七年级数学第四单元《图形认识初步》复习导学案.docx

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七年级数学第四单元《图形认识初步》复习导学案

《图形认识初步》复习导学案

同学们一定会体会到我们生活在图形的世界里.我们刚学过的《图形认识初步》不都是我们生活中所见到过的吗？

为了能让我们一起再去光顾一下《图形认识初步》，从而进一步欣赏丰富多彩的图形世界，体会更多的立体图形与平面图形，了解立体图形与平面图形之间的关系，希望你还喜欢.

一、本章学习目标

1，经历观察、测量、折叠、模型制作与图案设计等活动，进一步发展空间概念；能从生活周围熟悉的物体入手，加深对物体的形状的认识，并从感性逐步上升到抽象的几何图形，并通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，初步认识立体图形与平面图形的联系，在此基础上进一步认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段和角.

2，进一步认识角，以及角的表示方法，角的度量，角的画法.角的比较，补角和余角等内容.会进行线段或角的比较，能估计一个角的大小，会进行角的单位的简单换算.

3，从实物出发，感受到图形世界的无处不在，引起学习的兴趣.能区分直线、射线、线段的概念，并体会它们的一些性质，结合生活情景认识角并知道周角、平角等概念.

4，能借助三角尺、量角器、方格纸等工具，会画角、线段、垂线，能进行简单的图案设计，并能了解直线、线段等有关性质；积累操作活动经验，发展有条理的思考与表达，经历在操作活动中探索图形性质的过程丰富数学学习的成功体验.

二、知识网络

三、知识点汇编

1、多姿多彩的图形

几何图形：

我们把从事物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

立体图形：

几何图形上的各部分不都在同一平面内，这种图形叫做立体图形，又称空间图形。

平面图形：

几何图形上的各部分都在同一平面内，这种图形叫做平面图形。

平面展开图：

有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。

这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

几何图形的形成：

几何体简称为体，长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体。

包围着体的是面。

面有平的面和曲的面两种。

体和体相交的地方形成面，面和面相交的地方形成线，线和线相交的地方是点。

点、线、面、体经过运动变化，组合成各种几何图形。

点动成线，线动成面，面动成体。

几何图形的结构：

点、线、面、体组成几何图形。

点是构成图形的基本元素。

2、直线、射线、线段

点：

表示一个物体的位置，通常用一个大写字母表示，如点A、点B。

直线的表示方法：

①可以用这条直线上任意两点的字母（大写）来表示；②用一个小写字母来表示。

直线的基本性质：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

简述为，两点确定一条直线。

直线的特征：

①直线没有端点，不可量度，向两方无限延伸；②直线没有粗细；③两点确定一条直线；④两条直线相交有唯一一个交点。

点与直线的位置关系：

①点在直线上，也可以说这条直线经过这个点；②点在直线外，也可以说直线不经过这个点。

两条直线的位置关系有两种：

①相交，当两条不同的直线有一个公共点时，我们就说这两条直线相交，这个公共点叫做这两条直线的交点。

②不相交（即平行）。

射线：

直线上一点和它一旁的部分叫做射线。

射线的表示方法：

①用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面，在两个字母前加上“射线”；②用一个小写字母表示。

射线的性质：

①射线是直线的一部分；②射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量、不能比较长短；③射线上有无穷多个点；④两条射线的公共点可能没有，可能只有一个，可能有无穷多个。

线段：

直线上两点和它们之间的部分叫做线段。

线段的特点：

线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短。

线段的表示方法：

①用两个端点的大写字母表示；②用一个小写字母表示。

线段的基本性质：

两点的所有连线中，线段最短。

简称，两点之间线段最短。

两点的距离：

连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离。

线段的中点：

把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。

线段大小的比较方法：

（1）叠合法；

（2）度量法；（3）估测法。

比较线段的大小与比较数的大小一样，也可以用“＞”、“＜”或“＝”来表示，字母前面的“线段”省略不写。

线段的和差与其数量的和差是一致的。

3、角

角：

⑴有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

⑵角也可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部。

注意：

①角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度大小有关；②角的大小可以度量，可以比较，也可以参与运算。

角的表示方法：

角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示。

角的符号是“∠”。

具体表示方法如下：

①用角的符号和数字表示一个角；②用角的符号和小写的希腊字母表示一个角；③用角的符号和一个大写的英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）；④用角的符号和三个大写的英文字母表示任意一个角，表示顶点的字母要写在中间。

角的分类：

按角的大小可分为锐角、直角、钝角、平角、周角等。

角的度量单位及换算：

度、分、秒是常用的角的度量单位。

把一个周角等分成360份，每一份就是1度的角，记做1°；把1度角等分成60份，每一份就是1分的角，记做1′；把一分的角等分成60份，每一份就是1秒的角，记做1″。

