深度探讨透视投坐标系.docx

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深度探讨透视投坐标系

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3d图形程序，就一定会做坐标变换。

而谈到坐标变换，就不得不提起投影变换，因为它是所有变换中最不容易弄懂的。

但有趣的是，各种关于透视变换的文档却依然是简之又简，甚至还有前后矛盾的地方。

看来如此这般光景，想要弄清楚它，非得自己动手不可了。

所以在下面的文章里，作者尝试推导一遍这个难缠的透视变换，然后把它套用到DX和PS2lib的实例中去。

1.一般概念

所谓透视投影变换，就是view空间到project空间的带透视性质的坐标变换步骤（这两

个空间的定义可以参考其他文档和书籍）。

我们首先来考虑它应该具有那些变换性质。

很显然，它至少要保证我们在view空间中所有处于可视范围内的点通过变换之后，统统落在project空间的可视区域内。

好极了，我们就从这里着手——先来看看两个空间的可视区域。

由于是透视变换，view空间中的可见范围既是常说的视平截体（viewfrustum）。

如图，

（图1）

它就是由前后两个截面截成的这个棱台。

从view空间的x正半轴看过去是下图这个样子。

（图2）

接下来是project空间的可视范围。

这个空间应当是处于你所见到的屏幕上。

实际上将屏幕表面视作project空间的xoy平面，再加一条垂直屏幕向里（或向外）的z轴（这取决于你的坐标系是左手系还是右手系），这样就构成了我们想要的坐标系。

好了，现在我们可以用视口（viewport）的大小来描述这个可视范围了。

比如说全屏幕640*480的分辨率，原点在屏幕中心，那我们得到的可视区域为一个长方体，它如下图（a）所示。

（图3）

但是，这样会带来一些设备相关性而分散我们的注意力，所以不妨先向DirectX文档学学，将project空间的可视范围定义为x∈[-1,1],y∈[-1,1],z∈[0,1]的一个立方体（上图b）。

这实际上可看作一个中间坐标系，从这个坐标系到上面我们由视口得出的坐标系，只需要对三个轴向做一些放缩和平移操作即可。

另外，这个project坐标系对clip操作来说，也是比较方便的。

2.推导过程

先从project空间的x正半轴看看我们的变换目标。

（图4）

这个区域的上下边界为y’=±1,而图2中的上下边界为y=±z*tan（fov/2），要实现图

2到图4的变换，我们有y’=y*cot（fov/2）/z。

这下完了，这是一个非线性变换，怎么用矩阵计算来完成呢？

还好我们有w这个分量。

注意到我们在做投影变换之前所进行的两次坐标变换——world变换和view变换，他们只是一系列旋转平移和缩放变换的叠加。

仔细观察这些变换矩阵，你会发现它们其实不会影响向量的w分量。

换句话说，只要不是故意，一个w分量等于1的向量，再来到投影变换之前他的w分量仍旧等于1。

好的，接下来我们让w’=w*z,新的w就记录下了view空间中的z值。

同时在y分量上我们退而求其次，只要做到y’=y*cot（fov/2）。

那么，在做完线性变换之后，我们再用向量的y除以w，就得到了我们想要的最终的y值。

x分量的变换可以如法炮制，只是fov要换一换。

事实上，很多用以生成投影变换矩阵的函数都使用了aspect这个参数。

这个参数给出了视平截体截面的纵横比（这个比值应与viewport的纵横比相等，否则变换结果会失真）。

如果我们按照惯例，定义aspect=sizeofX/sizeofY。

那么我们就可以继续使用同一个fov而给出x分量的变换规则：

x’=x*cot（fov/2）/aspect。

现在只剩下z分量了。

我们所渴望的变换应将z=Znear变换到z=0，将z=Zfar变换到z=1。

这个很简单，但是等等，x,y最后还要除以w，你z怎能例外。

既然也要除，那么z=Zfar就不能映射到z=1了。

唔，先映射到z=Zfar试试。

于是，有z’=Zfar*（z-Znear）/（Zfar–Znear）。

接下来，看看z’/z的性质。

令f（z）=z’/z=Zfar*（z-Znear）/（z*（Zfar–Znear））。

则f’（z）=Zfar*Znear/（z^2*（Zfar–Znear））,显而易见f’（z）>0。

所以除了z=0是一个奇点，函数f（z）是一个单调增的函数。

因此，当Znear≤z≤Zfar时，f（Znear）≤f（z）≤f（Zfar）,

即0≤f（z）≤1。

至此，我们可以给出投影变换的表达式了。

x’=x*cot（fov/2）/aspect

y’=y*cot（fov/2）

z’=z*Zfar/（Zfar–Znear）–Zfar*Znear/（Zfar–Znear）

w’=z

以矩阵表示，则得到变换矩阵如下，

cot（fov/2）/aspect000

0cot（fov/2）00

00Zfar/（Zfar-Znear）1

00-Zfar*Znear/（Zfar-Znear）0。

做完线性变换之后，再进行所谓的“归一化”，即用w分量去除结果向量。

　　现在我们考虑一下这个变换对全view空间的点的作用。

首先是x和y分量，明了地，当z>0时，一切都如我们所愿；当z<0时，x和y的符号在变换前后发生了变化，从图象上来说，view空间中处于camera后面的图形经过变换之后上下颠倒，左右交换；当z=0时，我们得到的结果是无穷大。

