于点A到宜线2対厂6二0的 4距离的、伍倍)解法1：由条件知直线WC垂直于直线2.ry-6=0,设直线XQ的方程为-2y+c=0,把(1, -1)代入得C二-3,故直线EQ的方程为-2y-3=0,. ACI=A = 5 .J ABI=ViO , (x, y),则 A

10、I(X I) +( + 】)、】 ,5 2x + y-6 = 0解得B(2,2)或3(4,2),所以直线AB的方程为3x y 4 = 0或x + 3y + 2 = 0解法2:直线月Q的斜率为丄，由点斜式并化简得，直线HQ的方程为-2y-3=02Jr 考虑直线個 M的夹角为一，设直线血 的方向向量分别为加=(2,1)J = (IQ4一 一 12 + I ./? 1r亍解得心或所以直线“的方程为3x y 4 = O 或 X + 3y + 2 = O【名师指引】求直线方程的一般步骤：(1)寻找所求直线的满足的两个条件(2)将条件转化, 使转化后的条件更利于列出方程组(3)列方程组求解例4过点P (0

11、, 1)作直线厶使它被两直线2x+y-8=0和乙：-3y+10=0所截得的线 段被点P平分的直线的方程.【解题思路1】：设出直线丄的点斜式方程，分别与直线乙建立方程组，求出交点坐标， 再用中点坐标公式求出k,即可求出1的方程；解析1：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为y=kx+l(y=+l 7 Q r, , O联立G+小=。，解得交点坐标是性TrE)y=kx+X3y+lO=O 解得交点坐标是3(7 7 + 1而点P (0. 1)是AB的中点，. *土2- 3二1=0,解得心-一，2 4故所求的直线方程为：x+4y-4=0;【解题思路2】：设岀ZZ的交点A坐标(x1, yi),通过中点坐标

12、公式求岀幺与厶的交点B 的坐标，然后分别将A, B两点的坐标带入直线儿，A的方程,联立方程组进行求解；解析2：设直线2与已知2” Zj的交点A (x, y1) , B (x, y)P是AB的中点Vi + v2 _q2 fx2=x 1 Vi .y2 ,1、即 I y9 =2-y1，带入 Z的方程的.2得(X) 3 (2-yj +10-0,即 xr3y厂4二0rx1-3y1 -4=0联立 i 2X +yl -8=0 解得 A(4, 0)故所求的直线方程为： 口 =二1,即x+4y-4二01-0 0-4【名师指引】(I)解法1思路明显,但运算量较大,解法2使用“设而不求”减少了运算量(2)中点弦问题

13、和两条曲线关于某点对称的问题，都可以考虑运用解法2中的“设而不求” 【新题导练】7.已知点X (3, 4)(1)经过点川且在两坐标轴上截距相等的直线方程为： :(2)经过点川且与两坐标轴围成的三角形而积是1的直线方程为 :(3)经过点川且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为： :(4)经过点川且在X轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为： :解析(1) 4-3y= 0 或 x+y7=0Y V当直线经过原点时，方程为4-3y=0,当直线不经过原点时，设方程为一+丄=1,代 a a 入点A的坐标得直线方程x+y-7=0X V 3 4(2) 2x y_2=0 或 8,-9y12=0;设

14、直线方程为一+ 二=1,由二+ = 1 和 I ah I= 2 a b a b求得的值(3)Xy+l=O或x+y7=0：斜率为1或-1,由点斜式易得(4),2y-11=0或4-3y=0:当直线经过原点时，方程为4-3y=0,当直线不经 过原点时，设直线方程为-+ - = 1由- + - = 1和a = 2h求得b的值a b a b8已知直线Z经过点P(XA),分别交X轴，y轴正半轴于点A, B,其中0为原点，求AOB的而积最小时，直线Z的方程：解析设直线/的方程为y 4 = E(X-I),4 4令 X = O,得y = 4-R ,令y = 0,得兀=1一：， A(I Q),3(0,4 幻，K