1°=60′，1′=60″，1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°，1周角=2平角=4直角=360°，1平角=2直角=180°。

角的大小的比较方法：

（1）叠合法：

比较两个角的大小时，把角叠合起来使两个角的顶点及一边重合，另一边落在同一条边的同旁，则可比较大小；

（2）度量法：

量出角的度数，就可以按照角的度数的大小来比较角的大小。

比较的结果有三种：

①两角相等；②一角大于另一角；③一角小于另一角。

角的和、差、倍、分的度数等于角的度数的和、差、倍、分。

角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

余角：

如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角。

补角：

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。

互余、互补的性质：

同角（或等角）的余角（或补角）相等。

方位角：

表示方向的角，它是指正北（或正南）方向线与目标方向线之间所夹的锐角。

习惯上把南或北写在前面，东或西写在后面，用两个方向表示。

四、要点解读

（一）知识总揽

本章内容都是研究的简单的基本图形，是以后学习的重要基础，其中如何结合立体图形与平面图形的互相转化的学习，来发展空间观念以及一些重要的概念、性质等是本章的重点；建立和发展空间观念是空间与图形学习的核心目标之一，能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的相互转化是培养空间观念的重要方面，更有利于创新能力的培养.

（二）疑点和易错点

这一章内容的概念比较多，概念之间的联系又比较密切，因此，如何从具体事物中抽象出几何图形，把握几何图形的本质特征，区分一些相近的概念，对图形的表示方法以及对几何语言的认识与运用，都复习的疑点和易错点.具体地说：

1，通常画一个立体图形要分别从正面看、从左面看、从上面看.如从不同方向看图2就可得到图3中的三个图形.同样由图3的三个图形也可以画出图2.如果不能认真的观察分析立体图形的特征，就不能正确画出相应的平面图形.

　　2，在研究直线、线段、射线的有关概念时，容易出现延长直线或延长射线之类的错误，在用两个大写字母表示射线时，忽视第一个字母表示的是这条射线的顶点.

3，直线有这样一个重要性质：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线.线段有这样一条重要性质：

两点的所有连线中，线段最短.简单说成：

两点之间，线段最短.这两个性质是研究几何图形的基础，复习时应抓住性质中的关键性字眼，不能出现似是而非的错误.

4，注意线段的中点是指把线段分成相等的两条线段的点；而连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.这里应特别注意线段与距离的区别是，即距离是线段的长度，是一个量；线段则是一种图形，它们之间是不能等同的.

5，在复习角的概念时，应注意理解两种方式来描述，即一种是从一些实际问题中抽象地概括出来，即有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；另一种是用旋转的观点来定义，即一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.角的两种定义都告诉我们这样一些事实：

（1）角有两个特征：

一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，两者缺一不可；

（2）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关；（3）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变.如一个37°的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是37°不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍.另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后.

6，在研究互为余角和互为补角时，容易混淆这两个概念.常常误认为互为余角的两个角的和等于180°，互为补角的两个角的和等于90°.

　　五、思想方法

同学们在复习《图形认识初步》这部分内容时，除了要注意基础知识的巩固和典型习题的训练，还要注意数学思想方法的训练与运用.具体地说：

一）、分类思想.在过平面上若干点可以画多少条直线，应注意这些点的分情况讨论；或在画其它的图形时，应注意图形的各种可能性.

例1　两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（　　　）　

　A.1　　　B.2　　　C.3或2　　　D.1或2或3

分析　由于题设条件中并没有明确这三条直线的具体位置，所以应分情况讨论.

解　依题意可以画出如图4的三种情况.故应选D.

二）、方程思想.在处理有关角的大小，线段大小的计算时常需要通过列方程来解决.

例2　如果一个角的补角是150°，求这个角的余角.

分析　若设这个角的大小为x°，则这个角的余角是90°－x，于是由这个角的补角是150°可列出方程求解.

解　设这个角为x°，则这个角的余角是90°－x，根据题意，得

180°－x＝150°，解得：

x＝30°，

即90°－x＝60°.

故这个角的余角是60°.

三）、图形变换思想.在研究角的概念时要充分体会对射线旋转的认识，在处理图形时应注意转化思想的运用，如立体图形与平面图形的互相转化的学习.

例3　请画出正六棱柱表面展开图.

分析　要将一个立体图形转化为平面图形，只要按照立体图形的折叠原理即可求解.

解　正六棱柱表面展开图如图5所示

四）、化归思想.在进行线段、射线、直线、角以及相关图形的计数时总要化归到公式

的具体运用上来.