这个结果在实际中是没有意义的，以后我们得想办法弄掉它。

再来看z,

仍旧拿我们上面定义的f（z）函数来看，我们已经知道当z≥Zfar时，f（z）≥1;同时当z→+∞，f（z）→Zfar/（Zfar-Znear）;当z→+0时，f（z）→-∞;z→-0时，f（z）→+∞;z→∞时，f（z）→Zfar/（Zfar-Znear）.由此我们画出f（z）的图像。

（图5）

由此图可以看出当z≤0时，如果我们仍旧使用f（z）进行绘制会产生错误。

所以我们会想需要clip操作——只要这个三角形有任意一个顶点经过变换后z值落在[Zfar/（Zfar-Znear）,+∞]区间中，我们就毫不怜悯地抛弃她——因为无论如何，这个结果是错的。

那么万一有三角形在view空间内横跨了Znear到0的范围，按我们想应该是画不出来了。

但是回想一下我们所看见过的DirectX程序，似乎从未看到过这种情况。

有点奇怪，但是不得不先放放，稍后再说。

3．到DirectX中求证

在DirectX中拿一个用fov生成投影矩阵的函数来看。

D3DXMATRIX*D3DXMatrixPerspectiveFovLH（D3DXMATRIX*pOut,FLOATfovy,FLOATAspect,

FLOATzn,FLOATzf）

这个函数恰好使用了我们刚才推导所使用的几个参数，经过一些数据的代入计算之后，我们就会发现它所产生的矩阵就是我们计算出来的。

看来，DirectX的思路和我们是一致的。

好的，一个问题解决了，但一个新的问题接着产生——DirectX是怎么做clip的？

我不知道，而且看样子现在也知道不了，只能期待牛人相助或者是碰到一本好书了。

4．研究ps2lib的投影变换

　　其实投影变换都是一回事，但是PS2lib的函数怎么有点不一样呢？

仔细看看，原来我们的思路是先做“归一化”，然后再做viewport的放缩和平移，而PS2不是这样——它把“归一化”放在最后。

接下来，我们就按这个顺序试试。

先看缩放操作，把它和除z交换顺序很方便，直接换便是了。

于是我们记viewport的宽度为Vw，高度为Vh,Z缓存的最大值为Zmax,最小值为Zmin则有

x’=x*cot（fov/2）/aspect*（Vw/2）

y’=y*cot（fov/2）*（Vh/2）

z’=Zfar（z-Znear）/（Zfar-Znear）*（Zmax-Zmin）;

w’=z

再看平移部分，既然是要平移后再除，则必须平移原来的z倍，于是我们又记viewport中心坐标为（Cx,Cy）,就有

x’’=x’+z*Cx

y’’=y’+z*Cy

z’’=z’+z*Zmin

w’’=w

好的，我们看看cot（fov/2）等于什么，从图2看，实际上它就是D/（Vh/2），那么cot（fov/2）/aspect实际上就是D/（Vw/2）。

但是，ps2在这上面耍了个小花招，它在view空间中的viewport和project空间的viewport可以不相等。

最明显的一点是，它在view空间中的viewport的高度为480，但实际上它的输出的y向分辨率只有224。

也就是说，ps2想要输出纵横比等于电视机的图像，就必须在y向上再加一个缩放。

这个缩放在我们的变换中体现在哪呢？

就在y’=D/（Vh/2）*（Vhscr/2）中，注意到两个Vh不相等（project空间中的Vh记成Vhscr），两个值一运算就得到x’=D*（224/480）=0.466667D。

这个0.4666667就是ps2lib函数参数ay的由来。

同理，我们亦可得知ax一般应取值为1。

那么，实际上ps2lib函数的scrz，ax,ay三个参数的作用等同于DirectX的象形函数的fov和aspect，在确定的规则下，他们可以相互转换，得到性质完全相同的透视变换。

至于这个规则，这里就不给出了。

转回正题，有了上面的讨论，我们就可以展开我们的变换表达式如下，

x’’=x*scrz*ax+z*Cx

y’’=x*scrz*ay+z*Cy

z’’=z*（Zfar*Zmax–Znear*Zmin）/（Zfar–Znear）

–Zfar*Znear*（Zmax-Zmin）/（Zfar-Znear）

w’’=z

z分量好像还有点不一样，注意到一般ps2程序在zbuffer的操作为greater&equal，而DirectX的操作为less&equal，就是说，z方向得做些变动——得把z=Znear映射到z’’=Zmax，z=Zfar映射到z’’=Zmin。

说变就变，我们马上有

z’=Zfar（z-Znear）/（Zfar-Znear）*（Zmin-Zmax）

z’’=z’+Zmax

再次展开，得到z’’=z*（Zfar*Zmin–Znear*Zmax）/（Zfar–Znear）

+Zfar*Znear*（Zmax-Zmin）/（Zfar-Znear）

好了，用矩阵把这个变换写出来，

scrz*ax000

0scrz*ay00

CxCy（Zfar*Zmin–Znear*Zmax）/（Zfar–Znear）1

00Zfar*Znear*（Zmax-Zmin）/（Zfar-Znear）0，

这下就完全一样了。

下面的任务就是看看这个变换的性质。

因为最后同样要除以z，所以x，y分量上的情形的和原来我们推导的DirectX的投影变换是一样的，区别在z分量上。

来看新的f（z）函数，它的图像为

（图6）

5．结论

至此，我们已经完成了预定的目标。

但是，将坐标变换完全掌握之后，为了做一个像样的图形程序，我们还有更多事情要做——至少在PS2上是这样。