15、K SMM=牙IOAIIOBl=牙 1(1_匚)(4_幻I=牙 18 + (灯+ (_)1二8,当且仅当k = -9即k二4时等号成立，但k0,故直线/的方程为：4x+y-8 = 0 k考点3对称问题题型1：求点关于某直线的对称点或求两点的对称直线方程例5例5已知直线2-3y+l二0,点AC -2),求：(1)点A关于直线的对称点A的坐标；(2)直线m:3x-2y-6=O关于直线2的对称直线加方程：(3)直线关于点A (-L -2)对称的直线F的方程：【解题思路】：求对称直线的方程，方法1是转化为点对称问题，二是用相关点转移法解决:解析(1设点A关于2的对称点是A(Xyy=_33A= .,A(

16、-)4 13 13y 13 (2)设点Pxyl)是直线In上任意一点，PxY)关于直线/的对称点为P(x,y)V Pxy,)在直线/上，. 3 + 1iv4 -212A V+ 6-6 = 0化简得：9-46y + 102 = 0(3)设点Qa9b)是直线/上任意一点,点Q,(a,b)关于点A(-l, -2)的对称点为Q(x,y),a +x解得2因点 Qa.b)在直线/上，2(-2-x)-3(-4-y) + l=0化简得：2x-3y-9 = O【需师指引】(I)要抓住两点关于直线对称的特征来列式；(2)点对称是其它对称问题(曲线的对称等)的基础，务必重点掌握：题型2：利用对称知识解决有关问题例6

17、 J 2008 深一模如图，已知A(4.0). B(0,4),从点P(2,0)射岀的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是A 210 B. 6 C. 33 D 25【解题思路】：利用对称知识，将折线PMN的长度转化为折线CNMQ的长度解析设点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程 PMN 的长=PM + MN +NP = DM + MN+NCCD=2【名师指引】本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质 实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个左点的距藹之和的最小

18、值，需利用对称将两 条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个立点的距离之差的最大值,需利用对称, 将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。【新题导练】9.(2006中山)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0, 2)与点(-2, 0)重合，且点(2003,2004)与点(m, n)重合，那么n-m二 ;解析1. 点(0, 2)与点(-2, 0)的连线平行于点(2003, 2004)与点(m,n)的连线10.(2007汕头)圆(+i)2 + (y-4)2=关于直线尸X对称的圆是( )A. (-l)3+(y+4)2 =1 B(-4尸+(y+l)： =1C.(x+4)2+(y-D2 =1 D(-l)

19、*(y-4) =1解析B 点(-1, 4)关于直线y二X对称的点为(4, -1)11 若点P (a. b)与Q (b-l, a+l)关于直线。对称，则C的方程为 解析 + y-l = O直线C斜率为-1,经过PQ的中点(z + 1z + + 1),方程为x+y-l = O2 212.已知A、为X轴上不同的两点，点P的横坐标为1,且P = P冲，若直线P4的方 程为-y + l = O,则直线PB的方程为A. X + y - 3 = 0 B. X + 3y - 7 = 0 C. x + - 5 = 0 D. 2y- x-3 = 0解析：A.直线PA、PB关于直线x = l对称，P(1,2)13.

20、入射光线沿直线X + 2y + c = 0射向直线/: % + y = 0 被直线/反射后的光线所在的直 线方程为()扎 2x+y + c = 0 B. 2x+ y-c = 0 C. 2x- y + c = O D. 2x-y C = O解析:B在入射光线上取点(0,-),它关于直线/的对称点为(,0),可排除A.C2 2在入射光线上取点(-c,0),它关于直线/的对称点为(0,c),可排除D抢分频道基础巩固训练1.已知0VdVl,贝IJ直线Z:y = (2“-l)x + lOgjF不经过A.第1象限 B.第2象限 C.第3象限 D.第4象限解析：.O V“ V 1 .2a-2O.直线/ 不经

