基本平面图形基础.docx
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基本平面图形基础
基本平面图形
要点一、线段、射线、直线
1.直线，射线与线段的区别与联系
联系：
射线是直线的一部分。
线段是射线的一部分，也是直线的一部分。
2.基本性质
直线的性质
（1）直线公理：
经过两个点有且只有一条直线。
简称两点确定一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
线段的性质
（1）线段公理：
两点之间的所有连线中，线段最短。
（2）两点之间的距离：
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：
可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：
用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4.线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：
①线段中点的等价表述：
如上图，点M在线段AB上，且有
，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
要点二、角
1.角的度量
（1）角的定义：
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
（2）角的表示方法：
角通常有三种表示方法：
一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：
由度化为度分秒的形式（即从高级单位向低级单位转化）时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度（即低级单位向高级单位转化）时用除法逐级进行.
（4）角的分类：
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β<180°
∠β=180°
∠β=360°
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2.角的比较与运算
（1）角的比较方法:
①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：
如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=
∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3.方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【典型例题】
类型一、线段、射线、直线
1.下列判断错误的有（）
①延长射线OA；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA＝PB，则点P是线段AB的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离．
A．0个B．2个C．3个D．4个
举一反三：
【变式】1.平面上有五条直线，则这五条直线最多有_____交点，最少有_____个交点．
2.把一段弯曲的公路改为直道,可以缩短路程,其理由是（）A、两点确定一条直线B、线段有两个端点C、两点之间线段最短D、垂线段最短
3.已知线段AB=4cm，C是AB的中点，延长CB至D，使CD=5cm，E是AD的中点，则AE的长度为（）
A3cm;B3.5cm;C4cm;D4.5cm
4.已知线段AB,延长AB到C，使BC=
AB，D为AC的中点，若AB＝9cm，则DC的长为。
5.已知：
P是线段AB的中点，PA=3cm,则AB=______cm.
6.如图已知点C为AB上一点，AC＝12cm,CB＝
AC，D、E分别为AC、AB的中点求DE的长。
类型二、角
2.如图：
若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，并且∠BOE=
∠COE，∠DOE=72°．则∠COE的度数是．
【思路点拨】设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．
【答案】72°．
【解析】解：
设∠EOB=x，则∠EOC=2x，
则∠BOD=
（180°﹣3x），
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+
（180°﹣3x）=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
故答案为：
72°．
举一反三：
【变式】1.如图，∠1=360,∠2=540。
则∠DOC=______.
2．如图，已知∠AOC＝∠BOD=78°，∠BOC=30°则∠AOD的度数是。
3.如果OC是∠AOB的角平分线,且∠AOB=800,则∠AOC的度数是（）A.350B.400C.550D.600
3.如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东60°的是（ ）
变式：
一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC的度数是（）
（A）75°（B）105°（C）45°（D）135°
课堂检测
1．七（１）班的同学用二个图钉就把刚获得的校田径运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上了，请你用本章的一个知识来说明这样做的道理：
；
2．如图1，用“＞”、“＜”或“＝”连接下列各式，并说明理由．
AB＋BC_____AC，AC＋BC_____AB，BC_____AB＋AC，
理由是_________；
3．如图2，AB的长为m，BC的长为n，MN分别是AB，BC的中点，则MN=_____；
4．如图3：
小于平角的角有__________个，用两种不同的方法表示最大的一个角是________；
5．要整齐地栽一行树，只要确定下两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是_________________
6．（
）°=（）´=（）″；48″=（）´=（）°
7．上午10点30分,时针与分针成___________度的角。
8．已知两根木条，一根长60cm，一根长100cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是___________________cm
9．已知从A地到B地共有五条路，小红应选择第_____________路，
用数学知识解释为___________________________
10．已知线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，则AE=________AB。
11．下列说法正确的是（）
A、两点之间，线段最短B、射线就是直线
C、两条射线组成的图形叫做角D、小于平角的角可分为锐角和钝角两类
12．以下给出的四个语句中，结论正确的有（）
①如果线段AB=BC，则B是线段AC的中点
②线段和射线都可看作直线上的一部分
③大于直角的角是钝角
④如图，∠ABD也可用∠B表示
A、1个B、2个C、3个D、4个
13．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（）
A、相交或垂直B、垂直或平行C、平行或相交D、不行或相交或重合
14．下列说法中正确的是（）
A、在同一平面内，两条不平行的线段必相交
B、在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
C、两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行
D、一条直线有可能同时与两条相交直线平行
15.下列说法中错误的是
A.经过一点有无数条直线B.经过两点有且只有一条直线
C.两条直线相交，只有一个交点D.一条直线只能通过两点
16.已知线段AB=8cm，在直线AB上画线BC，使它等于3cm，则线段AC等于
A、11cmB、5cmC、11cm或5cmD、8cm或11cm
17．甲、乙、丙、丁四个学生判断时钟的分针与时针互相垂直时，他们每个人都说了两个时间，说对的是（ ）
（Ａ）甲说３点时和３点３０分 （Ｂ）乙说６点１５分和６点４５分
（Ｃ）丙说９时整和１２时１５分 （Ｄ）丁说３时整和９时整
18．下列说法正确的是（）
（A）过一点能作已知直线的一条平行线（B）过一点能作已知直线的一条垂线
（C）射线AB的端点是A和B（D）点可以用一个大写字母表示，也可用小写字母表示
解答题：
19．如图，已知线段AB=15cm，C点在AB上，BC=
AC，求BC的长
20．如图：
∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°，求：
∠BOC的度数。
作图题
21．在右图中作出表示点B到线段AC距离的线段
22．如图，直线AB、CD、EF都经过点O，AB⊥CD，
∠AOE=70°，求∠BOF、∠DOF的度数
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