例4　若点C、D、E、F是线段AB上的四个点.则这个图形中共有多少条线段？

分析　已知线段上除了端点外，还有4个点，即这条线段共有6个点，这样要求这个图形中共有多少条线段，则由代数式

即求.

解　因为依题意已知线段上共有6个点，所以这个图形中共有线段的为：

＝

＝15.

六、考点解密

考点1　从不同方向看立体图形

例5（河北省）图1中几何体的主视图是如图7所示中的（　　）

分析　主视图是从下面看的，由于图6中的图形是由两个部分组成的，上面是一个球，球的下面是一个长方体，这样问题就简单了.

解　因为要画出的是从正面看到的主视图，而已知的立体图形是由两个部分组成的，上面是一个球，球的下面是一个长方体，所以我们从正面看到的上面是一个圆，下面是一个长方形.

又因为原立体图形中上面的球是放在中间的，所以正确的平面图形应该是C.故应选C.

说明　要画出从不同方向看到的平面图形，通常画出分别从正面看、从左面看、从上面看一个立体图形的平面图形.

考点2　立体图形的侧面展开图

例2（嘉兴市）如图8所示的图形中，不能经过折叠围成正方体的是（　B　）

分析　观察这四个平面图形，A、C、D能围成一个正方体，只有B不能围成正方体.

解　应选B.

说明　判断一个图形能否围成正方体，关键是要看这个平面图形是否是某一个正方体的侧面展开图，如果是，即能围成一个正方体，否则就不是.另外，一个立体图形可以有不同的平面展开图.也就是说，同一个立体图形，按不同方式展开得到的平面展开图是不一样的.反之，一些平面图形也可以围成立体图形，就是说，平面图形可以围成立体图形.但要注意，并不是所有的平面图形都能够围成多面体.

考点3　确定平面图形的个数

例3（绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则如图9中以BC为公共边的“共边三角形”有（　　）

　A.2对　　B.3对　　C.4对　　D.6对

分析　要知道有多少“共边三角形”，只要能依据图形写出所有的满足题意的三角形即可.

解　结合图形，满足题意的三角形是：

△ABC与△DBC，△DBC与△EBC，△EBC与△ABC，共3对.故应选B.

说明　求解本题一定要注意抓住以BC为公共边的“共边三角形”，不能忽视关键性的字眼.

考点4　图形角度大小的计算

例4（大连市）如图10，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ.则∠SQT等于（）

A.42°　　　B.64°　　　C.48°　　　D.24°

分析　要求∠SQT的大小，由于SQ⊥QR，QT⊥PQ，可知∠PQS＝∠RQT，进而即可求得.

解　因为SQ⊥QR，QT⊥PQ，所以∠PQS+∠SQT＝∠SQT+∠RQT＝90°，即∠PQS＝∠RQT，又∠PQS+∠SQT+∠RQT＝138°，所以∠PQS＝∠RQT＝48°，所以∠SQT＝138°－2×48°＝42°.故应选A.

说明　在进行图形的有关计算时，除了要能灵活运用所学的知识外，还要能从图形中捕捉求解的信息.

考点5　互为余角与互为补角

例5（内江市）一个角的余角比它的补角的

少20°.则这个角为（　　　）

A.30°　　　　B.40°　　　　C.60°　　　　D.75°

分析　若设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x，于是构造出方程即可求解.

解　设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x.

则根据题意，得

（180°－x）－（90°－x）＝20°.解得：

x＝40°.故应选B.

说明　处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.

考点6　平面图形的操作问题

例6（旅顺口区）如图11，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是如图12所示的（　　）

分析　要想知道展开后得到的图案是什么，可以依据题意，结合正方形的图形特征，发挥想象即可求解.

解　因为将正方形沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，就是说这个正方形上共有6个小圆，其中分成3组关于正方形的对角线即折痕对称，且1对圆在两个直角的顶点上，2对圆位于对角线即折痕的两侧.故应选C.

说明　这种图形的操作问题的求解一定要在灵活运用基础知识的同时，充分发挥想象，并能大胆地归纳与推断.

　　考点7　平面图形的面积问题

例7（临安市）如图13，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）

A.2　　　　B.4　　　　C.8　　　D.10

分析　要求图中阴影部分的面积，由于由剪到拼可知阴影部分的面积应是原正方形面积的四分之一，于是即求.

解　根据题意“小别墅”的图中阴影部分的面积应等于正方形面积的四分之一，而正方形的面积是16，所以阴影部分的面积应等于4.故应选B.

说明　本题的图形在操作过程中，虽然形状发生了改变，但是图形的面积却没有变化，抓住这一点问题就可以简洁求解.

考点8　拼图问题

例8（烟台市）如图14，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为＿＿＿.

分析　16张卡片，拼成一个正方形，而边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，由此可知正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a+3b.