21、过第 3 象限2.函数y=asin-bcosx的一条对称轴为X = 那么直线：a-by+c=O的倾斜角为( )4A. 450 B. 60o C 120o D. 135解析由函数 y=f (x) =asin-bcosx 的一条对称轴为 x=-t, f(O)=f(-),所以-b=a,故4 4倾斜角是135,因此答案是D：3.(山东省滨州市2008年髙三第一次复习质量检测)连续掷两次骰子分别得到的点数为m、n,则点P (m,n)在直线x+y二5左下方的概率为()A- B. C. D.6 4 12 9解析丄.点P( m,n )的个数有36个，而满足题意的点有以下66个:(1,1), (1,2) (2,

22、1) (I1 3), (2,2), (3,1)所求的概率为丄64.(江苏盐城市三星级髙中2009届第一协作片联考)函数y = log(x + 3) -11 2(a 0z 1 )的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+l=0 ,英中m0,则一+ 的Irl n 最小值为 解析8.函数y = Iogn(X+ 3)-1图象恒过定点A(-2,-1),. 2m n+ 1= 0 . 2n + 川=1,丄 + 二=(+ )(2/?/ + /?) = 4 + + 8,当且仅Hl n m H m nJ? 427当上=划即九=+2,7/时取等号，In n5.(2007东莞)直线/经过A(2,l), B(jn2)两

23、点(m /?),那么直线/的倾斜角的取值范围是( )A. 0,r) B. 0,UI【解析】D. 因为=I-m2lC。彳D 0,U(y ,)x-y+l06.如果实数JGy满足条件y + l0x+y + 0那么4v(-)v的最大值为2A. 2B. 1 C丄 D丄2 4【解析】A.不等式表示的区域是以A(-b 0)、B(-2, -1). C(0, -1)为顶点的三角形,4-)v = 22v-当直线2x-y = t经过点C(0, -1)时，4v(-)v取最大值2 2 2综合提髙训练7.过点(-5, -4)作一直线厶使它与两坐标轴相交且与两轴所囤成的三角形而积为5.求此直线的方程.解：直线的方程为y +

24、 4 = k(x + 5),4令 = 0 得 y = 5k-4:令 y = 0得兀=一5 k丄|5比一411殳一51=5解得k=-或 =勺2 k 5 5O Q所求方程为y = =x_2或y = =x + 48.如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外AAEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量AB=IOOm, BC=80m, AE=30m, AF=20m,应该如何设计才能使草坪而积最大?解析建立如图示的坐标系，则E (30, 0) F (0, 20),那么线段EF的方程就是+ = l(Ox3O),在线段EF上取点P(m,n)作PQ丄BC于Q,作PR丄CD于R,设矩形 3

25、0 20PQCR 的而积是 S,则 S=IPQ PR = (100-m) (80-n),又因为+ = l(Ox3O),所30 20以，H = 20(1 -),故 S = (1 - )(80 - 20 + - W) = - - (W - 5)2 + (O m 30),于是，当In二5时S有最大值，这时旦=巴二! =IPFI 5 19.已知直线/ ： y = 3x和点P(3,l),过点P的直线加与直线/在第一象限交于点Q，与X 轴交于点M，若AOMQ为等边三角形，求点Q的坐标 解析：因直线l.y = x的倾斜角为60, 要使 OMQ为等边三角形，直线川的斜率应为-巧， 设 0(x,JL),则 W二

26、！ = -J ,x-310.如图，一列载着危重病人的火车从0地岀发，沿射线OA方向行驶，英中Sind = 罟3 在距离0地5a (a为正常数)千米，北偏东0角的N处住有一位医学专家，其中sin0 = g, 现120指挥中心紧急征调离0地正东P千米B处的救护车，先到N处载上医学专家，再全速 赶往乘有危重病人的火车，并在C处相遇。经计算，当两车行驶的路线与OB所围成的三角 形OBC而积S最小时，抢救最及时。(1)在以0为原点，正北方向为y轴的直角坐标系中，求射线OA所在的直线方程；(2)求S关于P的函数关系式S二/()；(3)当P为何值时，抢救最及时？ (2)设点 N(X八儿)，则Xa =5sin0 = 3/儿=5GCoS0 = 4 , .N( 3,4)又 B( /儿0),n (P