解　因为边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，而用这16张卡片拼成一个正方形，所以正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a+3b.但拼得的正方形的形式是不一样的，如图15就是其中的一种.

说明　这是一道结论开放型问题，只要符合题意且结论正确的都可以.

考点9　规律探索问题

例9（江西省）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成如图16一列图案：

（1）第4个图案中有白色纸片＿＿＿张；

（2）第n个图案中有白色纸片＿＿＿张.

分析　要解答这两个问题，只要能求出第n个图案中有白色纸片的张数即可，由于第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，由此可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张，从而求解.

解　因为第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，所以可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张.于是

（1）当n＝4时，3n+1＝13；

（2）3n+1.

说明　这种利用几何图形探索规律型问题是近年各地中考的热点，同学们在求解时一定要通过认真的观察、归纳、猜想、验证，才能正确地获解.

七、练习题：

〖直线、射线、线段〗

1．判断下列说法是否正确

（1）直线AB与直线BA不是同一条直线（　　）

（２）用刻度尺量出直线AB的长度（）

（3）直线没有端点，且可以用直线上任意两个字母来表示（）

（4）线段AB中间的点叫做线段AB的中点（）

（5）取线段AB的中点M，则AB-AM=BM（）

（6）连接两点间的直线的长度，叫做这两点间的距离（）

（7）一条射线上只有一个点，一条线段上有两个点（）

2．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，则线段AC=_________

3．电筒发射出去的光线，给了我们的形象

4．如图，四点A、B、C、D在一直线上，则图中有______条线段，有_______条射线；若AC=12cm，BD=8cm，且AD=3BC，则AB=______，BC=______，CD=____

5．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段

AB=8，BC=5，则线段AC=_________

6．如图，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，

，

，则CD=_____

7．C为线段AB上的一点，点D为CB的中点，若AD=4，求AC+AB的长。

8．把一条长24cm的线段分成三段，使中间一段的长为6cm，求第一段与第三段中点的距离。

9．如图，点C在线段AB上，E是AC的中点，D是BC的中点，若ED=6，则AB的长为（）．

〖角〗1．填空：

（1）如图：

已知∠AOB=2∠BOC，且OA⊥OC，则∠AOB=_________0

（2）．已知有共公顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1200，∠BOC=300，则∠AOC=_________。

（3）．如图所示：

已知OE⊥OF直线AB经过点O，则∠BOF—∠AOE=__________

若∠AOF=2∠AOE，则∠BOF=___________

（4）2点30分时，时钟与分钟所成的角为度．

2．选择题：

（1）．如图，∠AOE＝∠BOC，OD平分∠COE，那么图中除∠AOE＝∠BOC外，相等的角共有（）

A．1对B．2对

C．3对D．4对

（2）．互为余角的两个角之差

为35°，则较大角的补角是（）

A．117.5°B．112.5°C．125°D．127.5°

（3）．如图，由A到B的方向是（）

A．南偏东30°B．南偏东60°

C．北偏西30D．北偏西60°

（4）．某测绘装置上一枚指针原来

指向南偏西500，把这枚指针按逆时针方向

旋转周，则结果指针的指向（）．

（A）南偏东50º（B）西偏北50º（C）南偏东40º（D）东南方向

3．解答题：

（1）一个角的余角比它的补角

还多1°，求这个角.

（2）已知互余两角的差为

，求这两个角的度

数.

（3）如图，∠AOB＝600，OD、OE分别平分

∠BOC、∠AOC，那么∠EOD＝　　　　0．

（3）老师要求同学们画一个750的角，右图是小红画出的图形．①检验小红画出的角是否等于750；②利用我们常用的画图工具，你有哪些检验方法？

③画此角的平分线；④解释图中几个角之间的相互关系．

（4）如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小。

〖综合〗1，（十堰市）观察如图17甲，从左侧正对长方体看到的结果是图乙中的（　　）

2，（衡阳市）如图18所示的图形中，不是正方体平面展开图的是（　　）

3，（江阴市）如图19，把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线（虚线）剪下，则右图展开得到的图形的面积为（）

A.

　B.

C.

D.

4，（广东省）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图20是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（）

A.0　　　B.6　　　C.快　　　D.乐

5，（南通市）已知∠α＝35°19′，则∠α的余角等于（　　　）

A.144°41′　　　　B.144°81′C.54°41′D.54°81

6，（枣庄市）如图21，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（　　　）

A.3个B.2个　　　C.l个　　D.不存在

7，（十堰市）如图22，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开.如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（　　）

A.22.5°角B.30°角　　　C.45°角D.60°角

8，（烟台市）一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图23形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（　　　）

A.33分米2B.24分米2　　　C.21分米2D.42分米2